九年级数学第三次月考卷（北京版，九年级上册第18章-第21章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第18章15%、第19章32%、第18章20%、第21章34%。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交， 故选：C． 2．若2x=5y，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 3．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线向右平移个单位长度， 平移后的解析式为， 再向上平移1个单位长度， 平移后的解析式为． 故选：D． 4．如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．已知点在反比例函数（）的的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数（）的的图像上， 又， ∴． 故选：C 6．小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在处测得顶端的仰角∠=，到旗杆的距离=5米，测角仪的高度为1米，则旗杆的高度表示为（    ）． A．5＋1 B．5＋1 C．5＋1 D．＋1 【答案】A 【详解】根据题意可知： 四边形ABDC是矩形， ∴∠PCD=90°，AC=BD=1， 在Rt△PCD中，PC=CDtanα=5tanα， ∴PA=PC+AC=5tanα+1． 故选：A． 7．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D. 8．如图，点E在DBC边DB上，点A在DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中正确的是（    ） ①BD=CE；②∠DCB﹣∠ABD=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）． A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【详解】解：∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠DAB=∠EAC． ∵AD=AE，AB=AC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确； ∵∠DCB﹣∠DCA=∠ACB=45°， 显然，故②错误； ∵∠ABD=∠ECA ∴ ∴ ∴，故③正确； 即，故④错误， 故选A. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，将代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【详解】∵矩形的面积为3， ∴， ∴． ∵该反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2（结果保留） 【答案】 【详解】解：连接BO，CO，如图所示： ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB=BC=CO=BO=1cm，∠ABC=120°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OCB=60°， ∴， ∴COAB， ∴， 在△COW和△ABW中 ， ∴△COW≌△ABW（AAS）， ∴S阴影=S扇形OBC=． 故答案为：． 12．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF=2CF，则△CFG与△BEG的面积比是 ． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形 ， ， 故答案为3∶1 13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=2，则⊙O的半径为 ． 【答案】 【详解】连接OC， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE=DE=CD=×6=3， 设⊙O的半径为x， 则OC=x，OE=OB﹣BE=x﹣2， 在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2， ∴x2=32+（x﹣2）2， 解得：x=， ∴⊙O的半径为， 故答案为． 14．如图所示，在锐角三角形中，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 【答案】3或 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，则， 当，则， ∴， 解得：； 当，则， ∴， 解得：； 综上所述，当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为或． 答案：3或． 15．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【详解】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．抛物线经过点且对称轴为直线，其图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③点一定在抛物线上；④若，则时的函数值大于时的函数值．其中正确的结论序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，故①符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴即，故②不符合题意； ∵抛物线经过点且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴， 由对称性可得：一定在抛物线上， ∴点一定在抛物线上，故③符合题意； ∵抛物线当时，随的增大而增大， 而，则， ∴时的函数值大于时的函数值．故④符合题意； 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算：． 【详解】 ．………………………………………………………………4分 18．（5分）如图，在中，点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵ ∴； ………………………………………………………………3分 （2）解：∵ ∴，即 ∴．………………………………………………………………5分 19．（6分）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． …………………………………………3分 （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， ……………………………………5分 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． （3）解：当时，根据（2）中图示可知， 当时，；当时，；当时，． ∴当时，． ……………………………………………6分 20．（5分）如图，△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA= （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA= ∴ 即 解得：BD=12； …………………………………………………3分 （2）∵AC=AB=13，BD=12，BD⊥AC， ∴AD=5， ∴DC=8， ∴tan∠C= ……………………………………………………5分 21．（4分）已知：如图，中，． 求作：射线，使得平分． 作法： ①作的垂直平分线交于点O； ②以O为圆心，为半径画圆，与直线的一个交点为P（点P与点C在的异侧）； ③作射线． 所以射线即为所求． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 直线为的垂直平分线， ． ， ． 点，，都在上． 又点在上，于点， ， ∴___________________， ∴（___________________）（填推理的依据）． ∴射线平分． 【详解】（1）解：如图： …………………………………………………2分 （2）解：连接． 直线为的垂直平分线， ． ， ． 点，，都在上． 又点在上，于点， ， ， （在同圆中，等弧所对的圆周角相等）， 射线平分， 故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．……………………………4分 22．（6分）如图所示，双曲线的图像与一次函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)设为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【详解】（1）解：将、分别代入一次函数中得： ，， 解得：，， ，， 将代入中，得：， 反比例函数的解析式为； ……………………………………………3分 （2）在中，令，则， 解得：， ， 设， 则， ，， ， 即， 解得：或， 点的坐标为或．…………………………………………6分 23．（5分）陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，．陈老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置， 测得，，求此时顶部边缘A处离桌面的高度．（结果精确到， 参考数据：，，） 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，，， ，，………………………………2分 ， ， ， 在中，， ， ………………………………………4分 ， 此时顶部边缘处离桌面的高度约为． …………………………………5分 24．（6分）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． …………………………………………………………3分 （2）解：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为．……………………………………………………………6分 25．（6分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系. 小明进行了三次训练. (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 竖直高度y/m 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.7 2 1.1 根据上述数据，求出满足的函数关系，并求出实心球着地点的水平距离； (2)第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点. 记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为，，则，，的大小关系为______. 【详解】（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式可表示为：， 当时，， ， 解得， 函数解析式为； 令，则， 解得，（舍去）， ， 实心球着地点的水平距离为10米；………………………………………………4分 （2）根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线和直线， 三次抛物线都过点，， 小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离， 故答案为：． ………………………………………………………………6分 26．（7分）已知抛物线（a为常数）的顶点在y轴右侧． (1)求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； (2)试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； (3)若点在该二次函数图象上，且，过点作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线． …………………………………………2分 （2）解：∵， 令，则， 解得，， ∴该抛物线一定经过定点； ……………………………………………………4分 （3）解：∵抛物线顶点在y轴右侧， ∴， ∴， 设抛物线与x轴交点分别为C，D，C在D左侧， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， ∵点在该二次函数图象上，且， ∴A在轴上方，即在上方， ∵过点作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图， ∴， ∴， ∴， ∴． ………………………………………………………7分 27．（7分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的优美线； (2)在中，，为的优美线，且是以为腰的等腰三角形，请依据题意补全图形，求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴线段是的优美线． ………………………………………………………3分 （2）如图， 若， ∴， ∴这与这个条件矛盾； 若，， ， ， ． ………………………………………………………………7分 28．（7分）在平面直角坐标系中，有如下定义：对于图形、，若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”，d是关于的“映距”． (1)如图，点，，，，，，，． 在线段，，中，线段的映图是 ． (2)的半径为1． ①求关于直线的“映距”的最小值； ②若直线被坐标轴所截的线段是的映图，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，，且平行线之间的距离相等， ∵若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”， ∴线段的“映图”大于或等于，且“映距”d的最小值为两条平行线段的距离， ∴线段的“映图”为：，， 故答案为∶，；……………………………………………………………2分 （2）①记直线与y轴，x轴分别交于点M，N， 令，得．即．所以． 令，得．即．所以． 则． 又∵平面直角坐标系，x轴与y轴垂直， ∴． 过O作的垂线交与，，交于点Q，如图， 在中，． 则， 当点P在位置时，P到直线上每一点的距离大于等于2； 当点P在位置时，P到直线上每一点的距离大于等于4， 所以，根据上任意一点P都能在直线上找到对应点Q，满足，则． 故关于直线的映距d的最小值为4． ②（a）当时，过点O作直线的垂线，垂足为K，分别交与点M，N，设与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图 根据①知，关于直线的映距d的最小值为，设直线与坐标轴交于点A，B， 令，则，令，则，则，， 那么，， 故为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵直线被坐标轴所截的线段是的映图，上的点到端点A，B的最小距离为， ∴，解得， ………………………………………………………………6分 （b）当时，过点O作直线的垂线，垂足为K，分别交O与点M，N，设与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图， 同理可得∶ ． 综上，若直线被坐标轴所截的线段是的映图，m的取值范围或．………………………………………………………………7分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学第三次月考卷 数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9． ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． _ _____________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题：本题共 12 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 ．（ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 5 分） （ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 6 分） 23 ．（ 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24．（6分） 25．（6分） 26 ．（ 7 分） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27 ．（ 7 分） 28 ．（ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学第三次月考卷 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（6 分） 20．（5 分） 21．（4 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7[A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9．______________ 10．______________11．______________ 12．______________13．______________14．______________ 15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 12 小题，共 68分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（4 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（6 分） 23．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6 分） 25．（6 分） 26．（7 分） 27．（7 分） 28．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第18章15%、第19章32%、第20章18%、第21章34%。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 2．若2x=5y，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 5．已知点在反比例函数（）的的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在处测得顶端的仰角∠=，到旗杆的距离=5米，测角仪的高度为1米，则旗杆的高度表示为（    ）． A．5＋1 B．5＋1 C．5＋1 D．＋1 7．如图，在等腰中，于点，则的值（    ） A． B． C． D． 8．如图，点E在DBC边DB上，点A在DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中正确的是（    ） ①BD=CE；②∠DCB﹣∠ABD=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）． A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 10．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则的值为 ． 11．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2（结果保留） 12．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF=2CF，则△CFG与△BEG的面积比是 ． 13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=2，则⊙O的半径为 ． 14．如图所示，在锐角三角形中，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 15．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 16．抛物线经过点且对称轴为直线，其图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③点一定在抛物线上；④若，则时的函数值大于时的函数值．其中正确的结论序号是 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算：． 18．（5分）如图，在中，点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（6分）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 20．（5分）如图，△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA=． （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 21．（4分）已知：如图，中，． 求作：射线，使得平分． 作法： ①作的垂直平分线交于点O； ②以O为圆心，为半径画圆，与直线的一个交点为P（点P与点C在的异侧）； ③作射线． 所以射线即为所求． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 直线为的垂直平分线， ． ， ． 点，，都在上． 又点在上，于点， ， ∴___________________， ∴（___________________）（填推理的依据）． ∴射线平分． 22．（6分）如图所示，双曲线的图像与一次函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)设为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 23．（5分）陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，．陈老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置， 测得，，求此时顶部边缘A处离桌面的高度．（结果精确到， 参考数据：，，） 24．（6分）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 25．（6分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系. 小明进行了三次训练. (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 竖直高度y/m 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.7 2 1.1 根据上述数据，求出满足的函数关系，并求出实心球着地点的水平距离； (2)第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点. 记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为，，则，，的大小关系为______. 26．（7分）已知抛物线（a为常数）的顶点在y轴右侧． (1)求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； (2)试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； (3)若点在该二次函数图象上，且，过点作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 27．（7分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的优美线； (2)在中，，为的优美线，且是以为腰的等腰三角形，请依据题意补全图形，求的度数． 28．（7分）在平面直角坐标系中，有如下定义：对于图形、，若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”，d是关于的“映距”． (1)如图，点，，，，，，，． 在线段，，中，线段的映图是 ． (2)的半径为1． ①求关于直线的“映距”的最小值； ②若直线被坐标轴所截的线段是的映图，直接写出m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第18章15%、第19章32%、第20章18%、第21章34%。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 2．若2x=5y，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 5．已知点在反比例函数（）的的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在处测得顶端的仰角∠=，到旗杆的距离=5米，测角仪的高度为1米，则旗杆的高度表示为（    ）． A．5＋1 B．5＋1 C．5＋1 D．＋1 7．如图，在等腰中，于点，则的值（    ） A． B． C． D． 8．如图，点E在DBC边DB上，点A在DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中正确的是（    ） ①BD=CE；②∠DCB﹣∠ABD=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）． A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 10．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则的值为 ． 11．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2（结果保留） 12．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF=2CF，则△CFG与△BEG的面积比是 ． 13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=2，则⊙O的半径为 ． 14．如图所示，在锐角三角形中，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 15．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 16．抛物线经过点且对称轴为直线，其图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③点一定在抛物线上；④若，则时的函数值大于时的函数值．其中正确的结论序号是 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算：． 18．（5分）如图，在中，点D、E分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（6分）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 20．（5分）如图，△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA=． （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 21．（4分）已知：如图，中，． 求作：射线，使得平分． 作法： ①作的垂直平分线交于点O； ②以O为圆心，为半径画圆，与直线的一个交点为P（点P与点C在的异侧）； ③作射线． 所以射线即为所求． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 直线为的垂直平分线， ． ， ． 点，，都在上． 又点在上，于点， ， ∴___________________， ∴（___________________）（填推理的依据）． ∴射线平分． 22．（6分）如图所示，双曲线的图像与一次函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)设为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 23．（5分）陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，．陈老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置， 测得，，求此时顶部边缘A处离桌面的高度．（结果精确到， 参考数据：，，） 24．（6分）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 25．（6分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系. 小明进行了三次训练. (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 竖直高度y/m 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.7 2 1.1 根据上述数据，求出满足的函数关系，并求出实心球着地点的水平距离； (2)第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点. 记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为，，则，，的大小关系为______. 26．（7分）已知抛物线（a为常数）的顶点在y轴右侧． (1)求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； (2)试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； (3)若点在该二次函数图象上，且，过点作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 27．（7分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的优美线； (2)在中，，为的优美线，且是以为腰的等腰三角形，请依据题意补全图形，求的度数． 28．（7分）在平面直角坐标系中，有如下定义：对于图形、，若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”，d是关于的“映距”． (1)如图，点，，，，，，，． 在线段，，中，线段的映图是 ． (2)的半径为1． ①求关于直线的“映距”的最小值； ②若直线被坐标轴所截的线段是的映图，直接写出m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D B C A D A 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．． 10． 11． 12． 13． 14．3或 15．/13度 16．①③④ 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分） 【详解】 ．………………………………………………………………4分 18．（5分） 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵ ∴； ………………………………………………………………3分 （2）解：∵ ∴，即 ∴．………………………………………………………………5分 19．（6分） 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． …………………………………………3分 （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， ……………………………………5分 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． （3）解：当时，根据（2）中图示可知， 当时，；当时，；当时，． ∴当时，． ……………………………………………6分 20．（5分） 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA= ∴ 即 解得：BD=12； …………………………………………………3分 （2）∵AC=AB=13，BD=12，BD⊥AC， ∴AD=5， ∴DC=8， ∴tan∠C= ……………………………………………………5分 21．（4分） 【详解】（1）解：如图： …………………………………………………2分 （2）解：连接． 直线为的垂直平分线， ． ， ． 点，，都在上． 又点在上，于点， ， ， （在同圆中，等弧所对的圆周角相等）， 射线平分， 故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．……………………………4分 22．（6分） 【详解】（1）解：将、分别代入一次函数中得： ，， 解得：，， ，， 将代入中，得：， 反比例函数的解析式为； ……………………………………………3分 （2）在中，令，则， 解得：， ， 设， 则， ，， ， 即， 解得：或， 点的坐标为或．…………………………………………6分 23．（5分） 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，，， ，，………………………………2分 ， ， ， 在中，， ， ………………………………………4分 ， 此时顶部边缘处离桌面的高度约为． …………………………………5分 24．（6分） 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． …………………………………………………………3分 （2）解：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为．……………………………………………………………6分 25．（6分） 【详解】（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式可表示为：， 当时，， ， 解得， 函数解析式为； 令，则， 解得，（舍去）， ， 实心球着地点的水平距离为10米；………………………………………………4分 （2）根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线和直线， 三次抛物线都过点，， 小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离， 故答案为：． ………………………………………………………………6分 26．（7分） 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线． …………………………………………2分 （2）解：∵， 令，则， 解得，， ∴该抛物线一定经过定点； ……………………………………………………4分 （3）解：∵抛物线顶点在y轴右侧， ∴， ∴， 设抛物线与x轴交点分别为C，D，C在D左侧， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， ∵点在该二次函数图象上，且， ∴A在轴上方，即在上方， ∵过点作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图， ∴， ∴， ∴， ∴． ………………………………………………………7分 27．（7分） 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴线段是的优美线． ………………………………………………………3分 （2）如图， 若， ∴， ∴这与这个条件矛盾； 若，， ， ， ． ………………………………………………………………7分 28．（7分） 【详解】（1）解：由题意得，，且平行线之间的距离相等， ∵若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”， ∴线段的“映图”大于或等于，且“映距”d的最小值为两条平行线段的距离， ∴线段的“映图”为：，， 故答案为∶，；……………………………………………………………2分 （2）①记直线与y轴，x轴分别交于点M，N， 令，得．即．所以． 令，得．即．所以． 则． 又∵平面直角坐标系，x轴与y轴垂直， ∴． 过O作的垂线交与，，交于点Q，如图， 在中，． 则， 当点P在位置时，P到直线上每一点的距离大于等于2； 当点P在位置时，P到直线上每一点的距离大于等于4， 所以，根据上任意一点P都能在直线上找到对应点Q，满足，则． 故关于直线的映距d的最小值为4． ②（a）当时，过点O作直线的垂线，垂足为K，分别交与点M，N，设与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图 根据①知，关于直线的映距d的最小值为，设直线与坐标轴交于点A，B， 令，则，令，则，则，， 那么，， 故为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵直线被坐标轴所截的线段是的映图，上的点到端点A，B的最小距离为， ∴，解得， ………………………………………………………………6分 （b）当时，过点O作直线的垂线，垂足为K，分别交O与点M，N，设与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图， 同理可得∶ ． 综上，若直线被坐标轴所截的线段是的映图，m的取值范围或．………………………………………………………………7分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$