57.利用导数求单调区间-高中数学全部题型大总结（全国版）

57.利用导数求单调区间 1．（24-25高三上·湖北·期中）是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东聊城·期中）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）已知，若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知向量，，函数.若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东聊城·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A． B． C． D．无数个 7．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知，若成等差数列且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程，的根分别为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·浙江杭州·一模）已知函数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递减 D．若，则在上单调递增 10．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）设函数，则（   ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点对称 D．当时， 11．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为函数的一个零点，则（   ） A．的图象关于对称 B．的解集为 C．时， D．时，，则的最大值为4 12．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数 B．在R上不单调 C．的值域为 D．函数在上有且仅有一个零点 13．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若是的极小值点，则在上单调递减 B．若是的极大值点，则且 C．若，且的极小值大于0，则的取值范围为 D．若，且在上的值域为，则的取值范围为 14．（2024·河南·模拟预测）已知且，则（   ） A． B． C． D． 15．（2024·湖南衡阳·一模）按指对数运算律定义两个函数与，则（    ） A．在定义域上单调递增 B．在定义域上单调递减 C． D．若存在，则 16．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）以下不等式成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 17．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设函数，则（    ） A．的值域为 B．在单调递增 C．曲线关于直线对称 D．若且，则 18．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．点是曲线的对称中心 B．当时，函数有3个零点 C．若函数有两个零点，则 D．过坐标原点可以作曲线三条切线 19．（24-25高三上·全国·阶段练习）设函数，则（   ） A．的极小值点为3 B．当时， C．当时， D．有3个零点 20．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 ． 21．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 ． 22．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知公比为的等比数列满足，且，则的取值范围为 ． 23．（2024·广东·模拟预测）已知满足 ，则 ． 24．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则 . 25．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的最大值为 . 26．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知实数x、y满足，则y x．（在“>”、“<”中选一个填在横线处） 27．（四川省雅安市2024-2025学年高三上学期11月“零诊“考试数学试卷）已知函数，其中， (1)当时，求的单调区间； (2)当时，过点可以作3条直线与曲线相切，求m的取值范围． 28．（2024·浙江杭州·一模）已知函数. (1)若，求的单调区间; (2)若，求证:; (3)若使得，求证:. 29．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数在处的切线为轴. (1)求数的值； (2)求的单调区间； (3)若，证明. 30．（24-25高三上·河北·期中）已知函数. (1)当时，判断的单调性； (2)若只有在处取得极小值，且无极大值，求实数的取值范围. 31．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围. 32．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)设分别为的极大值点和极小值点，记．证明：直线与曲线交于另一点． 33．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数的值； (2)若在内有两个不同极值点，求实数的取值范围． 34．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 35．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)函数在上恒成立，求最小的整数a． 36．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知函数（）． (1)当时，讨论的单调性； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 37．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 38．（2024高三·全国·专题练习）设函数，已知是函数的极值点．求a； 39．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数． (1)求函数的极值； (2)证明：对任意的，有； (3)若，证明：． 40．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，的图象在处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：. 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D D B C B ACD BCD 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 AD ACD BCD ACD BCD ABC AB AC AC 1．D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义 【分析】由列方程，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】，， ， 显然不满足上式，所以， 令，则， 在上单调递增， 在区间上单调递减， 且， 画出的图像，可知：. 故选：D 【点睛】易错点睛： 导数符号分析的准确性：在求解的符号变化时，容易因导数计算错误导致对单调性的判断错误.因此，确保导数的符号变化准确是关键. 图像绘制中的误差：在通过函数图像判断解的个数时，容易因为图像绘制不够精确或未充分考虑极值点位置，导致解的个数判断错误. 2．A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出，再利用导数求出单调递减区间. 【详解】函数，求导得，则， 由曲线在点处的切线方程为，得，解得， 于是，由，得，而，解得， 所以函数在内的单调递减区间是. 故选：A 3．D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由导数确定函数的单调性，然后确定，利用此性质化简不等式为形式，再由单调性求解． 【详解】由已知，当且仅当时等号成立， 所以是上的增函数， 又， 所以不等式化为， 所以，解得或． 故选：D． 4．D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数明确在上的单调性后根据最值的符号可得，在这个条件下可证在上无零点，故可得正确的选项. 【详解】由题设可得当时无零点， 此时， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故当时，， 故， 而为上的增函数，且， 故即. 当时，， 设，， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， ，，故， 故在上恒成立，故在上为减函数， 故即在上恒成立， 故在上无零点， 综上，， 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往需要根据导数讨论函数的单调性，结合最值的符号来判断，如果还涉及到分段函数，可以先求出一段上满足零点个数时参数的取值范围，再根据这个范围讨论余下一段即可. 5．D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题意可得，则在上恒成立，不妨设，则原不等式可转化为，构造函数，再利用导数研究函数的性质即可求得实数的取值范围 【详解】因为，， 所以， 则， 当时，，则恒成立， 所以在上为增函数， 不妨设，则，因为， 所以等价于， 即， 令，， 所以可知在上为增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， 则， 所以在上为减函数，所以， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 6．B 【难度】0.65 【知识点】列举法求集合中元素的个数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、交集的概念及运算 【分析】根据给定条件，建立不等式，求出不等式的整数解个数即可. 【详解】依题意，， 即，且， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增 当时，，函数在上单调递减， ， 显然当时，， 所以，中元素的个数为. 故选：B 7．C 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、等差中项的应用 【分析】由导数确定是上的增函数，然后证明的图象关于点对称，从而得出，，确定结论． 【详解】由已知， 所以是上的增函数， 又，所以， 所以的图象关于点对称， 又因为，成等差数列，则，， 所以， 故选：C． 8．B 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根 【分析】得到，，构造，故，求导得到其单调递增，故，求出. 【详解】由题意得，， 令，则， 又恒成立， 故在R上单调递增， 故， 所以. 故选：B 9．ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数 【分析】由，可得是的极小值点，即可判断AB；求导，再根据导函数的符号即可判断CD. 【详解】对于AB，， 因为，所以是的极小值点， 则，解得， 此时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故A正确，B错误； 对于C，若，则， 当时，，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，若，则， 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求已知函数的极值点、函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由函数的零点定义，即可判断A；利用导数研究函数的单调性，即可判断B；利用函数对称性的定义，可判断C；利用函数的单调性，即可判断D. 【详解】对于A，令，解得或， 所以有两个零点，故A错误； 对于B，， 令，解得或， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C，因为 ， 即， 则的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由对于A的分析可知，当时，单调递增， 则当时，单调递增， 又当时，，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．AD 【难度】0.65 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据求得，根据函数的对称性、不等式的解法、导数与单调性、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，， ∴， 所以，所以的图象关于对称，所以A正确； 且，所以B错误； ∵当时，，而在上单调递减， ∴，∴C错误； ， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ， 画出的大致图象如下图所示， D选项中，时，， 由图可知，的最大值为，所以D选项正确. 故选：AD 12．ACD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】根据奇函数的定义可判断A的正误，根据指数函数的性质可判断BC的正误，利用导数和零点存在定理可判断D的正误. 【详解】对于A，的定义域为R，且， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，为减函数， 所以在R上单调递增，故B错误； 对于C，， 因为，所以，所以， 所以的值域为，故C正确； 对于D：， 求导得， 又，，所以， 所以在R上为增函数， 又当时，， 当时，， 所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确． 故选：ACD. 13．BCD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】根据三次函数的图象性质，结合极值点的定义即可求解A，根据，即可结合极值点定义求解吧，根据即可得方程的一个零点为0，结合极值，即可分类求解C，利用导数，即可求解D. 【详解】,若是的极小值点,则， 故有两个不相等的实数根，因此函数既有极大值也有极小值， 故由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧， 在上不单调，A错误. ，若是的极大值点，则， 所以. 若没有极值点.的解为. 因为是的极大值点，所以，即B正确. 若，则. 因为的极小值大于0，所以只有一个零点，且的极大值点与极小值点均大于0， 所以方程无实数根，且方程的2个实数根均大于0， 所以解得，C正确. 若，则. 令，若，即单调递增，符合题意. 由，解得或， 此时的2个解为. 当时，，所以在上单调递减， 即当，时，，不符合题意. 当时，， 所以在上的最大值为，且，不符合题意. 综上，若，且在上的值域为，则的取值范围为，D正确， 故选：BCD 14．ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可判断ABC的正误，利用导数可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，，设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在为增函数， 故，故D成立， 故选：ACD. 15．BCD 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、导数中的极值偏移问题 【分析】利用指对数运算将原函数变形后可判断AB的正误，利用估值可判断C的正误，构建新函数结合导数可证，故可判断D的正误. 【详解】由，， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，故A项错误； ，可知在单调递减，故B项正确； ，由可得， 由可得，故C项正确； 由，则，故, 故， 令，其中，则， ， 又，当且仅当取等号，而， 故 ，故，故上单调递减， 故，故， 而在上为增函数，故即，故D项正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：对于底数和指数（或真数）都有自变量的函数，一般是利用指数或对数的运算性质将该函数转化为常见函数的复合函数，再利用导数等工具处理最值或单调性问题. 16．ABC 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数图象及性质 【分析】A选项，令，，，，求导，求出函数单调性，得到，，得到A正确；B选项，在A选项基础上，得到时，，，B正确；C选项，令，，求导得到函数单调递增，且，从而得到C正确，D选项，令，，求导得到函数单调性和值域，结合的单调性和取值范围，得到两函数图象，数形结合得到D错误. 【详解】A选项，令，， 则恒成立，故在上单调递增， 则， 令，， 则，故在上单调递增， 故， 所以，即，A正确； B选项，由A选项知，时，单调递增，单调递减， 则， 所以，即，B正确； C选项，令，， 则， ，，， 又在上恒成立， 故在恒成立， 故在上单调递增， 又，故，即当时，，C正确； D选项，令，，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 在上单调递增，在上单调递减， 且，， 画出两函数图象如下： 时，不满足， 存在，使得当时，，即，D错误. 故选：ABC 【点睛】很多时候，我们需要证明，但不代表就要证明，因为大多数情况，的零点解不出来，设隐零点是一种方法，也可尝试凹凸反转，如要证明，可把拆分为两个函数，放在不等式的两边，即要证明，只要证明，凹凸反转的关键是如何分离出两个函数，通常考虑指数函数与对数函数分离，构造两个单峰函数，进行求解. 17．AB 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、与二次函数相关的复合函数问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用配方法结合指数函数的性质求的值域判断选项A；利用导数求单调区间判断选项B；由函数值的符号否定对称轴判断选项C；由指数式和对数式的运算结合基本不等式判断选项D. 【详解】对于A，函数值域为， 而，令， 则，， 由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 即当即时等号成立， 所以的值域为，A选项正确； 对于B，， 则解得，解得， 则在上单调递增，在上单调递减，B选项正确； 对于C，时，，，， 时，，，， 所以曲线不可能关于直线对称，C选项错误； 对于D，且，由BC选项可知，，有， 由，有， ，则， 有，由，则， ，得，D选项错误. 故选：AB. 18．AC 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】根据即可判断A；对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断B；要使有且仅有2个零点，由单调性可得，故，求解判断C；过点可以作曲线切线条数可转化为根的个数可判断D． 【详解】对于A，对任意的，， 所以点是曲线的对称中心，故A对； 对于B，当时，，， 由，可得，由，可得或， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 又因为， 由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点， 当时，，所以当时，函数有一个零点，故B错； 对于C，当时，，此时单调递增，至多一个零点，不符合要求， 当，所以， 令解得或，令解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 由于，要使有两个零点，则，解得时，故C正确； 对于D,，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得，， 即过点可以作曲线的1条切线，故D错误； 故选：AC 【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，难点是选项C的判断，解答时要结合函数的单调性，求出函数的极值，结合零点个数列式求解. 19．AC 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数求导可得，从而求出其单调区间及极值，然后逐项分析即可对ABC判断求解，利用零点存在定理可对D判断. 【详解】A、B、C:由， 可得在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，选项A正确； 当时，又， 所以，而在上单调递增，所以，选项B错误； 当时，，而在上单调递减， 所以，所以，选项C正确； D：由的单调性可知，的极大值点是1，极小值点是3， 而，，，，， 所以有2个零点，选项D错误. 故选：AC. 20．/ 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】先根据极值点得出，再应用，，化简得出，两边取自然对数可得计算即可求解. 【详解】因为为函数的极值点，， 所以，，则， 因为，由可得， 将（*）代入得，，因为在上单调递增，所以， 则，而，两边取自然对数可得， 所以，又由，两边取自然对数可得，故， 所以． 故答案为：. 21． 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先通过导数研究的单调性与最值，结合换元法将问题化为的零点问题，根据导数的几何意义计算参数即可. 【详解】设，则，，得， 当单调递增， 当单调递减， 当时，函数取得最大值1， 如图1，画出函数的图象， 由，即，则恒过点， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为， 如图2，则与有2个交点，， 如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以， 综上可知，． 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想. 22． 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先判断的符号和公比的关系，求得关于的表达式，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】由，得0时，时，， 由，得，所以， 令，则， 当时，3； 单调递增，所以， 当时，，故， 当时，，又，故； ，单调递减，又， 故，故， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在求解关于等比数列有关的取值范围时，通过构造函数并利用导数分析其单调性，找出函数的取值范围．这种方法可以有效地处理涉及不等式与单调性的范围问题. 23．3 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、利用导数研究方程的根 【分析】原方程可化为，结合函数的单调性可得，故可求目标代数式的值. 【详解】因为，故， 因为，故，所以，设 则，故在上为增函数， 故，故，且，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：对于与指数、对数都出现的代数式，注意利用同构结合新函数的单调性进行转化. 24． 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用定义求等差数列通项公式、比较函数值的大小关系 【分析】设，则有，由的奇偶性和单调性分析可得的奇偶性和单调性，结合是公差为2的等差数列，可求出，进而可求. 【详解】由，知为偶函数， 当时，知在单调递增且， 设，则为奇函数且在单调递增，结合奇函数的对称性可得在单调递增， 由题得，又是等差数列，可得， 当时，，，， 同理，即，不合题意， 当时，同理可得，也不合题意， 所以，又公差为2，可得，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 掌握有公共定义域的奇偶函数通过简单的加减乘除以后形成新函数的奇偶性；掌握有公共定义域的单调函数通过简单的加减乘除以后形成新函数的单调性；掌握奇函数单调性比较大小的特点，若奇函数是增函数，则有. 25．/ 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据函数的周期性，在一个周期范围内根据导数判断函数单调性，即可得函数单调递减区间，进而可得解. 【详解】， 由与的周期均为， 则的周期为，不妨设， ， 令，即， 解得， 综上所述的单调递减区间为，， 故， 故答案为：. 26．< 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】根据条件可得，构造函数利用导数证明，由此可得，即得，令，利用导数判断的单调性，得解. 【详解】由，可得， 令，则， 当时，，所以函数在上单调递增，， 即，一定有，所以， 则，可得． 又因为，所以，令， 则， 当时，，，则， 所以，所以函数在上单调递增． 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是构造函数，证明，将条件式转化为，再由单调性得解. 27．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数直接求解单调区间即可； （2）设切点为，利用导数的几何意义可得，设，结合题意可将问题转化为函数与的图象有三个交点，进而结合导数分析的单调性，再结合图象求解即可. 【详解】（1）由，， 则， 令，得；令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，，则， 设切点为，则， 化简得， 因为过点可以作3条直线与曲线相切， 所以方程有三个不同的实根， 设，即函数与的图象有三个交点， 而， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又，，且时，， 画出函数与大致图象， 要使函数与的图象有三个交点，则， 即m的取值范围为． 28．(1)单调递减区间是，无增区间. (2)证明见详解 (3)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导函数求得的最大值，再得到在上递减； （2）时函数值恒为负数，所以研究的最大值，借助导函数得到在区间上小于0，所以函数单减，从而得到函数值一定小于0，得证； （3）利用导函数求单调区间，由此得出的所在区间，构造直线使得与的交点见距离等于不等式两边的值，再由线段长短得出相应结论. 【详解】（1）当时，，， 则 令，则， 令，∵， ∴， ∴在区间上单调递减增，在区间上单调递减， ∴， ∴的单调递减区间是，无增区间. （2）∵， 当时，显然成立， 当时，，令， ∴， ∴在区间上单调递减，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 综上所述，当时，. （3）， ∴，令，则，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，∴. 不妨设，则，， 先证：， 易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为， 令，则， 当时，，此时， ∴当时，图像在下方. ∴， ∴， 再证，设，， 易知直线方程为，直线方程为， 则直线，与直线交点的横坐标为，， ∴， ∵，同理可证：， ∴，类似的可以证明， ∴，即， ∴ 【点睛】思路点睛：本题不等式证明可以分别证明两边成立，因为是与的交点，可以构造其他交点使得线段长度等于不等式两端的值，再证明点的位置，得到线段长度即可得证. 29．(1)； (2)单调递增区间为，无单调递减区间； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）根据，求解即可； （2）由（1）得，代入导函数，根据导函数的正负即可得答案； （3）由（1）、（2）得，当时，，再结合，可得，，将 代入函数的解析式，进行化简，再利用不等式的性质即可得证. 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因为函数在处的切线为轴， 所以， 解得； （2）解：由（1）可知， 所以， 所以函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间； （3）证明：由（2）可知函数在上单调递增，且， 所以当时，， 又因为，所以，有，，有， 由，得， 即， 即(*)， 又因为，，将(*)式两边同时乘以， 得. 【点睛】关键点睛：本题的关键是第（3）问中，得出当时，，从而得. 30．(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）根据题意，求导可得，由函数在上单调递增，，即可判断的单调性； （2）由题可知，在上单调递增, 令，则恒成立，讨论即可. 【详解】（1）由题意，， 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由题意，， 可得， 由题可知，在上单调递增. 令，则恒成立， 所以时，，符合题意. 当时，令，解得. 当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 31．(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）先求得，然后根据既有极大值，又有极小值，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）时，， ， 令，解得（负值舍去）， 故当时，单调递减， 当时，单调递增， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）依题意，， 令，则问题转化为有两个不同的正根， 故 解得，故实数的取值范围为. 32．(1)单调增区间为，单调减区间为 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）求导后，借助导函数的正负即可得原函数的单调性； （2）求出直线的方程后，联立直线的方程与曲线，可得，构造函数，结合导数研究单调性后结合零点的存在性定理，可得方程有处外的第三个解，即可得证. 【详解】（1） 令得或， 当时，； 当时，； 故的单调增区间为，单调减区间为； （2）由（1）得， 则直线的方程为， 即， 令，得， 设， 则， 令得，当时，； 当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 因为， 存在唯一的，使，所以有且仅有2个零点， 其中，这表明方程0的解集为， 即直线与曲线交于另一点，且的横坐标为． 【点睛】关键点点睛：第二问关键点在于将证明直线与曲线交于另一点转化为证明直线的方程与曲线联立后，消去后所得方程有除外的第三个解. 33．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，得出在处的切线方程，过可得，根据函数求导判断单调性以及，即可得出； （2）对函数求导，由在内有两个不同极值点，转化为有两个不同的解，即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，通过分析二次函数在给定区间的值域，即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，，且定义域为． 则在处的切线方程为． 则，即． 设，则． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 又，且在上单调递减，所以. （2）由（1）知，. 令，得有两个不同的解． 令，所以， 即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点． 因为时，最小，且为， 且时， ， 所以． 34．(1)； (2)1 (3)存在，3. 【难度】0.65 【知识点】数列不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可. （3）由（2）可得不等式，再赋值并利用不等式性质，结合放缩法求出的范围即可得的最小值. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以的严格增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以. （3）由（2）知当时，，即， 则恒成立，当且仅当时取等号，当，时，， 因此， 则，即， 当时，， 即当时，， 所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立， 则的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键. 35．(1)单调增区间为，，单调减区间为 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）利用（1）中结果，求出在区间上最大值，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 因为恒成立，由，得到或，由，得到， 所以函数的单调增区间为，，减区间为. （2）由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，显然有，所以在区间上最大值为， 又函数在上恒成立，所以，得到最小的整数. 36．(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对求导，得到，令，得到或，再利用导数与函数单调性单间的关系，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 因为时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 37．(1)单调增区间为，无单调减区间 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 38． 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数 【分析】由题意求出，由极值点处导数为即可求解出参数，并检验. 【详解】由， 所以， 又是函数的极值点，所以，解得. ，， 设，， ， ∴函数在上单调递减， ∴函数在上单调递减，又时，， 所以，，，， 所以函数在处取得极值，符合题意. 所以. 39．(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）先求出导函数，再令根据导函数的单调性得出极值. （2）先构造函数，再求导得出函数单调性，得出函数最小值，得出，同乘即可得出证明不等式； （3）先构造函数，应用单调性可得，再分，三种情况分别证明即可. 【详解】（1）因为， 令， 又因为单调递减；单调递增； 所以的极小值为，无极大值. （2）令， 可得，令， 单调递增，， 单调递减； 单调递增； 所以， 所以， 所以，即得， 所以 （3）对任意的，令， 所以 令 单调递增，， 单调递减， 所以设，则即 可得， 当单调递增，所以，可得 所以， 当单调递减，所以，可得 所以， 当 因为单调递增，所以，可得可得， 因为单调递减，所以，可得可得， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：先构造函数，根据导函数得出函数单调性，应用单调性可得，再把分为，三种情况分别证明即可. 40．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合已知的切线方程，求解即可； （2）要证，即证，构造函数，通过求导判断函数的单调性，求解最值即可求解. 【详解】（1），则，， 则过切点的切线方程为， 即，所以，即； （2）要证：，即证：， 设，， 令，解得， 当时，单调递减，时，单调递增， 所以， 所以. 答案第38页，共39页 答案第13页，共39页 学科网（北京）股份有限公司 $$