55.利用导数求参数值-高中数学全部题型大总结（全国版）

55.利用导数求参数值 1．（2022·广东茂名·一模）曲线上存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知为函数，图象上一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B．5 C．6 D． 5．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数的图象与函数的图象重合，则（   ） A． B．在区间单调递增 C．直线是的图象的对称轴 D．直线是曲线的切线 7．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数和且，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线和直线，则（    ） A．曲线上与直线l平行的切线的切点为 B．曲线上与直线l平行的切线的切点为 C．曲线上的点到直线l的最短距离为 D．曲线上的点到直线l的最短距离为 9．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知函数（均为常数且）的导函数满足，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的极值点 D．不等式的解集为 10．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知，分别为直线和曲线上的点，则的最小值为 11．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）若直线是曲线的切线，则 ． 12．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知分别是曲线和直线上的点，则的最小值为 ． 13．（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）若曲线与曲线有公共点，且在公共点处有公切线，则实数 ． 14．（24-25高三上·上海·开学考试）已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是 ． 15．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 16．（24-25高三上·湖北·开学考试）M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为 . 17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 18．（23-24高二下·安徽池州·期中）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 19．（24-25高二下·全国·课后作业）直线与曲线相切于点，则 ． 20．（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）已知函数，若，且的最大值为5，则实数的值为 ． 21．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值; (2)已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 22．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间与极值. 23．（24-25高三上·江西·阶段练习）函数. (1)在处的切线与直线平行，求实数的值. (2)证明：对于，，恒成立. 24．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； (2)若函数无零点，求的取值范围. 25．（2023·青海·一模）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求a，b； (2)证明：． 26．（2024·江西九江·二模）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若函数有三个极值点，，，求实数的取值范围． 27．（2024·云南·模拟预测）已知函数． (1)在处的切线与直线垂直，求的值； (2)若有两个极值点，求的取值范围. 28．（24-25高三·上海·随堂练习）①；②．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．已知直线：，． (1)证明：直线不可能是曲线的切线； (2)若直线与曲线________相切，求实数的值． 29．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数在处的切线方程为. (1)求实数a的值； (2)探究在区间内的零点个数，并说明理由. 30．（23-24高二下·天津河东·期中）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的极值点的个数． 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B A D D ABD ABC BC ABD 1．A 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】求导，得到，设切线斜率分别为，得到，根据垂直关系得到，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】， 因为，所以， 设在点A，B处的切线斜率分别为， 则， 又，故，， 解得. 故选：A 2．B 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】根据导数的几何意义求，再求函数的极大值和极小值，根据零点的个数，列不等式，即可求解. 【详解】由题意，得，，，.令，得，. 当或时，，在，上单调递增； 当时，，在上单调递减 当时，有极大值；当时，有极小值. 若要使至少有两个不同的零点，只需（等号不同时成立），解得. 故选：B 3．A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、求点到直线的距离 【分析】分析可知当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，结合导数的几何意义运算求解. 【详解】设，由题意得， 当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 则，得，， 所以点到直线的距离的最小值为． 故选：A. 4．D 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可． 【详解】设直线与直线平行，且与函数的图象相切， 设切点为，因为是单调递增函数， 直线的斜率为1，所以，解得， 即切点为， 所以点到直线的距离的最小值是点到直线的距离， 即为． 故选：D 5．D 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，且，解得即可. 【详解】因为，所以， 又函数处的切线方程为， 所以，且， 联立解得，； 故选：D. 6．ABD 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用诱导公式求出，即可得到、的解析式，即可判断A；再由正弦函数的性质判断B、C；求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，根据题意知的图象与重合， 所以， 所以，解得， 又，所以， 所以，， 则，故A正确； 对于B，因为，则，又在上单调递增， 所以在区间单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以不是的图象的对称轴，故C错误； 对于D，因为，所以， 令，则， 则或，解得或， 又，所以在处的切线方程为， 所以是曲线的切线，故D正确. 故选：ABD 7．ABC 【难度】0.65 【知识点】对数函数图象的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、指数函数图像应用 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，利用导数的知识判断这两个图象的交点个数． 【详解】（一）当时，函数和的图象呈现以下三种情况： 如图2，当函数和的图象只有一个公共点时，此公共点必在直线上，且函数图象在此公共点的切线即为直线，， 所以有，则，，所以， 即公共点为， 结合图象有以下结论： （1）当时，函数和的图象没有公共点（如图1）； （2）当函数和的图象只有一个公共点（如图2）； （3）当函数和的图象有两个公共点（如图3）． （二）当时，函数和的图象呈现以下三种情况（把图象适当放大）： 图5中，函数和的图象只有一个公共点，此公共点在直线上，且在该公共点处，有公切线，此公切线斜率为（与直线垂直）， 所以，解得，即公共点为， 结合图象得以下结论： （4）当时，函数和的图象有三个公共点（如图4）； （5）当时，函数和的图象有一个公共点（如图5）； （6）当时，函数和的图象有一个公共点（如图6）； （5）（6）可合二为一：当时，函数和的图象有一个公共点． 综上，函数与的图象的交点个数可为0，1，2，3， 故选：ABC． 8．BC 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、求点到直线的距离 【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D. 【详解】设与直线平行的直线和相切，则斜率为. 因为，所以，令，可得切点为，故A错误，B正确； 则点到直线的距离就是曲线上的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知最短距离为，故C正确，D错误. 故选：BC. 9．ABD 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、函数单调性、极值与最值的综合应用、求某点处的导数值、求已知函数的极值点 【分析】结合题意计算即可得、、，从而可得，即可得A、B；结合可得函数单调性，即可得C；解出不等式即可得D. 【详解】由，则，又， 故，又，即， 即有，解得， 即，，则，故A、B正确； 对C：由恒成立，故单调递增，故无极值点，故C错误； 对D：即为，即，解得，故D正确. 故选：ABD. 10． 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数 【分析】利用数形结合思想可知直线与曲线相切的切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可. 【详解】直线与曲线相切于点A， 由题意的最小值为切点A到直线的距离，如图所示， 对求导有，由可得，即， 故的最小值为. 故答案为：. 11． 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点为，利用导数的几何意义得到方程组，解得即可. 【详解】因为，所以， 设切点为，则，即， 当时，则，，所以，， 所以在处的切线为，符合题意； 当，则，则，所以，则， 则，此时无解，不符合题意，故舍去； 综上可得. 故答案为： 12．/ 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、求点到直线的距离 【分析】平移直线与曲线相切，求出切点坐标，再利用点到直线距离公式计算即得. 【详解】平移直线与曲线相切，设切点坐标为， 由，求导得，依题意，即， 而，解得，因此切点坐标为， 所以的最小值为. 故答案为： 13． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设曲线与曲线的公共点为，由题意可以得到，列出关于的方程并进行求解即可. 【详解】由的定义域为， 因此设曲线与曲线的公共点为，， 则，即①， 又，，且两曲线在公共点有公切线， 则，即②， ①②联立消去得，解得， 代入①可得， 故答案为： 14． 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、等比数列的定义、已知点到直线距离求参数、抛物线的对称性的应用 【分析】由已知得出直线必过点，取抛物线位于轴上方部分，设上一点到直线的距离最小，由几何关系得出，再根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求解． 【详解】因为实数成公比为的等比数列，所以， 所以，即直线必过点，且斜率， 不妨取抛物线位于轴上方部分，则，，， 由题可知，，则， 设上一点到直线的距离最小， 则处的斜率等于直线的斜率，即，所以， 点到直线的距离， 整理得，解得，因为，所以， 根据直线和抛物线得对称性得，， 故答案为：． 15． 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】设与曲线相切于点，写出切线方程，将切点代入两个方程，求出，再设与曲线相切于点，对函数求导，利用切线斜率求出切点，再将其代入，即可求得值. 【详解】设直线与曲线相切于点，由，得， 因为与曲线相切，所以消去，解得. 设与曲线相切于点，由，得， 即，， 因在曲线上，故， 即，解得. 故答案为： 16． 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、求点到直线的距离 【分析】令，恒成立，所以曲线在直线上方，当M处切线与直线平行时最小，然后由导数求出切点，求解即可. 【详解】，， 令可得， 所以，，单调递减； ，，单调递增； 所以恒成立，恒成立， 则曲线在直线上方， 则当M处切线与直线平行时最小， 求导得， 此时点到直线距离即为最短距离， 此时. 故答案为： 17． 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】分别求导，根据导数的几何意义列方程组，计算即可. 【详解】设曲线与的切点分别为， 易知两曲线的导函数分别为，， 由题意可知：，可得， 则，解得， 所以. 故答案为：. 18． 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法、求点到直线的距离 【分析】当P为与直线平行且与曲线相切的切线的切点时，点P到直线的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果. 【详解】由可得， 设与直线平行，且与曲线相切的直线，对应切点坐标为， 则，解得，则， 则点到直线的距离，即为点P到直线的最小距离， 即为. 故答案为：. 19． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】根据点在直线上求出的值，对函数求导，根据切点斜率可求出值，代入点解方程，即得解 【详解】因为直线与曲线相切于点， 将代入可得，解， 因为，所以 由，解得，可得， 因为点在曲线上， 所以，解得． 故答案为： 20． 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】由题意可知，若，当为最大值时，即在的切点处的切线与平行，因此求出时，在处的导数，即可求出，根据，求出，最后根据，即可求解. 【详解】令，， 令，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， ，，所以的另一个根在， 因为，若的最大值为5，则和不能同时大于0， 令，在上单调递增， 设，，的最大值为5， 即时，上的一点切线和平行，此时这一切点的横坐标为， 而，因此，由此可得，解得， 故， ，即，得， ，解得：，或， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定最大时，是与平行时，的切线的切点，从而可以求出. 21．(1) (2)1. 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断的单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值. 【详解】（1）由已知，得， 由题知，解得. （2）由（1）可知，，， 的变化情况如表所示： 1 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ，，， 即在区间上的最大值为1. 22．(1)， (2)增区间为和，减区间为，极大值为，极小值为 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）由题知及联立求解可得结果； （2）令求单调增区间，令求单调减区间，进而可得函数的极值. 【详解】（1）由题意，易知，得. ， 由，解得. （2）由（1）知，易知， 当变化时，，的变化情况如下表所示. 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为. 23．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）先求函数的导函数，再根据直线平行斜率相等得出参数值即可； （2）把导函数设为,再根据导函数,得出函数单调性及函数的最小值，即可证明不等式. 【详解】（1）. 由题意： . （2），令， ， ，，. 在单调递增. . ， . 在单调递增..得证. 24．(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出，再由求出； （2）令可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 又曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. （2）令，即， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，且当时， 依题意与无交点，所以， 所以要使函数无零点，则的取值范围为. 25．(1)，. (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合已知的切线方程求解； （2）令，研究的最小值，证明最小值大于零即可. 【详解】（1），， 曲线在点处的切线方程为． 所以，， 所以，， 所以，. （2）由（1）可知，要证明， 则令，即证明恒成立， ， 对于，因为，故该式大于零恒成立， 由得，且时，，单调递减； 时，，单调递增； 所以, 所以恒成立，即. 26．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】（1）设切点坐标为，利用导数的几何意义，求得切线方程，结合题意，列出方程组，即可求解； （2）由（1）求得，分、和，三种情况讨论，利用导数求得函数的单调性，结合题意，即可求解. 【详解】（1）设直线与曲线的切点坐标为， 由，可得，切线的斜率为， 切线方程为：， 即          由已知得且，解得， 所以，可得. （2）由（1）知， 可得， ，    若时，当，；当，， 此时只有一个极大值点，不符合题意． 若时，，当且仅当，时取等号． 当，；当，， 此时只有一个极小值点，不符合题意．         若时，令，，可得， 当，；当，， 所以，      且，，当时，， 所以存在，，且，使得， 当，；当，； 当，；当，． 所以函数有三个极值点． 综上，实数的取值范围为. 【点睛】知识方法点拨：对于利用导数求解函数的极值点与极值问题的策略： （1）求解函数的极值点或极值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值点即为的根； （2）函数的极值点与极值时函数的一个“局部”概念，函数的极小值点（极小值）或极大值点（极大值）可能有多个，并且极大值与极小值之间没有必然大小关系； （3）对于函数，其中“”是“函数在取得极值”的必要不充分条件，注意函数的极值点与函数的单调性间的关系，利用待定系数法求解后，必须验证该点左右两侧的正负. 27．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）求出，利用求出； （2）令，将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点，利用导数求出的大致图象可得答案. 【详解】（1）， 又在处的切线与垂直，所以，即， 所以； （2）因为，且有两个极值点， 所以方程在上有两个不同的根， 即方程有两个不同的正数根， 将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，，且，，， 故作出的图象如图所示：    由图象可知满足题意， 即的取值范围为． 28．(1)证明见解析 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）令，求出导函数，若切线的斜率为，推出矛盾，即可得证； （2）若选①：记，求出函数的导函数，令，求出切点坐标，再代入切线方程，即可求出；若选②：记，求出函数的导函数，令，求出切点坐标，再代入切线方程，即可求出. 【详解】（1）令，则， 若切线的斜率为，则，解得，与的定义域不符合， 所以直线不可能是曲线的切线； （2）若选①：记，则，令， 解得，，所以切点，， 代入直线，解得，． 又因为，故． 若选②：记，则，令， 解得，，所以切点，， 代入直线，解得，． 又因为，故． 29．(1) (2)在区间有且仅有两个零点,理由见解析. 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）运用导数几何意义，结合斜率可解; （2），令，运用的正负判定的单调性，再运用的正负得到单调性，结合零点存在性定理可解. 【详解】（1）由题可知， 由处的切线方程为， 把点代入得． （2）由（1）可知， 令， 当时，，则在区间上单调递增． ， 由零点存在定理可知，存在，使得，即 当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增， 又， 由零点存在定理可知在区间上有且仅有一个零点． 当时，； 当时，： 在区间上单调递增． 又， 由零点存在定理可知，存在唯一零点，使得， 综上可得，在区间有且仅有两个零点． 30．(1) (2)3个 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数极值点的辨析 【分析】（1）根据切线的几何意义即可求出切线方程，进而可以求的值； （2）根据导数判断函数的单调性，进而可以知道函数极值点的个数. 【详解】（1）因为函数， 所以， 因为在点处的切线方程为， 所以，即．解得． （2）由（1）知，，所以， 令， 所以， 令，解得或， 所以与的关系列表如下： 0 + 0 － 0 + 0 － 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 所以在区间和上单调递增；在区间和上单调递减； 因为当时，，所以存在，使得， 又因为在上单调递减，在上单调递增，所以是的一个极小值点； 当时，单调递减，且，所以存在，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的一个极大值点， 当时，单调递增，又，所以存在，使得， 所以在上单调递减，上单调递增，所以是的一个极小值点， 当时，，所以在上单调递增，无极值点； 综上，在定义域上有3个极值点． 答案第4页，共21页 答案第15页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$