53.利用导数求斜率-高中数学全部题型大总结（全国版）

53.利用导数求斜率 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江衢州·期末）已知曲线：，曲线：，两曲线在第二象限交于点，，在处的切线倾斜角分别为，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若曲线与直线恰有2个公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河北邢台·期中）设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知，则（    ） A． B． C．1 D． 8．（23-24高二下·北京·期中）某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（    ） A．   B．   C．   D．   9．（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 10．（16-17高二下·湖北·期中）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 11．（2024·江苏南通·二模）已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·四川雅安·一模）若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二下·辽宁阜新·期末）曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·重庆·阶段练习）设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二下·福建·期中）曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（23-24高三下·广东·阶段练习）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知点，（）是函数（）图象上两点，则（    ） A．对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处的切线倾斜角相等 B．若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则 C．若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是 D．若且曲线在点A，B处的切线都过原点，则 19．（2024·云南楚雄·一模）已知函数，则（    ） A．在定义域上单调递增 B．曲线上任意一点处的切线斜率大于0 C．的图象关于点对称 D． 20．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则 ． 21．（24-25高三上·河南·阶段练习）若函数的图象上存在两点使得在处的切线与在处的切线的夹角为，则实数的取值范围是 . 22．（2024高二·全国·专题练习）若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角范围为 （填锐角、钝角或直角）. 23．（23-24高三上·湖北·期末）已知方程有唯一实根，则实数的取值范围是 . 24．（23-24高三上·山西运城·期中）已知函数有三个不同的零点，则实数的范围为 . 25．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知曲线（，为自然对数的底数）在处的切线的倾斜角为，函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数t的最大值； (2)证明：函数的图象与函数的图象在内有5个不同的交点； (3)记（2）中的5个交点分别为A，B，C，D，E，横坐标依次为，，，，（），求证：． 26．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求直线的倾斜角； (2)求证：除切点之外，曲线在直线的上方； (3)若函数在上单调递增，求的取值范围. 27．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率小于1，求的取值范围． (2)若整数k使得对恒成立，求整数k的最大值． 28．（2024·重庆·模拟预测）已知 (1)若在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)若存在极值点，求a的取值范围． 29．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求该曲线的切线倾斜角的取值范围. 30．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围. 31．（22-23高二下·四川雅安·阶段练习）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围. 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B C C B B D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 A D C C B C ACD ABD BD 1．A 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、正、余弦齐次式的计算、导数的运算法则、二倍角的正弦公式 【分析】根据导数的几何意义先求出函数在处的导数值，即可得到在处切线的斜率，进而得到倾斜角的正切值，再根据求出题中式子的值. 【详解】由题意得，，所以， 于是在处切线的斜率为，即. 又 ， 将原式分子分母同时除以得， ， 代入可得最终答案为. 故选：A. 2．D 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】据题意，由导数的几何意义代入计算，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，则，令，可得， 结合题设，将代入，得，即， 则， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值是， 故选：D. 3．B 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到. 【详解】    如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为, 则直线的斜率依次为， 由图知直线的倾斜角满足，， 因函数在上递增，故， 即. 故选：B. 4．B 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、直线平行、垂直的判定在几何中的应用、求曲线切线的斜率（倾斜角）、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】易知，利用导数的几何意义可求得，再根据圆的切线求法可得，再根据三角恒等变换可判断B正确. 【详解】联立，得，即， 可得，解得，，可得 由：可知； 所以曲线在处的切线斜率为， 曲线可化为，其圆心为，， 所以圆在处的切线斜率为， ，，即，故B正确，A、C错误， ，故D错误， 故选：B. 5．C 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、直线的倾斜角、基本不等式求和的最小值 【分析】根据导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率的关系即可求解． 【详解】设以点为切点的切线的倾斜角为， 因为函数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 6．C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数图象及性质 【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出的图象，数形结合即可得解. 【详解】当时，，其在上单调递减，在上单调递增， 且，则； 当时，，， 其在上单调递减，且. 作出的图像，如图，易知的取值范围是. 故选：C. 7．B 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知两点求斜率、特殊角的三角函数值、直线斜率的定义 【分析】设，，，，由导数的几何意义求得，由，，可得，则有，又，得，可求的值. 【详解】由题意可设，，，. 抛物线方程，即，由，所以点D处切线的斜率为， ，，， 因此，即， 平行于轴，则点D到直线和直线的距离相等，即. 又，，所以. 所以. 故选：B. 8．B 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、利用导数研究函数图象及性质 【分析】由导数的几何意义结合题意可判断. 【详解】由运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高，即为逐渐变大， 结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大， 结合图象可知，故B正确， 故选：B. 9．D 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、特殊角的三角函数值 【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 10．A 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、直线斜率的定义 【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可. 【详解】因为在上为递增函数， 由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率， 所以， 又由斜率的定义可以，表示割线的斜率， 所以， 故选：A. 11．A 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、过圆上一点的圆的切线方程、求曲线切线的斜率（倾斜角）、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】联立曲线曲线与曲线方程求出切点，再由圆的切线与圆心和切点连线垂直，结合两垂直直线斜率乘积等于可求出在处圆的切线斜率，从而得出；由导数知识里在某点处的切线方程求法可得出，进而根据两角和与差的正切公式进行检验判断即可. 【详解】 因为曲线，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 且，即曲线过原点O， 联立，得， 所以在处圆的切线斜率为，所以， 由， 所以曲线在A处的切线斜率为， 又， 所以，所以，从而， 即，故A正确，C错误， 注意到，，且，故B、D错误， 故选：A. 12．D 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、利用导数研究不等式恒成立问题、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】画出函数和的图象，利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】设函数，则直线恒过点， 如图，画出和的图象，两个函数图象都过点， 当直线与相切时，，即，    如图可知，若，成立，则. 故选：D 13．C 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率的范围即可得解. 【详解】函数中，，即，设点， 求导得 ，由，得，即， 因此函数的图象在点处的切线斜率，显然直线的倾斜角为钝角， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C 14．C 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】用导数求出斜率即可. 【详解】，故在点处切线的斜率， 因为，故， 故选：C. 15．B 【难度】0.65 【知识点】直线斜率的定义、导数的运算法则、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】 求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合切线倾斜角范围建立不等式，再求解不等式即得. 【详解】令，求导得，则切线的斜率为， 由的倾斜角小于，得切线的斜率或， 即或， 解得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B 16．C 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求出原函数的导函数，利用导函数大于0求解的范围，即可得到切点坐标为整数的点的个数． 【详解】由，得， 曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角， ，即， 解得：． 又切点坐标为整数，，0，1． 该曲线上这样的切点的个数为3个． 故选：C． 17．ACD 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可. 【详解】存在,,使成立,A正确． 不存在,,使成立,B错误． ,存在,使得成立,C正确． 存在,，使成立,D正确, 故选:ACD. 18．ABD 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由函数在区间上的单调性求参数、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】选项A，转化为在点A，B处导数值相同，由方程有无数解可得；选项B，转化为在点A，B处导数值之积为，方程有解可得参数的范围；选项C，转化为函数单调递减，利用导数小于等于恒成立可求；选项D，由切线斜率的两种求法建立等量关系可得. 【详解】对于A，因为， 要使，则， 得， 所以，，即对任意，的值有无数个，故A正确： 对于B，若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直， 即存在，使得， 因为，， 则且，即， 则的最小值为， 故要使有解， 则有， 解得，满足条件，故B正确； 对于C，对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1， 则，即， 所以在上是减函数， 所以恒成立， 设，，且， 所以要使恒成立，则，即，故C错误； 对于D，曲线在点A，B处的切线都过原点， 由，则点均不与原点重合，设曲线在处切线的斜率为， 则，由切线过原点， 则切线即直线的斜率， 所以，化简得， 若时，则，这与矛盾， 故，所以有， 同理可得， 所以由，得，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：导数与切线有关的问题处理的关键在于以下三个关系的应用： （1）切点在切线上，即切点的坐标满足切线的方程； （2）切点在函数图象上，即切点的坐标满足函数的解析式； （3）在切点处的导数值等于切线的斜率，即斜率的求法可以通过求导运算，也可以通过两点斜率坐标公式求解，或通过算两次建立等量关系. 19．BD 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、求曲线切线的斜率（倾斜角）、判断指数型复合函数的单调性、对数的运算性质的应用 【分析】由指数型复合函数单调性即可判断A；求导即可判断B；由题可知，由此即可判断C；由C选项结论即可判断D. 【详解】对A，，， 根据复合函数单调性知在，上单调递增， 当时，，当时，，∴在定义域上不是单调递增，故A错误； 对B，因为，故B正确； 对C，∵，∴， ∴的图象关于点对称，故C错误； ∵，由可得D正确． 故选：BD. 20． 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、反函数的性质应用、二倍角的正切公式 【分析】由对称性可得，利用导数求切线和的斜率，得和，由解出，再由求出的值. 【详解】函数与和分别交于，两点， 则，， 函数的图象关于直线对称，函数和的图象也关于直线对称， 所以，两点关于直线对称，有， 函数的导数为，函数的导数为， 则，， 由，有，即， 由，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题除了导数和倍角公式的运用，关键点在于运用函数的对称性或对数式的运算，得到. 21． 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求出导函数，得出切线斜率的最大值和最小值，由斜率最大和最小的两条切线的夹角不小于可得参数范围． 【详解】，，， 设斜率最大与斜率最小的两条切线的夹角为， ，由题意，解得． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：从动态角度看，斜率最大和最小的两条切线的夹角不小于时，移动其中一个切线的切点，则两条切线的夹角随之发生变化，当两切线重合时夹角变为0，由连续性的变化知中间一定存在夹角为的切线，由此得解法． 22．钝角 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对函数求导，求出，由此即可判断切线的倾斜角范围. 【详解】， ， ,,,， 故函数图象在点处的切线的倾斜角范围为，为钝角. 故答案为：钝角. 23．或 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据题意方程可化为，构造函数，则，根据函数在上递增，则，结合函数图象即可求解. 【详解】 令，则， 而在上递增， 结合函数和的图象易知， 当直线与相切时，或者直线的斜率时，符合题意. 若直线与相切，设切点， 又则切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 所以，故， 综上可知，实数的取值范围是或， 故答案为：或. 24． 【难度】0.4 【知识点】求函数的零点、利用导数研究函数的零点、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数的几何意义、函数零点的定义分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，，， 当时，只有一个零点，不符合题意，故. ∵， 且当时有且只有一个零点， ∴函数有三个不同的零点等价于 函数有两个不同的零点， 即与有两个不同的交点. 如上图，当与相切时，设切点为， 则由解得：，则. 如上图，由与有两个不同的交点知 ，解得：， ∴实数的范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数范围的方法： 1.利用零点的个数结合函数的单调性构建不等式求解. 2.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 3.分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解. 25．(1) (2)答案见详解 (3)答案见详解 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）利用导数求出函数的单调递增区间，即可求出实数t的最大值； （2）将问题转化为利用导数证明函数在内有5个零点； （3）通过观察可知，，即转化为求证，再根据和均在区间，且在单调递减，所以只需证明即可. 【详解】（1）， ，即， ，， 令，解得，所以在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，所以实数的最大值为； （2）证明：令，， 设，则， 令，解得，，，， 因为在上单调递减，且， 所以在上， 所以在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减， 又，，，，， 所以存在，，，使得， 因此当，，递减；当，，递增；当，，递减；当，，递增；当，，递减； 又，，，，， 所以 ，，，， 使得，又因为， 所以在内有5个零点， 所以函数的图象与函数的图象在内有5个不同的交点； （3）证明：由（2）可知，，又，所以， ，，所以, 所以要证，即证，即证， 因为，，所以， 所以， 又，，所以， 又因为，递减， 又，所以， 所以在单调递减，所以只需证明， 又， 又，所以，，， 所以， 所以，所以， 即证. 【点睛】求解两个函数和交点的问题通常转化为函数零点的问题. 26．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、由函数在区间上的单调性求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义得到切线倾斜角； （2）法一：求出直线的方程为，构造，分和两种情况，得到，得到结论； 法二：求出直线的方程为，构造，求导，得到，得到其单调性，进而对且成立，证明出结论； （3）对成立，令，求导，得到对成立， 所以在上单调递增，故只需，求出答案. 【详解】（1）当时，， 所以． 所以，所以直线的倾斜角为. （2）因为．所以，且， 所以直线的方程为，令，定义域为， 法一：当时，，所以. 当时，，所以， 所以对且成立， 即除切点之外，曲线在直线的上方. 法二：因为， 所以时，，， 时，，， 与的变化情况如下表： ↘ ↗ 所以，函数在处取得最小值， 所以对且成立， 即除切点之外，曲线在直线的上方. （3）因为函数在上单调递增， 所以对成立，令， 所以， 所以对成立， 所以在上单调递增， 所以只需， 所以. 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 27．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义得到，再利用题设条件，即可求出结果； （2）对恒成立，等价于恒成立，令恒成立，将问题转化成即可求解． 【详解】（1）因为，得到， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 由题意得，解得，所以的取值范围. （2）因为“对恒成立”等价于“当时，恒成立”， 令，所以， 令，得， 当变化时，与的变化情况如下表所示： － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值， 令，则， ①当时，因为的最小值， 所以对于恒成立，符合题意， ②当时，由，得函数在单调递减， 所以，故此时的最小值，不符合题意， 所以整数的最大值是2． 28．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求出函数的导数，根据已知条件有，解方程即可求出； （2）根据条件有在上至少有一个变号零点，即至少有一解，构造函数，对求导，利用导数判断函数单调性，求出函数最值，进而即得. 【详解】（1）因为，所以， 根据题意有，即，解得， 检验，此时，切线为，平行与轴，故符合题意. （2）因为，所以， 因为存在极值点，所以在上至少有一个变号零点， 即至少有一解，令， 则，令，即，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，又当时，， 所以. 29．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）导数值域就是切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率的关系求解得出结论． 【详解】（1）由，则， 所以曲线在点处切线的斜率为， 所以切线的方程为，即. （2），所以切线的斜率，设，， ，解得. 所以该曲线的切线倾斜角的取值范围为. 30．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）先求出导数利用求出，即可求出的值； （2）导函数存在两个不相等的零点，则需要对导函数进行增减性的分析，利用根的存在性定理进行求解即可. 【详解】（1）由题意，的定义域为，  ， 因为曲线在点处的切线方程为． 所以，得； （2）因为，存在两个不相等的零点， 所以存在两个不相等的零点，则， 当时，，所以单调递增，至多有一个零点 当时，因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，， 因为存在两个零点，所以，解得， 因为，所以， 因为，所以在上存在一个零点， 因为，所以， 因为，设，则， 因为，所以单调递减， 所以，所以． 所以在上存在一个零点， 综上可知，实数的取值范围为 【点睛】方法点睛： 求函数的切线方法， 分为两种：一是“过”某点的切线，二是“在”某点的切线. 求“过”某点切线步骤： 一：设切点为； 二：求出原函数的导数，将代入导函数求切线的斜率； 三：利用点斜式书写方程，在代入题设某点即可. 求“在”某点切线步骤： 一：求出原函数的导数，将代入导函数求切线的斜率； 二： 利用点斜式书写方程，在代入点即可. 31．(1) (2)1， 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、基本不等式求和的最小值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可； （2）利用基本不等式求解切线的斜率范围，根据正切函数的性质结合倾斜角的范围求解即可. 【详解】（1）∵，∴， 当时，，， ∴曲线在处的切线方程为，即； （2）由题意，， ∴，当且仅当即时，等号成立， ∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1， ∴，又， ∴，即倾斜角的取值范围为. 答案第24页，共25页 答案第15页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $$