51.含对数不等式问题-高中数学全部题型大总结（全国版）

51.含对数不等式问题 1．（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·全国·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 11．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象恒过某个定点 B．在上单调递减，在上单调递增 C．图象上存在两个不同的点关于轴对称 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 12．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则满足的的取值范围是 . 13．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是 ． 15．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）设奇函数，则使的的取值范围是 ． 16．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 17．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 18．（23-24高一上·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 19．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 20．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）已知函数. (1)若，试用表示； (2)是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由. 21．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 22．（2024·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 23．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； (3)设函数，.当时，求的最大值. 24．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C B B B C BD ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、由不等式的性质证明不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在 上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确. 【详解】由得， 对于选项A、B，若，可令，不等式可化为， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误. 对于选项C、D，若， ∵ ∴， ∴， 要使不等式恒成立，则需， ∵函数在为增函数， ∴函数有相同的零点， 由得，由得，， ∴，即， ∴， ∴，选项D正确. 故选D. 【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下： （1）不等式变形为. （2）对于选项A、B，若，对，与符号不确定，可取，通过分类讨论得到不存在使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误. （3）对于选项C、D，若，确定恒成立，转化为，则与同号，利用函数的单调性可知函数有相同的零点，利用零点相同可得. 2．D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上是减函数， ，即， 所以， 所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：. 3．C 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，解得或， 故或，又，所以. 故选：C 4．C 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数的单调性及定义域求解即可. 【详解】因为等价于，即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 5．B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】应用分段函数及指对数不等式计算求解即可. 【详解】因为或， 所以或, 所以或. 则不等式的解集为. 故选：B. 6．B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】分析可知为定义在上的奇函数，且为增函数，结合函数性质，对数函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 可知为定义在上的奇函数， 且当，则在内单调递增， 可知在内单调递增，所以在上单调递增， 因为，则， 可得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 7．B 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、对数的运算性质的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据对数运算法则将不等式变形进行构造函数，再由函数单调性定义可得在上单调递减，原不等式等价于，利用单调性即可解得结果. 【详解】将不等式化简可得； 令，可得， 即对任意的，，都有， 所以函数在上单调递减， 则等价于， 即，可得， 又，所以， 所以等价于， 因此可得，解得, 可得x的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形通过构造函数并利用所给函数值以及函数单调性解不等式即可得出结果. 8．C 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、解分段函数不等式、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先根据分段函数分段结合指数不等式及对数不等式解题即可. 【详解】当时，由，得，得，得， 当时，由，得，得，所以， 综上，. 故选：C 9．BD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先由题意得，对于A，结合对数函数单调性即可得解；对于B，结合A得即可得解；对于C，举一反例，如，时即可判断；对于D，由A结合对勾函数单调性即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，为减函数，； 当时，为增函数，解得，故选项A错误； 对于B，由A得，即，故选项B正确； 对于C，当，时，，故选项C错误； 对于D，在上单调递减，在上单调递增， 所以由A得，选项D正确. 故选：BD. 10．ABD 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的解析式求解定义域，利用复合函数的单调性求解单调区间及最值，利用单调性解对数不等式即可. 【详解】因为， 由，解得，所以的定义域是，故A正确； 的对称轴为：， 所以在上单调递增，在上单调递减； 在单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值为，故B，D正确； ，即，所以， 所以，解得，故C错误. 故选：ABD. 11．ABD 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、对数型函数图象过定点问题、对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】根据可判断A的正误，就的不同取值分类讨论后可判断函数的单调性，故可判断B的正误，考虑是否有解后可判断C的正误，而任意，恒成立等价任意，恒成立，故可求参数的取值范围，从而判断D的正误. 【详解】对于A，因为，故的图象恒过原点，故A正确； 对于B，若，则， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，则， 故在上单调递减，在上单调递增,故B正确. 对于C，考虑是否有解， 而等价于， 也即等价于， 也即等价于或， 两个方程均无解， 故图象上不存在两个不同的点关于轴对称，故C错误. 对于D，若对任意，恒成立， 则对任意，恒成立即恒成立， 故，故或， 所以或，故D成立， 故选：ABD. 12． 【难度】0.65 【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，由已知条件可得，解此不等式即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以对任意的，， 则，所以函数的图象关于直线对称， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 即，平方得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13． 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ， 所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由， 可得， 所以， 所以，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，则，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 14． 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】分析可知函数在上单调递增，且，由已知条件可得出，结合函数的单调性和奇偶性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 则函数在上单调递增，且， 因为，由， 可得，即， 即，所以，，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 15． 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意结合奇函数的定义可得，，再解对数不等式即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，整理可得， 则，可得，解得， 所以符合题意. 不等式，即，整理得，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 16．(1)，， (2)在上单调递增；证明见解析 (3)． 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）将代入可得解析式，利用结合可得解析式； （2）证明当时，即可； （3）不等式可化简为，后令，结合双沟函数单调性可得答案. 【详解】（1）由题意，过点，即，解得， 所以，． 为上的奇函数，，解得，即， 其定义域为，关于原点对称， 且 ，故此时为奇函数； （2）在单调递增. 设，则， 因为，，， 所以，于是在上单调递增； （3）由在区间上恒成立， 得，即， 令，，则， 令，，设，， 根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调递增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减，， 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数，． 17．(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据对数函数的最值求参数或范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【详解】（1））① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. （2）设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 18．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【详解】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 19．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）当时，不等式转化为，得到，即可求解； （2）把不等式，转化为对任意恒成立， 设，得到对任意恒成立， 设，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得， 由不等式，即，可得，解得， 所以不等式的解集为． （2）解：由不等式，即， 等价于对任意恒成立， 设，即对任意恒成立， 设， 当时，，解得， 当时，，a无解， 综上，a的取值范围是． 20．(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用换底公式和对数运算法则得到答案； （2）参变分离得到在区间上有解，构造，求出其最大值，从而得到，结合为正整数，得到答案. 【详解】（1）因为，所以. （2）不等式可化为， 即在区间上有解. 令，则， 因为，所以， 又是正整数，故的最大值为2. 21．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由对数的性质计算出集合后，分及，结合交集性质计算即可得； （2）由题意可得是的真子集，即可得相应不等式组，解出即可得. 【详解】（1）由，即，解得， 故， 若，即时，，满足； 若，即时，由得或， 解得； 综上，实数的取值范围是； （2）由是成立的充分不必要条件可得是的真子集， 则有，且两个端点不同时取等号，解得， 实数的取值范围是. 22．(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 23．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由基本不等式证明不等关系、由对数（型）的单调性求参数、对数不等式 【分析】（1）由求解； （2）由题意得的相关函数为，根据题意得到时，恒成立求解； （3）易得，设，利用复合函数的单调性求解. 【详解】（1）依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为 （2）由题意得，所以，所以的“伴随”函数为. 依题意，对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，即当时，恒成立① 由，对任意的总成立，结合题设条件有，在此条件下， ①等价于当时，恒成立，即，即. 设，要使当时，恒成立 只需，即成立，解得，即，且， 即a的取值范围是. （3）由（2）可得当时，在区间上，， 即 设，则，令，则 所以， 因为（当且仅当时，等号成立），可得，当时，等号成立， 满足，则t的最大值为， 所以的最大值是 24．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）通过解对数、指数、一元二次不等式等知识求得不等式的解集. （2）利用换元法，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）， ， 恒成立， ， 原不等式的解集为； （2）方程有两个不同的实数根， 有两个不同的实数根， 令，则在有两个不同的实数根， 令， 由已知得，解得. 答案第20页，共20页 答案第16页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$