50.二次不等式能成立问题-高中数学全部题型大总结（全国版）

50.二次不等式能成立问题 1．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知命题：，；：，.均为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 6．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知命题是真命题，则下列说法正确的是（   ） A．命题“”是假命题 B．命题“”是假命题 C．“”是“命题为真命题”的充分不必要条件 D．“”是“命题为真命题”的必要不充分条件 7．（24-25高一上·吉林·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．命题“，都有”的否定是“，使得” B．集合，若，则实数的取值集合为 C．“”是“”的充分不必要条件 D．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围. 8．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．不等式的解集为 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 9．（22-23高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 10．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）若命题为真命题，则的最大值为 . 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集非空，并且解集中的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 13．（2024·福建龙岩·模拟预测）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 14．（24-25高一上·陕西安康·阶段练习）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是 ． 15．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 16．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 17．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论： ①可能是负数； ②； ③为定值； ④若存在，使得，则. 其中所有正确结论的序号是 ． 18．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设． (1)当时，解关于x的不等式； (2)当时，解关于x的不等式； (3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围． 19．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知． (1)方程有两个实数根． ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的值. (2)设，若关于的不等式的解集为，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (2)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 21．（2024高三·全国·专题练习）函数，．若，，使得，求实数a的取值范围. 22．（2024高三·全国·专题练习）函数，，若，，使得，求实数a的取值范围. 23．（2024高三·全国·专题练习）函数，．若，，使得，求实数a的取值范围. 24．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 25．（2024·四川内江·模拟预测）已知． (1)若，求的最大值，并求出此时的值； (2)若且，求的最大值． 26．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B D B D BCD ABD ACD BCD 1．A 【难度】0.65 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 2．B 【难度】0.65 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由，将问题转化为存在，使得，求出的最值得解. 【详解】由，得， 又， 故存在，使得， 令，，则， ， . 故选：B. 3．D 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 故为真命题，需满足， ，，则，解得， 故为真命题，需满足， 综上，的取值范围为 故选：D 4．B 【难度】0.65 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题 【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得. 【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 综上所述，. 故选：B. 5．D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 6．BCD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、全称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由命题的否定判断AB选项；分离变量法求出为真命题时的取值范围，再根据充分必要条件的概念判断CD. 【详解】不能否定，A选项错误； 命题是真命题，则是假命题，故B选项正确； ，则当时，， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以是命题是真命题的充要条件. 时有，时不一定有， “”是“命题为真命题”的充分不必要条件，C选项正确； 时不一定有，时一定有， “”是“命题为真命题”的必要不充分条件，D选项正确. 故选：BCD 7．ABD 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、全称命题的否定及其真假判断、根据交集结果求集合或参数 【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式的值域问题对选项逐一判断. 【详解】A 选项：命题都有的否定“使得”, 故 A 错误； B 选项：当时，满足题意，故 B 错误； C 选项：当时，可推出但当时，无法推出, 故是的充分不必要条件，C 正确； D选项：令，二次函数开口向上，对称轴为, 又因为，所以时，则,故 D 错误； 故答案：ABD. 8．ACD 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式、判断两个函数是否相等、抽象函数的定义域 【分析】根据函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；解一元二次不等式判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B，函数的定义域为，即， 则对于函数有，故其定义域为，B正确； 对于C，不等式即，则或， 其解集为，C不正确； 对于D，当时，不等式恒成立，当时，恒成立， 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 9．BCD 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】考虑与两种情况，结合方程有根，得到的取值范围，求出答案. 【详解】当时，，为真命题，则成立， 当时，若为真命题，则，解得且， 综上，为真命题时，的取值范围为. 故选：BCD 10．9 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由题意可得，进而结合二次函数的最值求解即可. 【详解】由题意，命题为真命题， 所以， 因为，所以当时，， 则，即， 所以的最大值为9. 故答案为：9. 11． 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据根的判别式大于0得到，再由题意得的解集为的子集，从而得到不等式，求出的取值范围是. 【详解】的解集非空，故，解得， ，解得，解得， ， 由题意得的解集为的子集， 令，则，解得， 故的取值范围是. 故答案为： 12． 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、对勾函数求最值 【分析】分离参数，利用对勾函数的性质计算即可. 【详解】不等式在上有解，等价于在上能成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减， 所以，则. 故答案为： 13． 【难度】0.4 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】将不等式恒成立问题转化成函数与的符号问题，再利用二次函数和三角函数性质即可求. 【详解】根据题意，可得对于函数， ①若，则，此时 恒成立， 因此，只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可， 因为，所以， 因此； ②若，则或， 当时，恒成立， 因此只需满足在上恒成立即可， 不妨取，此时， 由于，故，故不合题意； 当时，恒成立， 因此只需满足在上恒成立即可， 不妨取，此时， 由于，故，故不合题意； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决三角不等式恒成立问题往往利用三角函数的有界性，并根据恒成立条件限定含参不等式范围，即可求得结论. 14． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】写出命题的否定，由命题的否定是真命题，即一元二次不等式恒成立可得． 【详解】由题意：是真命题， ，即，因为， 则，则对恒成立， 设， 当且仅当，即时等号成立， 则. 故答案为：． 15． 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解. 【详解】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 16． 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值 【分析】由命题的否定转化为能成立问题，利用分离参数法和基本不等式即可求解. 【详解】由题知命题的否定“”是真命题． 即，即，其中， 因为，当且仅当时等号成立，则 故实数的最大值为 故答案为：. 17．②③④ 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】对于①，分是否大于0进行讨论；对于②，由韦达定理即可判断；对于③，结合②中结论直接验算；对于④，原命题等价于关于的不等式有解，进一步等价于关于的不等式有解，故只需求出不等式左边的最小值即可验算. 【详解】对于①，，因为函数有两个极值点， 所以有两个相异实根，这意味着， 否则时，，即单调递增，这与已知矛盾， 若，则当时，，当时，，当时，， 即在的条件下，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有两个极值点，故①错误； 对于②，是方程的两根，从而，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，若存在，使得， 即关于的不等式有解， 而没有最大值， 故原命题等价于关于的不等式有解， 令, 而函数的最小值为1， 所以当且仅当，即满足题意， 即若存在，使得，则，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：判断④的关键是将原问题等价转换为关于的不等式有解，由此即可顺利得解. 18．(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题、对勾函数求最值 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. （2）当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：求解含参数的不等式恒成立、能成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解，分离参数后，可以利用函数的最值来求得参数的取值范围，在求解的过程中，要注意恒成立问题和能成立问题的区别. 19．(1)①② (2) 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）结合一元二次方程根的特点，利用判别式和韦达定理，即可求解； （2）利用不等式的解法以及充分不必要条件，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由题意可知，，解得或 ①由，则, 解得； ②由，可得，解得或， 又因为或，所以. （2）因为，解得，所以； 又因为,解得,所以； 又因为是的充分不必要条件，所以， 所以，解得， 经检验，当时，，，满足条件，所以. 20．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）题目可转化为 ：对任意的都成立，再利用变换主元的方法，把看作自变量，看作参数，即可求解； （2）由函数解析式, 令，再分离参数k，即可求解. 【详解】（1），当时， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得： （2） 令则 ,因为不等式在区间上有解 ，又 而 ,即实数的取值范围是 21． 【难度】0.85 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据存在性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，， 所以此函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 所以当时，函数的值域为， 因为，，使得，所以，所以，所以a的取值范围是. 22． 【难度】0.85 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题 【分析】根据存在性的定义、任意性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，，函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 当时，函数的值域为， 若，，使得， 所以，即， 所以a的取值范围是. 23． 【难度】0.85 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题 【分析】根据存在性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，， 所以此函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 所以当时，函数的值域为， 因为，，使得， 所以，所以，. 所以a的取值范围是. 24．(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、由对数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式以及对数不等式即可求解； （2）分离参数，结合对勾函数的性质求解最值即可得a的取值范围. 【详解】（1）因为定义域为，则 ， 设.则不等式可化为，即， 解得或，即或， 解得或. 所以不等式的解集为或 （2）因为， 所以， 设，则， 原问题化为：存在. 即在上有解. 因为在上单调递减，所以， 所以. 25．(1)的最大值为3，此时； (2)3 【难度】0.4 【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）设，故，代入中，，设，根据二次函数根的分布得到不等式，求出，进而得到的最大值为3，代入，求出； （2）设，由于，，故，将代入等式中得，根据根的判别式得到，验证当时满足要求，从而得到最大值. 【详解】（1）设，故， ， 即， 令，开口向上， 则， 要想在上有解， 则要或， 由得， 由，即，解得， 综上，，故的最大值为3，此时，解得. （2）设，由于，，故， 将代入中，得 ，即， ，， 要想方程在上有解，需要，解得， 又，故， 当时，， 解得，此时，符合要求， 故的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：设，故，转化为关于的一元二次方程，结合根的分布与二次函数图象，得到不等式，求出最值；设，转化为的解问题，利用根的判别式得到不等式，求出答案. 26．（1）；（2） ． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上有解问题、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）令，得到，求得，进而得到函数的解析式； （2）根据题意，转化为在上有解，设，结合基本不等式求得，进而求得实数m的取值范围． 【详解】解：（1）令，则， 所以， 所以． （2）由关于x的不等式在上有解， 可转化为在上有解， 设，则， 又由，当且仅当时取等号， 则，所以， 所以实数m的取值范围是． 答案第16页，共17页 答案第16页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$