49.二次不等式恒成立问题-高中数学全部题型大总结（全国版）

49.二次不等式恒成立问题 1．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A．（0,1） B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）设，若恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 7．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题：，，则为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若集合，，则 D．若，不等式恒成立，则的取值范围是 9．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ．若该不等式对任意的均成立，则实数a的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 . 11．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为 . 12．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知命题是假命题，则实数的取值范围是 . 14．（24-25高一上·广东阳江·阶段练习）已知函数，.若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 15．（24-25高一上·浙江丽水·阶段练习）已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是 16．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意，都有，则的取值范围为 . 17．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）设．若函数在区间上的图象恒位于x轴的上方，则实数a的取值范围是 ． 18．（24-25高一上·天津·阶段练习）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为 ． 19．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）若，使成立是假命题，则实数的取值范围是 ． 20．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性（不需要说明理由）； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)若在上的值域是()，求a的取值范围. 21．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数且，．是否存在常数a，b，c使得不等式对一切实数x都成立？若存在，求出实数a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 22．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数，. (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式的解集； (3)当时，已知，，若，求的取值范围. 23．（24-25高一上·河南·期中）已知是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式； (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 24．（24-25高一上·重庆·期中）若函数 (1)当时，求的解集； (2)设，若时，的最大值为3，求a的值； (3)若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围． 25．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）设，函数． (1)若时，解不等式； (2)若，求的单调区间； (3)若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的范围． 26．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）命题或；命题. (1)若时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若是的充要条件，求出实数的值. 27．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知． (1)当，时，求的值域； (2)对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 28．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)若，使得，求的取值范围； (2)若，都有恒成立，求的取值范围； (3)当时，，满足，求的取值范围. 29．（2024高一·全国·专题练习）二次不等式的解集.求k的取值范围. 30．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； (3)已知函数满足以下两个条件：①的图象恒不在图象的上方；②对任意恒成立，求的最大值． 31．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 32．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数 （，，为实数） (1)若的解集为，求二次函数的零点； (2)若对任意，恒成立，求的最大值． 33．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数，. (1)若，当时，求的最小值； (2)当时，已知，，若，求的取值范围； 34．（24-25高一上·陕西安康·阶段练习）（1）设． ①若对任意恒成立，求实数m的取值范围； ②讨论关于x的不等式的解集． （2）若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围． 35．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若此不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求的取值范围． 36．（24-25高一上·陕西安康·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； (2)若，解关于x的不等式． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C B B B ACD 1．A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先将命题转化为二次函数在R上恒成立问题，然后求出a的范围，最后利用集合法得出答案. 【详解】，使得,等价于在R上恒成立， 令，由二次函数的性质可得 当时，恒成立，解得， 要想是命题“，使得”成立的一个充分不必要条件, 只需要满足为的子集即可， 四个选项中，只有选项A满足题意. 故选：A 2．C 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】若“，，使得成立”则，.即在上恒成立，分离参数利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】当，有. ，，使得成立，等价于，. 即在上恒成立，参变分离可得. 当，，当且仅当时取等号，所以， 故选:C. 3．C 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立，分情况讨论得解. 【详解】因为不等式对一切实数x都成立， 所以当时，有恒成立，符合， 当时，则，解得，则， 所以k的取值范围为. 故选：C 4．C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5．B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】分离参数，可得恒成立，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 故，故m的取值范围为. 故选：B 6．B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】根据不等式恒成立，分析其组成，判断与符号同时变化，得到，且，将问题转化成求二次函数的最值来解决. 【详解】由恒成立，可得与符号同时变化， 即，且，则有， 故的最小值为. 故选：B. 7．B 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数、判断命题的必要不充分条件、利用函数单调性求最值或值域 【分析】通过分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，对A，B，C，D再根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】解：，， 在上恒成立， 即， 令， 根据对勾函数的性质：在上单调递减，在上单调递增， 当，时，的值均为4， 在上的最大值为4， 是命题为真命题的充要条件， 对A，得不到，得不到，故是为真命题的既不充分也不必要条件，故A错； 对B， 得不到，而可以得到，故是为真命题的必要不充分条件；故B对； 对C， 得不到，得不到，故是为真命题的既不充分也不必要条件，故C错； 对D，是为真命题的充要条件；故D错. 故选：B. 8．ACD 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等、抽象函数的定义域、判断两个函数是否相等、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；化简集合并判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所函数与不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，即， 所以函数有，解得，故其定义域为，故B正确； 对于C，由，得，等价于，解得， 所以， 由，即，解得， 所以，所以，故C错误； 对于D，当时，恒成立， 当时，则需满足，解得， 综上，的取值范围是，故D错误. 故选：ACD. 9． 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】空1：代入，根据一元二次不等式解法求结论；空2：当时，不等式恒成立，当时，等价于，可求的取值范围. 【详解】当，不等式即， 解得或，即不等式的解集是. 若对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，，不等式可化为， 则时，恒成立， 有，解得， 所以对任意的，不等式恒成立，实数a的取值范围是. 故答案为：；. 10． 【难度】0.4 【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在递减，在递增， ，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增，，所以，故； ③即时，在[0，1]递减，， 所以，解得，综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 11． 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】令，则问题转化为，时恒成立，采用分离参数法，求出函数，的最大值即可． 【详解】令，则问题转化为，时恒成立， 即，恒成立， 而函数， 当时，， ，即为所求． 所以的取值范围为. 故答案为：. 12． 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围、函数不等式恒成立问题 【分析】根据不等式的性质，求出，然后将不等式进行参变量分离，将恒成立问题，转化为最值问题，通过换元，转化为求二次函数的最值，从而得解. 【详解】因为，，则，所以，， 又不等式恒成立，且，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， 当时，， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 13． 【难度】0.85 【知识点】函数不等式恒成立问题、全称命题的否定及其真假判断、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】写出命题的否定为真命题，得到，求出，得到实数的取值范围. 【详解】由题意，命题是真命题， 所以， 其中，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 14． 【难度】0.85 【知识点】对勾函数求最值、函数不等式恒成立问题 【分析】参变分离得到，令，故只需，换元法得到，利用对勾函数性质得到，得到答案. 【详解】对于任意恒成立， 故对于任意恒成立， 令，故只需， 令， 则， 其中在上单调递减，在上单调递增， 又， 故，所以， 所以. 故答案为： 15． 【难度】0.65 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】通过直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可. 【详解】由，可得， 即， 由，可得在上恒成立， 即，解得， 又集合A是非空集合，所以在上有解， 则，解得或， 综合可得：． 故答案为： 16． 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】根据函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性和最值，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】令，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 故只需，解得，故， 当，即时，在上单调递增， 故只需，解得，故为， 当，即时，， 故只需，解得，故， 综上，. 故答案为： 17． 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由题意可得对任意恒成立，分离参数得对任意恒成立，利用分离常数法以及换元法求出的最大值，即可得答案. 【详解】由题意函数在区间上的图象恒位于x轴的上方， 即对任意恒成立， 当时，， 则，即对任意恒成立， 而，令， 则令， 由于在上单调递增，故， 则的最大值为， 故，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 18． 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论，结合题意得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由于不等式对一切实数都成立. 当时，则有，可得，不合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 19． 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、基本不等式求和的最小值 【分析】写出特称量词命题的否定，参变分离得到，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围为. 【详解】由题意得，使得为真命题，即， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. 故答案为： 20．(1)非奇非偶； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）根据函数定义域是否关于原点对称即可判断； （2）问题化为在上恒成立，求右侧最大值，即可得参数范围； （3）根据函数单调性，将问题化为方程有两个不相等的正根，结合判别式求参数范围. 【详解】（1）由于，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数； （2）∵在上恒成立，且， ∴在上恒成立， 令（当且仅当时取等号），则. 故a的取值范围是. （3）函数在定义域上是增函数. 所以，即， 故方程有两个不相等的正根，注意到， 故只需要且，则. 21．存在常数，， 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元一次不等式 【分析】根据和求出，，从而，不等式恒成立，利用根的判别式和开口方向得到不等式，求出，可得. 【详解】∵且, ∴,解得，， 函数表达式化简为， 设存在常数a，b，c使得不等式对一切实数x都成立， 可得对一切x成立， 化简得恒成立， 即， 解得，可得． ∴存在常数，，，使得不等式对一切实数x都成立． 22．(1)7 (2)答案见解析 (3). 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值； （2）因式分解，得到，分，和三种情况，得到不等式的解集； （3）化为，根据，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，， 当且仅当，即时取等号， 故当时，的最小值为7. （2）由题知， 当，即时，解原不等式得或， 当，即时，解原不等式得或， 当，即时，解原不等式得. 综上， 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为. （3）不等式可化为， 因为，所以不等式在时恒成立， 又，结合二次函数图象知，，解得. 故的取值范围是. 23．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出函数的解析式； （2）由（1）可得出函数的表达式，对参数的取值范围进行分类讨论，再由二次函数性质即可得出最小值的表达式； （3）将不等式恒成立问题转化为恒成立即可，利用单调性求得其最大值，再由题意可知满足，解不等式可得结果. 【详解】（1）设， 由，可得. 由，得， 所以解得 则. （2）由题意得， 则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 （3）在（2）的条件下，对任意的，成立， 则. 因为，所以在上单调递减， 因为，，所以. 又存在，使得成立， 所以只要，即. 易知， 所以当时，， 则， 化简得，解得或， 即的取值范围为. 24．(1)； (2)； (3)或. 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、解不含参数的一元二次不等式、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）应用不含参一元二次不等式解法求解集； （2）根据题设有，，讨论其对称轴的位置并结合函数区间最值列方程求参数即可； （3）令有，问题化为，对使恒成立，结合一次函数、二次函数性质求左侧最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，即，解集为； （2）由，，其开口向上且对称轴为， 若时，，此时，满足； 若时，，不满足； 综上，； （3）由题设， 又，令，故， 问题化为，对使恒成立， 由调换主元为一次函数，而， 所以在上单调递减，故只需在上， 而，故只需在上， 所以，可得或. 25．(1) (2)单调递减区间为；单调递增区间为． (3)． 【难度】0.65 【知识点】解分段函数不等式、分段函数的单调性、由函数对称性求函数值或参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）写出分段函数形式，结合一元二次不等式的解法求解即可； （2）写出分段函数形式，结合二次函数性质画出图象，数形结合判断单调区间即可； （3）由题意知为奇函数，结合奇函数性质得，进而有，则，将问题化为在恒成立，再由及对勾函数性质求右侧最大值，即可得参数的范围． 【详解】（1）若时，， 不等式或，解得或， 所以，即不等式的解集为． （2）由题设，图象如下： 由图知：在上递减，在上递增， 所以单调递减区间为；单调递增区间为． （3）由的图象关于点对称，即关于原点对称， 所以为奇函数，则， 所以，即在上恒成立， 所以，故，则，故， 所以，则恒成立， 由，令， 结合对勾函数的单调性，知在上单调递增，有，故， 综上，，即的取值范围是． 26．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式结合解一元二次不等式，即可得答案. （2）由是的充要条件，可知3和2是方程的两个根，利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）若在上恒成立， ，即， （2）若是的充要条件，则3和2是方程的两个根， 由韦达定理知， 解之得. 27．(1) (2)或 【难度】0.4 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）将解析式转化为有关的一个一元二次方程，求得最小值即可得到值域； （2）转化为二次函数恒成立问题，然后根据对号函数求值域即可. 【详解】（1），令，则， ，当，时， 因为，则当时，取得最小值为4， 所以的值域为； （2），令，则， ，，则对任意，存在，使得， 法一：令，则恒成立， 即恒成立， ， ，即或， 存在，使得或， 或，或； 法二：令，则恒成立， ， 当且仅当时等号成立， ，即，下同法一； 所以或. 28．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）借助根的判别式计算即可得； （2）由题意可得，解出后结合即可得； （3）由题意可得，只需计算出在上的最大值，则有，有，即有，解出即可得. 【详解】（1）若，使得成立，只需，解得； （2）若对，都有恒成立， 则，解得，又， 故的取值范围为. （3）当时，， 若对，满足， 只需，有， 当时，，故，有， 则有，解得或， 综上所述，的取值范围为. 29．. 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一元二次不等式的解集为R， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 30．(1) (2)1 (3) 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的解析式、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）设，，由题意条件，待定系数法求出函数解析式； （2）当时，，换元得到，利用基本不等式进行求解； （3）得到，令得，在R上恒成立，故，结合得到，从而，消元得到，配方后得到最大值，验证后得到结论. 【详解】（1）设，， ， 因为，故， 所以， 故，解得， 故二次函数为； （2）当时，， 令， 故， 由基本不等式得，当且仅当，即，时，等号成立， 故. （3）由题意得， 令得，故， 恒成立，即在R上恒成立， 故， 故 ， 故，即， 所以， 此时 ， 当且仅当时，等号成立， 此时中， ， 满足的图象恒不在图象的上方， 综上，的最大值为. 【点睛】关键点点睛，本题第三问，由题意得到，令得，故，从而得到，，消元法求出最值，再验证是否满足要求. 31．(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】（1）根据一元二次函数的系数与根的个数的关系，可求得，又，代入集合，化简即可； （2）由是的必要不充分条件，得且，所以对于恒成立，再解含参的恒成立问题即可； （3）由命题为真命题，得，根据均值不等式求得，从而求得的范围，又为假命题，所以求其补集即为的范围；根据命题的否定，得，使得，再根据一元二次系数与根的关系进行运算求解即可. 【详解】（1）存在，使成立， ，解得， 又， 当时，集合， 此时. （2）由题. 是的必要不充分条件，且， 即对于恒成立， ， 由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以当时，，即，解得， 的取值范围是. （3）由（2）知， 命题，都有，则. ，当且仅当即时取等号， ，即， 若命题为真命题，则，命题为假命题， 命题使得成立， 所以，使得为真命题， 则恒成立， 所以恒成立，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 32．(1)和. (2) 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据一元二次方程的解、一元二次不等式的解集和二次函数的零点之间的关系即可求解； （2）根据一元二次不等式恒成立可得、进而， 将原式化为，利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）的解集为， 所以方程解为和， 则二次函数的零点为和. （2）对任意，恒成立，则，即， 此时，即因为所以 所以， 则， 当且仅当时，即时取“”， 所以的最大值为. 33．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据集合的包含关系求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）变形后，利用基本不等式求解即可. （2）由得，根据，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，求解即可. 【详解】（1）当时，，，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最小值为； （2）因为，所以， 因为，所以不等式在上恒成立， 又，所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：根据，转化为不等式在上恒成立问题，结合二次函数的开口方向求解. 34．（1）；（2）答案见解析；（3）. 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）①由题意可得对恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到所求范围； ②讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集． （2）因式分解得，再对进行合理分类讨论即可. 【详解】（1）①由题意，若对任意恒成立， 即为对恒成立，即有的最小值， 时，，当且仅当时等号成立，可得. ②当，即时，的解集为R； 当，即或时，方程的两根为，， 可得的解集为． 综上所述，当时，解集为R； 当或时，解集为. （2）原不等式等价于，分类讨论： 当时，不等式的解集为，整数不止3个； 当时，方程的两根为和，且. ①当时，不等式的解集为，此时满足条件，得； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为，显然不满足题意； ④当时，不等式的解集为整数不止3个. 综上所述，的取值范围是. 35．(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由题意可得，为方程的两根，由代入法可得所求值； （2）讨论，又分时，由二次不等式的解法，即可得到所求解集； （3）利用分离参数法将原问题等价为可得在恒成立，再令，结合对勾函数的单调性可得的最大值，可得的范围． 【详解】（1）关于的不等式的解集为， 可得为方程的两根， 可得，即； （2）当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为或； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，，可得解集为； ③若，，可得解集为； （3）对，恒成立， 等价于在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 由，可得， 而在上单调递增， 所以在时取得最小值，在时取得最大值， 可得的最大值为，可得． 所以的取值范围是． 36．(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式恒成立列不等式来求得的取值范围. （2）化简，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的知识求得正确答案. 【详解】（1）的解集为， 即在上恒成立， 当时，，解得，则其解集不是，舍去； 当时，需满足且一元二次方程无实根， 则有， 即，解得. 综上，的取值范围为. （2）， 即，即， 令，解得或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 答案第28页，共29页 答案第14页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $$