45.转化法求函数的零点个数-高中数学全部题型大总结（全国版）

45.转化法求函数的零点个数 1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知关于的方程有两个不相等的实数解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·阶段练习）定义为不超过的最大整数，如，，，.已知函数满足：对任意..当时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（2024·内蒙古·三模）已知奇函数的定义域为R，且，则在上的零点个数的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则与图象的所有交点的横坐标之和为（   ） A． B．2 C． D．3 5．（2024·宁夏石嘴山·三模）定义在R上的偶函数满足，且当 时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·安徽亳州·期末）当时，函数在上的零点的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若，则零点的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2023高一·全国·专题练习）已知函数，若函数恰有三个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知，若存在实数，使得方程有无穷多个非负实数解，则的表达式可以为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）设，若，，则下列说法错误的是（　  　） A． B．方程有实根，且 C．设，是方程的两个实根，则 D．方程在内有且只有一个实根 13．（22-23高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数，且当时，，则关于在R上零点的说法正确的是（    ） A．有4个零点，其中只有一个零点在内 B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内 C．有5个零点，都不在内 D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若存在，使得，则称为函数的不动点.下列函数中，有且只有一个不动点的函数为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·福建南平·期末）已知函数（且）在R上为单调函数，，则（    ） A．实数a的取值范围为 B．当时，的取值范围为 C．函数是周期函数 D．函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对 17．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．在上有6个零点 18．（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 19．（23-24高三上·山东青岛·期末）将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数满足如下两个性质：①，其中函数是函数的反函数；②若，则，则下列结论正确的为（    ） A．若，则 B．若点在曲线上，则 C．存在点，使得曲线与关于点对称 D．方程恰有9个相异实数解 21．（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数的零点个数可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知函数，下面四个结论中正确的是（    ） A．的值域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的图象与的图象有4个不同的交点 23．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数，若关于的方程有6个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D．2 25．（22-23高一下·江西九江·期中）设函数，设，则方程的解的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（22-23高一下·湖北黄冈·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．幂函数图象一定不过第四象限 B．函数的图象过定点 C．是奇函数 D．函数有两个零点 27．（22-23高三下·湖北武汉·阶段练习）已知为R上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B．若的一个零点为，且，则 C．在区间的零点个数为3个 D．若大于1的零点从小到大依次为，，…，则 28．（2023·山东日照·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，，则（    ） A． B．若对任意，都有，则的取值范围是 C．若方程恰有三个实数根，则的取值范围是 D．函数在区间上的最大值为，若存在，使得成立，则 29．（22-23高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，令，则（    ） A．或时，有1个零点 B．若有2个零点，则或 C．的值域是 D．若有3个零点，且，则的取值范围为 30．（24-25高二上·全国·课后作业）方程的实根个数为 ． 31．（23-24高一上·上海·期末）设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数的最小值是 . 32．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为 个. 33．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数满足：，，则的值为 . 34．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上为增函数，当的值最大时，函数的零点个数为 . 35．（23-24高一上·浙江温州·期末）函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为 ． 36．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 37．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若存在实数与正整数，使得在内恰有2023个零点，则的值为 ． 38．（2023高三上·江西南昌·学业考试）已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为 . 39．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数，则函数的零点个数为 . 40．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）定义在R上的函数满足，，当时，，则函数有 个零点． 41．（22-23高一下·全国·单元测试）方程的解的个数是 ． 42．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图是函数图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值． 43．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）设，函数，. (1)当时，求的值域； (2)讨论的零点个数. 44．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设，函数，. (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数有两个零点，，试证明：. 45．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，且的反函数为. (1)求的值； (2)若函数，问：是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数的取值范围：若不存在，请说明理由 46．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (2)求函数在内的“区间”； (3)设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 47．（23-24高二上·浙江·期中）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)讨论函数的零点个数. 48．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知函数， (1)当时，求函数的最小值； (2)讨论函数，，的零点个数. 试卷第8页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A D D D B C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B D D C ABC ACD ACD ACD AC ACD 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 答案 AB ABD BC BC BCD ABCD BD ABD BCD 1．A 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先设函数，再把两个不相等的实数解转化为函数有两个交点，数形结合列式求解即可. 【详解】由，记． 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，结合图象知，若函数与的图象有两个交点， 即原方程有两个不相等的实数解，则需，解得． 故选:A． 2．C 【难度】0.4 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数周期性的应用、函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据题设条件求得函数在上的解析式，将函数的零点个数转化成函数与在上的交点个数问题，理解的含义即得. 【详解】当时，， 因为对任意，，所以. 当时，，则， 因， 当时，，则， 当时，，则. 即 如图作出函数在上的图象. 由图知，在上，函数，则可取三个值. 因函数在上的零点个数，即函数与在上的交点个数， 故只需分别求函数与直线在上的交点个数即可. ①显然，函数与直线在上有5个交点，即此时，函数有等5个零点； ②由图，函数与直线在上有3个交点，此时函数有3个零点， 由，可得；由，可得，即函数有共3个零点； ③由图，函数与直线在上有1个交点，此时函数有1个零点， 由可得，即此时，函数有1个零点为3. 综上，函数在上共有-4，-2，0，1，2，，3，，4等9个零点. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于分段函数问题，应本着分段函数分段考虑的原则，由题设解析式推理到给定区间上的解析式，作出其图象；对于函数的零点问题，一般可转化成对应方程的根的个数问题，或者拆分成两个函数图象的交点问题去解决. 3．B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】由已知可得的图象关于点对称，周期为3，据此计算可得在上的零点个数的最小值为9. 【详解】由，可得的图象关于点对称， 又是奇函数，所以，则的周期为3， 所以， 则.故在上的零点个数的最小值为9. 取，显然满足题意，且恰好在上有9个零点. 故选：B. 4．D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正弦函数图象的应用 【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可. 【详解】由题意化简 ，与图象有交点， 则有实根，令，则， 则化为，即的所有实根之和，即与所有交点横坐标之和，显然是周期为1的奇函数，为奇函数且在上为增函数，图像如图所示， 显然，一共有6个交点，它们的和为0，则， 故选：D. 5．A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】通过已知得出的两条对称轴为直线，直线，由此可在同一平面内作出函数与函数的图象，结合已知列出不等式组即可求解. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称， 又是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称， 作出函数与函数的图象如图所示，    若关于x的方程恰有5个实数解， 则函数与函数的图象有5个交点， 所以，解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得出函数的对称性，由此通过数形结合即可顺利得解. 6．D 【难度】0.4 【知识点】判断指数函数的单调性、对数函数单调性的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】先由得出；再构造函数，根据函数的单调性得出题目问题等价于根的问题，即等价于当时，函数与直线在上交点个数；最后根据函数在上的单调性、值域及即可求解. 【详解】令，则，即. 构造函数， 则问题等价于讨论方程的根的个数. 因为函数在上单调递增；函数在上单调递增； 所以在上单调递增， 故问题进一步等价于讨论方程的根的问题，即可转化为根的问题， 即等价于当时，函数与直线在上交点个数. 因为函数在上单调递增；函数在上单调递增； 所以函数单调递增， 故. 又因为当时， 所以当时，方程只有一根， 所以函数在上的零点的个数为1. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查同构法的应用、函数图像交点个数与函数零点个数之间的关系.解题关键在于由得出；构造函数，根据函数的单调性得出题目问题等价于当时，函数与直线在上交点个数. 7．D 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数对称性的其他应用、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】根据题意求出函数时可得，然后根据三角函数的性质求出，即可求解. 【详解】由题意知求在区间内的零点， 所以令，得， 又因为， 所以只能是，得， 在区间内，当时，有， 所以共有个零点，故D正确. 故选：D. 8．D 【难度】0.4 【知识点】对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】画出函数的图象，令，则求在零点的个数，再令得，即求与的图象在交点的个数，求出的范围结合图象可得答案. 【详解】函数的图象如下， 令，则求在零点的个数， 由得，所以， 即方程有两个不相等正根， 令，可得，不成立， 所以，即求与的图象在交点的个数， 因为，所以，即， 解得，且，可得与的图象有2个交点，      当，且时， 与有8个交点，则零点的个数为8.    故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，令，则求在零点的个数. 9．B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将有两个不同的零点转化为方程在有，两个根，然后利用韦达定理列不等式求解即可. 【详解】令，则， 函数单调递增，所以要想有两个不同的零点， 则需要函数有两个零点，即方程在有，两个根， 所以，解得. 故选：B. 10．C 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据时，得零点为,故将问题转化为在有2个零点，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】当时，，解得或（舍去）， 由于有3个零点，故在有2个零点， 所以,解得或， 则当时，， 要使在有2个零点，则，故， 故选：C 11．B 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】分别分析各选项函数解析式，改写成分段函数，再分析方程的解的情况，即可判断. 【详解】因为， 对于A：令， 则在，上单调递增，在，上单调递减， 则当时有四个实数根，当或时有两个实数根， 当时有三个实数根，当时无实数根，故A错误； 对于B：令， 所以当时的解集为，故B正确； 对于C：令， 则在，上单调递增，在，上单调递减， 则当时有四个实数根，当或时有两个实数根， 当时有三个实数根，当时无实数根，故C错误； 对于D：令， 显然当时函数在上单调递增， 故方程不可能有无穷多个非负实数解，故D错误； 故选：B 12．D 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、解不含参数的一元二次不等式、函数与方程的综合应用 【分析】利用反证法说明A，根据、及消去得到的取值范围，即可判断B，利用韦达定理及B的结论判断C，求出抛物线的顶点坐标，结合零点存在性定理判断D. 【详解】若，则，则，与已知矛盾，∴，故A正确； 方程的判别式，由条件且， 消去，得，故方程有实根， 由，得，由条件消去，得，故，故B正确； 由条件知，， ∴ ∵，所以，故，故C正确； 抛物线的顶点坐标为， 又. 又因为当时，有，可得， 此时，抛物线开口向下，， 所以方程在区间与内分别有一实根； 当、时，同样有， 所以方程在区间与内分别有一实根， 故方程在内有两个不相等的实根，故D不正确. 故选：D. 13．D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据已知得出函数的周期，由已知作出函数的图象，以及的图象，结合图象，以及函数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，所以周期为2. 又函数是定义在R上的偶函数，当时，， 根据已知，作出函数的图象，以及的图象    因为，，由图象可知，与交点的个数共有9个， 所以，函数的零点个数为9. 故选：D. 【点睛】方法点睛：作出函数的图象，根据图象，即可得出函数零点的个数. 14．C 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用 【分析】解法一：先研究时，零点的情况，根据零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程，也可以得出时零点的个数. 然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案. 【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究 (1)的情况，是把抛物线与轴交点为向上平移了0.02，则与轴交点变至之间了，所以在之间有两个零点； (2)当时，，根据对称性之间也有两个零点 (3)是定义在R上的奇函数，故， 所以有五个零点. 解法二： (1)直接解方程的两根 也可以得两根为，都在之间； (2)当时，，根据对称性之间也有两个零点 (3)是定义在R上的奇函数，故， 所以有五个零点. 故选：C. 【点睛】方法点睛：先求出时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案. 15．ABC 【难度】0.65 【知识点】函数新定义、求函数零点或方程根的个数 【分析】分别令，AB两个选项能解出一个的值，D选项能找到两个符合，C选项转化成，由与的图象只有一个交点，得只有一个不动点，从而选出正确选项. 【详解】对于A：令，只有一个不动点，A正确； 对于B：令，， ，只有一个不动点，B正确； 对于C：令，显然， 如图所示结合函数与的图象只有一个交点，得只有一个不动点，C正确； 对于D：令或，有两个不动点，D错误. 故选：ABC. 16．ACD 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、根据分段函数的单调性求参数、求cosx(型)函数的值域、函数的周期性的定义与求解 【分析】由单调性求出a的范围判断A；求出函数值域判断B；由周期函数的定义判断C；由函数的图象关于直线的图象与函数的图象交点个数判断D. 【详解】对于A，由函数在R上为单调函数，而在上为增函数， 得，解得，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，显然，函数是周期函数，C正确； 对于D，函数的图象关于对称的图象对应解析式， 由，得，即， 由，，得，又， 因此函数的图象与函数的图象有无数个交点， 所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，D正确. 故选：ACD 17．ACD 【难度】0.65 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、复合函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】对于A，根据奇函数的定义判断即可； 对于B，通过判断是否成立，即可判断； 对于C，令，可得在上单调递增，在结合在上单调性即可判断； 对于D，令，令函数，则有，解出的个数，即可判断. 【详解】对于A，因为，其定义域为， 所以，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以B错误； 对于C，令，该函数在上单调递增，且， 又因为在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，故C正确； 对于D，令，所以在上单调递增，则， 令，即，所以， 又因为，，， 所以，故有6个解，即函数在上有6个零点，故D正确； 故选：ACD 18．ACD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数的奇偶性结合已知条件可用赋值法求得，判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，可作出函数的图象，即可判断B；利用函数的奇偶性可判断C；将在上的实数根问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，数形结合，即可判断D. 【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，故， 由，令，则， 则，A正确； 对于B，由，得，即， 故，即8为函数的一个周期， 由，可知函数的图象关于直线对称， 又当时，，故可作出函数的图象如图： 由图象可知在上单调递减，B错误； 对于C，由于函数是定义在上的奇函数，且满足， 故，C正确； 对于D，当时，显然不满足，故的根即的根， 也即函数的图象的交点的横坐标， 作出的图象如图： 由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称， 因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，综合性较强，解答本题的关键在于要根据函数的奇偶性结合已知条件，推出函数的周期性以及对称性，从而可作出函数图象，数形结合，解决问题. 19．AC 【难度】0.4 【知识点】求函数的零点、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点 【分析】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点，依次判断选项. 【详解】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数， 则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点. 对于，设，则， 则为上的单调递减函数，即方程只有一解， 所以与只有一个交点，故符合题意，A正确； 对于，设， , 则在有零点，即方程不只有一解， 所以与多个交点，不符合题意，B错误；    对于，设， 显然为上减函数，当时，， 即所以与只有一个交点，故符合题意，C正确； 对于，设， 则， 显然在和上各有零点， 即所以与有多个交点，故不符合题意，D错误.    故选：AC. 【点睛】思路点睛：若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点. 20．ACD 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、奇偶函数对称性的应用、二倍角的正弦公式、求反函数 【分析】由题意易得，根据函数单调性易判断A项；由点坐标判断其在单位圆上，根据两曲线的交点坐标特征，由角的范围即可判断；充分利用题设条件分析判断值的唯一性，再利用函数单调性确定函数的解析式，比较即得；对于D项，利用C项结论，根据方程解的情况，通过取对数将其转化为两函数的图像的交点情况作图即得. 【详解】对于A项，由函数是函数的反函数可知，，则为单调递增函数，故选项正确； 对于B项，点显然在以原点为圆心的单位圆上， 因为曲线与单位圆在第二象限内有交点，此时 则故选项B错误； 对于C项，因若，则则若，则常数的值唯一， 又， ，即，由可知，易得是上述方程的根， 显然函数单调递增，故方程有且仅有一个实数根， 曲线与关于原点对称，即取点为原点即可，故选项正确； 对于D项，由项可得：方程即，即， 两边取对数，得. 如图，作出函数与的图象，易知它们恰有9个交点，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：解题关键是了解反函数定义，以及理解把握函数的零点与对应方程的根、对应两函数的图像的交点的互相转化思想. 21．AB 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用 【分析】根据分段函数的解析式，结合零点的定义，建立方程，利用方程与函数的关系，作图看交点个数，可得答案. 【详解】由函数， 当时，令， 则与的交点个数即为函数的零点个数，如图所示：    由图可知，有1个交点，∴当时，只有1个零点； 当时，令， 则与直线的交点个数即为函数的零点个数， 显然当时，函数与直线的图象无交点，即函数的零点个数为0个， 当时，函数与直线的图象有1个交点， 综上所述，当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 故选：AB． 22．ABD 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】利用函数性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由题当定义域为R，时，当时， ，当且仅当时取等号， 则，所以的值域为，A正确； 对于B，，，所以是偶函数，B正确； 对于C，当时，，由但， 显然在区间上不单调递增，C错误； 对于D，的图象与的图象有交点个数等于方程解的个数， 由， 解得，所以或四个解， 所以的图象与的图象有4个不同的交点，故D正确； 故选：ABD 23．BC 【难度】0.65 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】把函数的零点问题转化为函数和的图象的交点问题，数形结合即可得解. 【详解】如图，作出函数和的图象， 观察交点可得交点在和区间上， 故选：BC. 24．BC 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】利用导数判断出单调性，结合单调性作出的图象，问题转化为与共六个不等实根，结合图象可得答案. 【详解】当时，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 作出的图象，如图所示，，    即与共六个不等实根， 由图可知时，或，即有两个根， 若使与共六个不等实根， 只需满足，即. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：关键点是是作出的图象，问题转化为与共六个不等实根，考查了学生的思维能力. 25．BCD 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据二次函数的图像和性质，作出函数的图像，然后以为定义域，作出 的图像，然后根据图像性质求解； 【详解】       作出函数图像，如图（左），对称轴故有 令画出的图像，如图（右），定义域 由右图可知，当对应左图，有两个解； 当时，有2个与之对应，则参照左图，有4个解； 当，则有，参照左图，有1个解，当有2个解，由此共有3个解与之对应； 右图，有1个与之对应，参照左图，有2个解； 故选：BCD. 26．ABCD 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、指数函数图像应用、指数型函数图象过定点问题、函数奇偶性的应用 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断即可． 【详解】对A，根据幂函数的性质，可知幂函数图象一定不过第四象限，故A对； 对B，函数， 令，可得，代入可得，图象过定点，故B对； 对C，令，定义域为， 因为，且的定义域关于原点对称， 所以是奇函数，故C对； 对D，函数的零点可以看成函数与的交点问题， 易知两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故D对； 故选：ABCD． 27．BD 【难度】0.65 【知识点】求零点的和、求函数零点或方程根的个数、正切函数图象的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】A利用奇偶性定义判断；B求出对应，应用方程法并化简即可判断；C、D将问题化为及在对应区间上的交点问题，数形结合判断零点个数及零点的和. 【详解】A：，即为奇函数，错误； B：由题意，且， 当时，，故， 所以，即，正确； C：由题意及上述分析，即， 当，则，可得， 当，则，可得， 由在上和在上的图象如下，      如上图，共有3个交点，即、上共有3个零点，又， 所以上共有4个零点，错； D：只需观察的的零点情况，即在交点情况，    如上图，，显然， 所以，则，正确. 故选：BD 28．ABD 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、函数与方程的综合应用 【分析】由，可判断A，解出不等式可判断B，当时的图像有3个交点，即可判断C，根据条件可得当时，然后可得，然后可得，判断出数列的单调性可判断D. 【详解】函数的定义域为，满足，即，且当时，， 当时，，即， 当时，，即， 依次，当时，即 作出函数图象    对于A，代入，故正确； 对于B，对任意，都有， ， ，解得 ，对任意， 都有，则的取值范围是，正确； 对于C，当时，的图像有3个交点，故错误；    对于D. 最大值 存在，使得成立，的最大值， ，则增，减，， 即，正确. 故选：ABD 29．BCD 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数的运算性质的应用、函数图象的应用 【分析】画出函数的图象，转化为函数与的交点横坐标，结合选项和函数的图象，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，画出函数的图象，如图所示， 由函数，则的零点，即， 即函数与的交点横坐标， 对于A中，当时，函数没有零点，所以A错误； 对于B中，要使得函数有2个零点，即函数与有两个不同的交点， 结合图象，可得或，所以B正确； 对于C中，由函数的图象，可得函数的值域为，所以C正确； 对于D中，由有3个零点，且， 可得， 由，即，所以，可得， 又由，解得， 所以的取值范围为，所以D正确. 故选：BCD.      30．2 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】当时，原方程等价于，设函数；当时，原方程等价于，函数.利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理的应用即可求解. 【详解】当时，原方程等价于， 设函数，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，又， 所以在有两个零点； 当时，原方程等价于， 设函数， 易知函数单调递减，在没有零点. 故方程的实根个数为2． 故答案为：2 31．13 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数对称性的应用 【分析】根据函数的多对称性得出周期，尽可能减少零点个数并作出图象说明其存在性即可. 【详解】因为函数关于直线对称，又直线为对称轴， 所以也是函数的对称轴，又是的对称轴， 则直线也是函数的对称轴，进而也是函数的对称轴. 又由关于直线对称，则； 由关于直线对称，则， 则，故是以为周期的函数. 所以由在有5个零点，则在有5个零点， 且在至少有5个零点， 当在有5个零点时，则在无零点， 由函数关于直线对称可知， 必有，即为其中一个零点，且在无零点， 故在各有2个零点. 由函数以为周期可知，也是函数的零点， 且函数在，，无零点，故在， 各有2个零点， 由上分析，在有5个零点，在无零点， 此时在区间上的零点个数为个. 如图，可作出满足题意的函数的图象，其在上有13个零点， 所以在上的零点个数的最小值是13. 故答案为：13.    32． 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、判断证明抽象函数的周期性、函数周期性的应用 【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在上的零点个数. 【详解】由可得， 所以周期， 当时，，令， 解得，即一个周期内有2个零点， 因为， 所以在上的零点个数为. 故答案为： 33．0 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】由题意可得、为函数和的交点的横坐标，从而表示出，即可求出. 【详解】由已知和分别是，即的两个解，其中， 所以， 设，则、为函数和的交点的横坐标， 则，所以，， 所以. 故答案为：. 34．6 【难度】0.4 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用三角函数的性质求出的单调增区间，根据题意和集合之间的关系求出的最大值，再将问题转化为函数与的图象的公共点的个数，作出图形，利用数形结合的思想即可得出答案. 【详解】因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增， 由题知，存在使得成立，则必有， 则，解得，故，所以的最大值为， 当时，函数的零点个数转化为 函数与的图象的公共点的个数. 画图得： 由图知与的图象的公共点的个数共6个， 即的零点个数为6个. 故答案为：6 【点睛】关键点点睛：函数的零点个数转化为函数与的图象的公共点的个数，数学结合解决问题. 35． 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求函数的零点、函数与方程的综合应用 【分析】由题意得，通过换元法得关于的方程的根的个数为2；结合韦达定理可知（舍去）或，由此即可得解. 【详解】 由题意，即，显然， 所以， 令，所以，等号成立当且仅当， 由对勾函数性质得， 当或时，关于的方程的根的个数为2， 当或时，关于的方程的根的个数为1， 当时，关于的方程的根的个数为0， 由题意方程恰有三个根，其中， 而关于的方程的根的个数情况可能为0，1，2； 所以关于的方程只能有两个不相等的根（）， 不妨设为，且或，或； 又由韦达定理有， 所以（舍去）或， 所以是关于的方程的根，是关于的方程即的根， 由韦达定理有，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是通过换元法、数形结合以及韦达定理分析方程的根的情况，由此即可顺利得解. 36． 【难度】0.4 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、诱导公式二、三、四、函数与方程的综合应用、指数函数的判定与求值 【分析】由题意得方程在上有解，即在有解，转化成函数图象有交点来做即可. 【详解】由题意当即时，方程有解，即， 即当且仅当在有解， 因为在上单调递减，所以由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 且当时，， 所以若在有解，则只需， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：将原问题等价转化为函数方程有解，分离参数即可顺利求解. 37．1349 【难度】0.4 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】在求得函数解析式后，将在内恰有2023个零点转化为方程有2023个根，由题意要求可推得，在一个周期内有一个应取1或，从而分类讨论求解. 【详解】由函数的周期为可得即 又函数的图像的一个对称中心为，故因，故， 即有：， 因的图像可由图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到，故有 从而，， 由可得：（*）， 若，且时，在上必有偶数个零点，显然不可能有2023个零点，舍去； 故在一个周期内，有一个应取1或，不妨设，则由（*）得：， ①当时，可得，由方程解得另一解此时在上有1个零点，在上有2个零点， 即在上有3个零点， 又 ②当时，可得，由方程解得另一解此时在上有2个零点，在上有1个零点， 即在上有3个零点， 又当时， 在上有个零点， 当时，在上有个零点，故时不合题意，舍去. 综上所述，，. 故答案为：1349. 【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的零点，正弦曲线的性质等知识点. 在求得函数解析式后，根据零点定义将问题转化成方程在上有2023个根的问题，通过正弦曲线的对称特征，可得到在一个周期内有一个应取1或，然后分类考虑验证得解. 38．4 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由已知可得函数的周期为2，由可得，所以函数的零点个数转化为函数的图像与的图像交点个数，画出两函数图像可得答案 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且满足， 所以，所以， 所以函数的周期为2. 由可得，所以函数的零点个数转化为函数的图像与的图像交点个数， 对于的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 所以画出和在轴右侧的图像如图所示，有2个交点， 又和都是偶函数，所以轴左边也有2个交点， 综上所述，的图像与的图像交点个数为4， 即的零点个数为4. 故答案为：4. 39．7 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用 【分析】先设，然后分别作出和的图像，对图像进行分析即可. 【详解】函数的零点个数即为方程的根的个数， 令，则， 如图所示，   ， 则， 作出的图像，如图所示，   ， 则一共有7个交点，所以方程有7个根， 即函数零点个数为7， 故答案为：7 【点睛】方法点睛：嵌套函数的常用解决方法为设，然后对函数图像二次利用（或者画两个），将分别作为横坐标和纵坐标通过图像来解决根的相关问题. 40．7 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用、函数周期性的应用 【分析】由题意可得的周期为4，画出的图象，由，得，所以将问题转化为的图象与交点的个数，由图象可得答案. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以是以4为周期的周期函数， 因为当时，， 所以的图象如图所示， 由，得， 所以将问题转化为的图象与交点的个数， 因为，， ，， 所以的图象与的图象共有7个交点， 所以有7个零点， 故答案为：7    41．7 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出和的图象，找出两函数图象交点个数即可. 【详解】由正弦函数值域可得， 又因为当时，； 所以，分别画出和在上的图象如下图所示：      根据图像并根据其对称性可知，在上两函数图象共有7个交点； 由函数与方程可知，方程有7个解. 故答案为：7 42．(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为， (3)， 【难度】0.4 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、求零点的和 【分析】（1）根据函数图象可得，由周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式； （2）根据正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，由的取值范围求出的取值范围，令， ，即，结合正弦函数的图象及对称性计算可得. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，又， 则，所以， 又函数过点，所以，则， 则，解得， 因为，所以， 所以． （2）令，，解得，， 令，，解得，． 因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． （3）方程，即，即， 因为，所以， 设，其中，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即， 又的对称轴为， 不妨设个解从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称， 所以，，， 即，，， 解得，，． 所以， 所以，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是换元转化为方程在区间上的解的个数，结合正弦函数的图象及对称性计算得解. 43．(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求含cosx的二次式的最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得； （2）令，可得，令，求出函数的单调性与值域，结合余弦函数的单调性，将问题转化为与的交点个数. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 令，则，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故的值域为，即的值域为. （2）令，即，得. 因为，所以， 令，则，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 即，， 因为在上单调递减， 所以的零点个数等价于的零点个数， 即与的交点个数， 当或时，无解； 当时，仅有一解； 当时，有两解. 综上，当或时，无零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点. 44．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、利用余弦函数的单调性求参数、求含cosx的二次式的最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数； （2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明，即，令，则将原命题转化为证明，显然成立，进而原命题成立得证. 【详解】（1）， 令，即， 当时，令，所以， 则即， 所以当或时，即或时，无解； 当时，即时，仅有一解； 当即时，有两解， 综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点. （2）若有两个零点，， 令，，则，为两解， 则，则，则， 由可得，， 则， 所以，所以， 由可得， 所以，则， 由在递减，可得， 所以，所以 令，则 要证成立， 即证：； 即证：，因为显然成立，故原式成立. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 45．(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求反函数、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据反函数的概念求出函数的解析式，再利用对数的运算性质和对数恒等式可求得所求代数式的值； （2）设，对判别式的符号分类讨论，判断函数的零点个数，结合二次方程以及对数与指数的互化可得出函数的零点. 【详解】（1）由题意可得， 所以. （2）因为，令，则， 设，则， ①当，即时，函数无零点； ②当，即时，令解得， 由解得，所以此时的零点为； ③当，即时，的根为，， 由可得或，解得或， 此时的零点为和； 综上所述，当时，函数无零点； 当时，函数的零点为； 当时，函数的零点为和. 46．(1)不是函数的一个“区间”,理由见解析； (2); (3)不存在,理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、函数与方程的综合应用、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用二次函数知识,求出在上的值域，进而判断即可; （2）设的 “区间”为,借助二次函数的性质确定的值域为，建立方程组计算即可； （3）求出函数在区间上的所有“区间”的并集，分离参数，转化为求二次函数的值域问题计算即可. 【详解】（1）结合题意可得：， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，， 当或时，， 故此时函数的值域为，而此时 所以区间不是函数的一个“区间”. （2）设的 “区间”为,则的值域为， 此时在单调递减， 则，解得， 所以的 “区间”为. （3）由（2）知在上的 “区间”为, 当时，则， 而函数在上的值域为， 所以在上不存在这样的区间， 所以在上满足条件的区间为， 由，可得函数为奇函数， 同理易得：当，的“区间”为， 所以， 要使关于的方程在上恰有2个不同的实数解, 则当，，即 且在单调递减; 当，，即. 因为, 所以不存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于利用函数的定义域和值域及单调性求出“区间”，以及如何求解二次函数在闭区间的值域，综合性很强，属于难题. 47．(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的值域或最值、对勾函数求最值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）代入分别利用基本不等式和函数单调性求出两段函数值域即可得出结论； （2）对参数的取值进行分类讨论，利用基本不等式以及指数函数单调性分别对两函数的最值的符号作出判断，结合图象特征即可得函数的零点个数. 【详解】（1）当时可得； 显然当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，易知函数在上单调递增，所以可得， 即时，； 综上可知，函数的值域为； （2）①当时，函数在上单调递增， 且当趋近于0时，，当趋近于时，，即函数在上存在一个零点； 而函数在上单调递减，且当时，恒成立，即函数在上无零点； 所以当时，函数仅有1个零点； ②当时，易知在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，即函数在上存在两个零点； 而函数在上单调递增，且当趋近于时，，其最大值为，即函数在上有一个零点； 所以当时，函数仅有3个零点； ③当时，易知在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，即函数在上存在一个零点； 而函数在上单调递增，且当趋近于时，，其最大值为，即函数在上有一个零点； 即当时, 函数仅有2个零点； ④当时，易知在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，即函数在上无零点； 而函数在上单调递增，且当趋近于时，，其最大值为，即函数在上无零点； 所以当时，函数没有零点； 综上可知，当时，函数仅有1个零点；当时，函数仅有3个零点；当时, 函数仅有2个零点；当时，函数没有零点； 48．(1)； (2)详见解析 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、与二次函数相关的复合函数问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）易得，令，转化为，利用二次函数的性质求解； （2）易得，（法一）转化为，构造函数，讨论方程根的个数求解；（法二）令，分，，，，由零点存在性定理求解. 【详解】（1）解：由得， ， 令，则，， 开口向上，对称轴为的抛物线，显然函数y的最小值为. （2）由，得， ， （法一）令即， 即，则， 则函数y的零点问题转化为方程根的问题， 构造函数，则讨论方程根的个数， 易知当时单调递增，故问题可转化为方程根的问题， 可转化为根的问题， 令，，容易知道函数单调递增， 故，则当时，方程只有一根， 当时，方程没有根， 即当时，函数y有且只有一个零点，当时，函数y没有零点. （法二）令， 当时，，∴，无解； 当时，，且单增，无解； 当时，，一解，即一个零点； 当时，，且单增， 由零点存在性定理可知，存在，使得； 综上得，当时，函数y有且只有一个零点，当时，函数y没有零点. 【点睛】思路点睛：第二问（法一），令，变形为，根据对数运算构造函数，进而得到，然后由单调性的定义，结合当时单调递增，转化为方程根的问题而得解. 答案第46页，共47页 答案第11页，共47页 学科网（北京）股份有限公司 $$