专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似图形的识别 题型二 相似多边形的基本概念 题型三 相似多边形的性质 题型四 平行线分线段中的A字型相似 题型五 平行线分线段中的8字型相似 题型六 平行线分线段中的X字型相似 题型七 平行线分线段中的#字型相似 题型八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用 题型九 作平行线构造平行线分线段成比例 题型十 作垂线构造平行线分线段成比例 题型十一 平行线分线段成比例综合 题型十二 平行线分线段成比例多结论问题 知识点1：相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【经典例题一 相似图形的识别】 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 1．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．等腰三角形都是相似形 B．等边三角形都是相似形 C．平行四边形都是相似形 D．菱形都是相似形 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙一共有 种． 3．（23-24九年级上·山西·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【经典例题二 相似多边形的基本概念】 【例2】（23-24九年级上·山东烟台·期中）下列四组平面图形中，一定相似的是（    ） A．等腰三角形与等腰三角形 B．正方形与菱形 C．正五边形与正五边形 D．菱形与菱形 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“”或“”或“”）．    3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【经典例题三 相似多边形的性质】 【例3】（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．五边形的周长是五边形周长的倍 D． 1．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开后得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【经典例题四 平行线分线段中的A字型相似】 【例4】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，正方形的边长为4，为边中点，为边上一点，连接，，相交于点．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，求和． 【经典例题五 平行线分线段中的8字型相似】 【例5】（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，，则下列比例式错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·上海静安·九年级上校考期中）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·九年级上高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·九年级上专题练习）如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ） A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2 【经典例题六 平行线分线段中的X字型相似】 【例6】（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【经典例题七 平行线分线段中的#字型相似】 【例7】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长． 【经典例题八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用】 【例8】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则 ，等于 ． 3．（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． 三角形中位线的折法 如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线， 如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线． 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线． 理由如下：设与交于点Q． 第一次折叠可得，第二次折叠可得，且． ∴． ∵．∴（依据）． ∵，∴，AE=CE． ∴是的中位线， 如图3，继续探究其他折法： 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线． 任务： (1)写出材料中的依据：_____． (2)请根据图3的折法，求证：是的中位线． 【经典例题九 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例9】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形中，分别在边上，相交于点， 若，则 的值是（        ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·浙江绍兴·一模）如图．在中，，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，F是边上一点，若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有三个，且，则x的值是 ． 3．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【经典例题十 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例10】（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南通·二模）如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（    ） A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长 C．△BPR的周长 D．△APQ的周长 2．（23-24九年级·浙江杭州·）如图，G为的重心，现分别从A及G作垂线交B于及，则 ．    3．（2024·湖南邵阳·一模）如图1，在中，，，过点A作直线，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为点E，D．    操作探究： （1）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A旋转，请探究线段的数量关系并说明理由； （2）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转，与线段BC相交于点G，请再探究线段的数量关系并说明理由； 尝试应用： （3）在图3中，延长线段交线段AC于点F，若，，求． 【经典例题十一 平行线分线段成比例综合】 【例11】（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为（　　） A． B．2.5 C． D．3 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交边于点D．连接．若，，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2)擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连结交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 【经典例题十二 平行线分线段成比例多结论问题】 【例12】（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知ABCDEF，则下列结论正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EFAB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，矩形中，，，正方形的三个顶点E、F、H分别在矩形的边、、上，点G在矩形内部，连接、、现给出以下结论：①当时，；②当时，；③当A、G、C三点共线时，；④点G到的距离为定值．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 3．（2024·河南商丘·一模）综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．        1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江西新余·阶段练习）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·二模）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·二模）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④=−1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2024·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为 ． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，，，当 时，． 8．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为 ．    9．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 10．（2024·广东广州·模拟预测）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠ABE；③AF：BE＝1：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3；其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 11．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH． (1)求的值； (2)若，求矩形EFGH的面积． 13．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸． （1）A4纸较长边与较短边的比为　　； （2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由． 14．（2024·河北石家庄·模拟预测）阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 15．（2024·浙江温州·二模）【推理】 （1）如图1，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：四边形为平行四边形． 【应用】 （2）如图2，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且．在，上分别找一点P，Q，使四边形为平行四边形．若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似图形的识别 题型二 相似多边形的基本概念 题型三 相似多边形的性质 题型四 平行线分线段中的A字型相似 题型五 平行线分线段中的8字型相似 题型六 平行线分线段中的X字型相似 题型七 平行线分线段中的#字型相似 题型八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用 题型九 作平行线构造平行线分线段成比例 题型十 作垂线构造平行线分线段成比例 题型十一 平行线分线段成比例综合 题型十二 平行线分线段成比例多结论问题 知识点1：相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【经典例题一 相似图形的识别】 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握几何变换的特征是解题的关键．根据几何变换的特征即可得到答案． 【详解】解：由图可知，两个开口向右的大小不一样，故只可能是相似， 故选C． 1．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．等腰三角形都是相似形 B．等边三角形都是相似形 C．平行四边形都是相似形 D．菱形都是相似形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案. 【详解】A.等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项错误， B.等边三角形的各角是60°，每个等边三角形的边长相等，故所有的等边三角形都相似，故该选项正确， C.平行四边形的各角不能确定，各边长也不确定，不一定相似，故该选项错误， D.菱形各角不能确定，各边长也不确定，不一定相似，故该选项错误， 故选B. 【点睛】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，熟练掌握相似图形的定义是解题关键. 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙一共有 种． 【答案】3 【分析】直接利用相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的三边为50cm，60cm，80cm ∴三边比5：6：8 ∵甲、乙两三角形相似 ∴它们边长的比相同，即5：6：8， ∵乙一边为20cm ∴20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边． 故答案为3． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，掌握相似图形的形状相同，但大小不一定相同是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·山西·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【答案】（1）A；（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；（3）60.75 【分析】（1）根据阅读材料得到相似体的概念，然后对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析，发现只有球体的形状是完全相同的； （2）根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系； （3）根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论． 【详解】解：（1）A、两个球体，形状完全相同，是相似体； B、两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； C、两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； D、两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体； 故选：A； （2）根据阅读材料进行归纳可以得到： ①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②相似体表面积的比等于相似比的平方； ③相似体体积的比等于相似比的立方； 故答案为：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方； （3）由题意知他的体积比为()3； 又因为体重之比等于体积比， 若设初三时的体重为x千克， 则有()3=， 解得x==60.75． 答：初三时的体重为60.75千克． 故答案为：60.75． 【点睛】本题考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．根据阅读材料对相似图形的概念进行推广，得到相似体的概念，然后对阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，表面积的比以及体积的比与相似比的关系． 【经典例题二 相似多边形的基本概念】 【例2】（23-24九年级上·山东烟台·期中）下列四组平面图形中，一定相似的是（    ） A．等腰三角形与等腰三角形 B．正方形与菱形 C．正五边形与正五边形 D．菱形与菱形 【答案】C 【分析】根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】因为等腰三角形与等腰三角形不一定相似， 所以A错误，不符合题意； 因为正方形与菱形不一定相似， 所以B错误，不符合题意； 正五边形与正五边形一定相似， 所以C正确，符合题意； 菱形与菱形不一定相似， 所以D错误，不符合题意； 故选:C． 【点睛】本题考查了多边形的相似即对应边成比例且对应角相等，熟练掌握定义是解题的关键． 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合的即可得到答案. 【详解】A.内外都是等边三角形，符合相似的定义，对应角相等，∴两个三角形相似，故不符合题意； B.内外都是正方形，对应角都相等，对应边都成比例，∴两个正方形相似，故不符合题意； C.两个矩形的对应角都相等，对应边不成比例，∴两个矩形不相似，符合题意； D.两个正五边形对应角都相等，对应边都成比例，∴两个正五边形相似，不符合题意. 故选C. 【点睛】此题主要考查相似多边形的定义，对应角都相等，对应边都成比例的多边形是相似多边形，熟记定义并应用解题即可正确解答. 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“”或“”或“”）．    【答案】= 【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∴， ∴ 故答案为：＝． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 【经典例题三 相似多边形的性质】 【例3】（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．五边形的周长是五边形周长的倍 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质：如果两个多边形相似，则其对应边成比例， 根据相似形对应边的比相等，就可以求出． 【详解】解：A、∵五边形五边形， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项符合题意； C、五边形的周长是五边形周长，故选项不符合题间； D、，故选项符合题意； 故选：B． 1．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开后得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的面积是矩形面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∴ ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 【详解】， 设，则，， 四边形与矩形相似， ，则， 解得，（不合题意舍去）， 经检验是原方程的解． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【答案】(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题四 平行线分线段中的A字型相似】 【例4】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 1．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，正方形的边长为4，为边中点，为边上一点，连接，，相交于点．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作交于，则，根据为边中点，得，再根据，得，根据勾股定理得，所以． 【详解】解：如图，作交于， 则， 为边中点， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 设上的高为，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：设上的高为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，求和． 【答案】， 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，得到正确的比例式是解题的关键． 由得到即可求解，由得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 平行线分线段中的8字型相似】 【例5】（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，，则下列比例式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵DE//BC， ∴； ∴A错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 1．（2024·上海静安·九年级上校考期中）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可． 【详解】∵， ∴或． A．作出的为，故不符合题意； B．该情况无法作图，故不符合题意； C．作出的为，故符合题意； D．作出的为，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键． 2．（2024·陕西西安·九年级上高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3．（2024·全国·九年级上专题练习）如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ） A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2 【答案】C 【分析】根据，可得，进而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴＝， ∵AF：BF＝2：5， ∴＝， 即AG＝BD， ∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD， ∴CD＝BD， ∴＝＝， ∵， ， ∴＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【经典例题六 平行线分线段中的X字型相似】 【例6】（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，将代入，即可求出的长． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．弄清楚对应线段是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 解得 故选：C． 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线所截线段对应成比例，根据得到对应线段成比例即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，，， ∵，，， ∴， 故选：D； 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题七 平行线分线段中的#字型相似】 【例7】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段的对应线段成比例是解题的关键； 由得，代入数值求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， 故选：C 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据三条平行线截两条直线所对应线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理的应用． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D， 根据题意，设， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可； 【详解】解：， ，即， ． 【经典例题八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用】 【例8】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解． 【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示： ∵是的重心，延长交于点，延长交于点， ∴，， ∴，， 又∵分别是和的重心， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 【答案】B 【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论． 【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G， ∴NM∥AG， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴AG＝PG， ∵M是DE的中点， ∴DM＝ME＝DE， ∵NM∥AG，AN＝DN， ∴＝＝， ∴NM＝AG＝PG， ∵DM＝ME， ∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则 ，等于 ． 【答案】 2：1 3：1：2 【分析】根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论． 【详解】解：∵点G为△ABC的重心， ∴E是AC的中点，D是BC的中点， 又∵EF∥BC， ∴， ∴， ∴DG=2FG， ∵G为重心， ∴AG=2DG=4FG， ∴AF=3FG， ∴AF：FG：GD=3：1：2， 故答案为：2：1，3：1：2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键． 3．（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． 三角形中位线的折法 如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线， 如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线． 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线． 理由如下：设与交于点Q． 第一次折叠可得，第二次折叠可得，且． ∴． ∵．∴（依据）． ∵，∴，AE=CE． ∴是的中位线， 如图3，继续探究其他折法： 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线． 任务： (1)写出材料中的依据：_____． (2)请根据图3的折法，求证：是的中位线． 【答案】(1)平行线分线段成比例 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案； （2）由第一次对折可得：，，由第二次对折可得：，，，可得，是的垂直平分线，则，如图，连接交于，再结合平行线分线段成比例即可得到结论． 【详解】（1）解：∵． ∴（平行线分线段成比例） （2）由第一次对折可得：，， 由第二次对折可得：，，， ∴，是的垂直平分线， ∴， 如图，连接交于， ∵， ∴， ∴，， ∴是的中位线． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，三角形的中位线的含义，线段的垂直平分线的判定与性质，理解对折的含义是解本题的关键． 【经典例题九 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例9】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形中，分别在边上，相交于点， 若，则 的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图作，交于N，交于M．设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； 【详解】解：如图，作，交于N，交于M． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， 设，则 ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题． 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴故A正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵． ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键． 2．（2024·浙江绍兴·一模）如图．在中，，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，F是边上一点，若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有三个，且，则x的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质，运用平行线分线段成比例定理分类计算即可得到答案； 【详解】解：当平分时，符合题意，如图所示，此时四边形是正方形， ∵， ∴， ∴，解得； 如图，当时，恰好有四个位置满足， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ∴时，就满足了3个F， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证． 【详解】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【经典例题十 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例10】（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 1．（2024·江苏南通·二模）如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（    ） A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长 C．△BPR的周长 D．△APQ的周长 【答案】C 【分析】取的中点，连接，过点作交于点，过点作，交于点，根据等边三角形的性质与判定可知是等边三角形，进而证明是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，根据三角形中位线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，计算的周长为，即可求解． 【详解】如图，取的中点，连接，过点作交于点，过点作，交于点， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ， 则， 即， 是的中点，则， 中，是斜边上的中线， ， ，， ，即为的中点， ， ， ， 又， ， 三点共线， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． △BPR的周长等于，等边三角形的周长等于． 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，综合运用以上知识是解题的关键． 2．（23-24九年级·浙江杭州·）如图，G为的重心，现分别从A及G作垂线交B于及，则 ．    【答案】3：1 【分析】作EF⊥BC于F，根据E为AC的中点，求出EF与AA′的关系，根据重心的性质求出GG′与EF的关系，比较得到答案． 【详解】解：作EF⊥BC于F， ∴EF∥AA′， ∵E为AC的中点， ∴EF=AA′， ∵G为△ABC的重心， ∴， ∴AA′：GG′=3：1， 故答案为：3：1．    【点睛】本题考查的是三角形的重心和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 3．（2024·湖南邵阳·一模）如图1，在中，，，过点A作直线，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为点E，D．    操作探究： （1）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A旋转，请探究线段的数量关系并说明理由； （2）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转，与线段BC相交于点G，请再探究线段的数量关系并说明理由； 尝试应用： （3）在图3中，延长线段交线段AC于点F，若，，求． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）；根据题意，利用“”证明，得出，即可得出结论； （2）；根据题意，利用“”证明，得出，即可得出结论； （3）在中，根据勾股定理求出，根据，得出，代入数据求出，根据，算出，即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：根据解析（2）可知，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，平行线分线段成比例，根据题意证明，是解题的关键． 【经典例题十一 平行线分线段成比例综合】 【例11】（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，根据题意找出角度、线段之间的数量关系是解题关键．延长交于点，由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形，根据平行线分线段成比例定理，得出，再证明，结合平行线的性质和对顶角，得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形， ，，，， 是的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， 故选：C 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为（　　） A． B．2.5 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分线段成比例定理，连接，过点作于点，设，，设，，则，由折叠的性质可得：，，，由 ，，共线，，得出，推出，得到，解得：或（舍去），推出，再利用勾股定理求出，可得结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，设，， ， 设，， 点为中点， ， 由折叠的性质可得：，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，，共线，， ， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交边于点D．连接．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．设与交于点，由题可知，直线为线段的垂直平分线，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设与交于点， 由题可知，直线为线段的垂直平分线， ，点为的中点， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2)擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连结交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 【答案】(1)10 (2)①；②不发生变化，长度为 【分析】（1）设，根据折叠可得，，利用勾股定理，在中，，即，即可解答； （2）①过点A作于点G，根据勾股定理求出的长，由，所以，在中，由，，所以，根据M是的中点，所以H是的中点，根据中位线的性质得到； ②作，交于点Q，求出，，得出，根据，得出，根据，证出，得出，再求出，最后代入即可得出线段的长度不变． 【详解】（1）解：设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即． （2）解：①如图2，过点A作于点G， 由（1）中的结论可得：，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴ ∴H是的中点， ∴． ②当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化； 作，交于点Q，如图3， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为． 【点睛】此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等三角形． 【经典例题十二 平行线分线段成比例多结论问题】 【例12】（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知ABCDEF，则下列结论正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，即，故C正确，符合题意； D、，即，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应关系． 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EFAB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF＋∠ADG＝90°，便可判断①的正误； ②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EFCD，便可判断②的正误； ③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误； ④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误． 【详解】①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAD＝∠BDC＝45°， ∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线， ∴∠DAE＝∠CDF， ∵∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠DAF+∠ADG＝90°， ∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF， 故①结论正确； ②在△AGF和△AGD中， ， ∴△AGF≌△AGD（ASA）， ∴GF＝GD， ∵AG⊥DF， ∴EF＝ED， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF， ∴EFCDAB，故②正确； ③∵△AGF≌△AGD（ASA）， ∴AD＝AF＝AB， 故③正确； ④∵EFCD， ∴∠OEF＝∠ODC＝45°， ∵∠COD＝90°， ∴EF＝ED＝OE， ∴， ∴AB＝CD＝（）EF， 故④错误． 故选：C． 【点睛】主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，矩形中，，，正方形的三个顶点E、F、H分别在矩形的边、、上，点G在矩形内部，连接、、现给出以下结论：①当时，；②当时，；③当A、G、C三点共线时，；④点G到的距离为定值．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了四边形综合，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． ①过点G作，交于M，交于点N，通过在恒美，得出，同理可证∶ ，最后根据，即可判断；②根据，得出，求出或，即可判断；④根据题意得出，即可判断；③当A、G、C三点共线时，点G在上，根据平行线分线段成比例得出，即可判断． 【详解】解：①过点G作，交于M，交于点N， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证∶ ， ∴， ∴， 则 ，故①正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得：或，故②不正确，不符合题意； ④∵， ∴， 即点G到的距离为定值，故④正确，符合题意； ③当A、G、C三点共线时，点G在上， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 3．（2024·河南商丘·一模）综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．        【答案】（1）；（2）正确．理由见解析；（3）或． 【分析】（1）先证得四边形是正方形，得到，再通过“”证得，得到，从而得证； （2）根据正方形的性质和垂直的定义证得，得到，根据，，得到，证得，从而得证； （3）由正方形的边长为3可求得，由点E是的三等分点，得到或．分两种情况讨论：①当时，，在中，，从而，根据得到，从而求得，进而即可解答；②当时，同①思路即可解答． 【详解】（1）∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）正确． 理由如下：过点E作于点M，过点F作于点P，如图所示．    ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （3）∵在正方形中，，， ∴ ∵点E是的三等分点， ∴或． ①当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，综合运算相关知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质． 设，，根据相似多边形的性质得到，代入求解即可． 【详解】解：如图，设，．    ∵矩形矩形，和分别为和的中点，， ∴，即， ∴， ∴，即． 故选：A． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 3．（23-24九年级上·江西新余·阶段练习）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线，全等三角形．熟练掌握平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，是解决问题的关键． 先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【详解】如图，设与的交点为G， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2024·山东济南·二模）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 5．（2024·广东深圳·二模）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④=−1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】证明△AHG≌△AHB（ASA），得出AF是线段BG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质和正方形的性质即可得出②正确；设OA=OB=OC=a，由菱形和正方形的性质得出OA=OB，证出∠OAE=∠OBG，由ASA证明△OAE≌△OBG，可得出①正确；求出OG=OE=a-b，由平行线分线段成比例定理可得出④正确；证明△EAB≌△GBC（ASA），得出BE=CG，可得出③正确；证明△FAB≌△PBC（ASA），得出BF=CP，则三角形的面积公式，可得出⑤错误；即可得出结论． 【详解】解：∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠GAH=∠BAH， ∵BH⊥AF， ∴∠AHG=∠AHB=90°， 在△AHG和△AHB中， ， ∴△AHG≌△AHB（ASA）， ∴GH=BH， ∴AF是线段BG的垂直平分线， ∴EG=EB，FG=FB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAF=∠CAF=×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°， ∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°， ∴∠BEF=∠BFE， ∴EB=FB， ∴EG=EB=FB=FG， ∴四边形BEGF是菱形；②正确； 设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b， ∵四边形BEGF是菱形， ∴GF∥OB， ∴∠CGF=∠COB=90°， ∴∠GFC=∠GCF=45°， ∴CG=GF=b，∠CGF=90°， ∴CF=GF=BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°， ∵BH⊥AF， ∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH， ∴∠OAE=∠OBG， 在△OAE和△OBG中， ， ∴△OAE≌△OBG（ASA），①正确； ∴OG=OE=a-b， ∴△GOE是等腰直角三角形， ∴GE=OG， ∴b=（a-b）， 整理得a=b， ∴AC=2a=（2+）b，AG=AC-CG=（1+）b， ∵四边形ABCD是正方形， ∴PC∥AB， ∴=1+， ∵△OAE≌△OBG， ∴AE=BG， ∴=1+， ∴=-1，④正确； ∵∠OAE=∠OBG，∠CAB=∠DBC=45°， ∴∠EAB=∠GBC， 在△EAB和△GBC中， ， ∴△EAB≌△GBC（ASA）， ∴BE=CG，③正确； 在△FAB和△PBC中， ， ∴△FAB≌△PBC（ASA）， ∴BF=CP， ∴，⑤错误； 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．（2024·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 设，，则，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，可得矩形和矩形相似，则，即，可求，进而可求的值． 【详解】解：∵矩形， 设，，则， ∴四边形是矩形， ∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似， ∴矩形和矩形相似， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，，，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线平行线分线段成比例定理，同时也利用了矩形的性质和全等三角形的判定和性质，如图，延长交于G，首先利用已知条件证明，然后利用勾股定理求出，也就求出，最后利用平行线的性质得到比例线段即可求出． 【详解】解：如图，延长交于G ，   ∵E为的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵E，F分别为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等． 10．（2024·广东广州·模拟预测）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠ABE；③AF：BE＝1：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3；其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵EC垂直平分AB， ∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE， ∵OA∥DC， ∴=， ∴AE=AD，OE=OC， ∵OA=OB，OE=OC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵AB⊥EC， ∴四边形ACBE是菱形，故①正确； ， ， ∵AB∥CD， ， ∴∠ACD=∠ABE，故②正确； ∵OA∥CD， ∴， ∵四边形ACBE是菱形， ， ∴，故③正确； 设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a， ∴S△AOC=S△AOE=3a， ∴S四边形AFOE=4a，S△ODC=6a， ∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 11．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH． (1)求的值； (2)若，求矩形EFGH的面积． 【答案】(1)a：b＝2：1 (2)6272米2 【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF•HE，即可解决问题． 【详解】（1）根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米， ∵矩形ABCD∽矩形EFGH． ∴， ∴， 整理，得2b＝a， ∴a：b＝2：1； （2）∵a＝4，2b＝a， ∴b＝2， ∴矩形EFGH的面积 ＝EF•HE ＝（120﹣2a）•（60﹣2b） ＝（120﹣8）（60﹣4） ＝112×56 ＝6272（米2）． 答：矩形EFGH的面积为6272米2． 【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质． 13．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸． （1）A4纸较长边与较短边的比为　　； （2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由． 【答案】（1）；（2）相似，理由见解析 【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可； （2）根据相似图形的判定解答即可． 【详解】 解：（1）如图1，设AB＝x， 由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°， ∴∠BCF＝∠BDF=90°， 又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF， ∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴BC=x， ∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x， ∴EF＝CE＝AD＝（+1）x， ∵DE＝AC＝AB＝x， ∴DF＝DE+EF＝（+2）x， ∴， 故答案为：． （2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x， ∴对A5纸，长边：短边， ∴A4纸与A5纸相似． 【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答． 14．（2024·河北石家庄·模拟预测）阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是角平分线， ∴． ∵，，， ∴，解得，经检验符合题意． 故的长为． 15．（2024·浙江温州·二模）【推理】 （1）如图1，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：四边形为平行四边形． 【应用】 （2）如图2，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且．在，上分别找一点P，Q，使四边形为平行四边形．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和判定求证即可； （2）在上作点N，使，过点N作，的平行线，分别交，于点Q，P，可得平行四边形．连结，，，，先证为平行四边形，再根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连结交于点O， ∵平行四边形， ∴，． ∵，即， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）如图2，在上作点N，使，过点N作，的平行线，分别交，于点Q，P，可得平行四边形．连结，，，， 根据（1）中的推理应用可证四边形为平行四边形， 由，可得． ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$