专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据成比例线段求值 题型二 比例尺的应用 题型三 根据比例的性质判断式子的正误 题型四 根据比例的性质求参数值 题型五 根据比例的性质求代数式的值 题型六 根据比例的性质证明结论 题型七 利用比例的性质比较大小 题型八 比例性质的应用 题型九 黄金分割 题型十 黄金分割的应用 题型十一 成比例线段的综合应用 知识点1：成比例线段 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点3：黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【经典例题一 根据成比例线段求值】 【例1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海长宁·一模）已知点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，若BP＝2，则AB的长为 ． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【经典例题二 比例尺的应用】 【例2】（2024·山东·模拟预测）如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知台湾省基隆市与高雄市的实际距离是，而在某张地图上量得基隆与高雄的图上距离约，则此地图的比例尺为（ ） A．1:9 000 000 B．1:500 000 C．1:900 000 D．1:5 000 000 2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 千米． 3．（23-24九年级上·全国·期中）小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按的比例尺画出了草坪图（如图），他准备在草坪内栽种面积为平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？    【经典例题三 根据比例的性质判断式子的正误】 【例3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·全国·课后作业）若，给出下列各式：①；②；③；④，其中正确的是 .（填写所有正确的序号） 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由． (1)． (2)． 【经典例题四 根据比例的性质求参数值】 【例4】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．2或 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知，则k的值是 ． 3．（23-24九年级上·湖北·周测）（1）已知关于的方程有两个实数根，且满足，求实数的值； （2）已知，且，求的值． 【经典例题五 根据比例的性质求代数式的值】 【例5】（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知 ， 求下列各式的值： (1) (2)． 【经典例题六 根据比例的性质证明结论】 【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 1．（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：. 2．（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：． 3．（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【经典例题七 利用比例的性质比较大小】 【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝， 试判断x，y，z的大小关系． 3．（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【经典例题八 比例性质的应用】 【例8】 （23-24九年级·浙江·自主招生）设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）已知代数式，，，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，b为关于a的方程的一个解，则； ④若，则；其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【经典例题九 黄金分割】 【例9】（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【经典例题十 黄金分割的应用】 【例10】（23-24九年级上·河南郑州·期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段 的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即；如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入沿直线行走，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 .（结果保留根号）    3．（23-24九年级上·福建龙岩·开学考试）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【经典例题十一 成比例线段的综合应用】 【例11】（2024·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 3．（2024·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）下列四组线段中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若线段a，b，c满足，且，则b的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．36 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知线段的长度为，点是线段的黄金分割点，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）若，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·广西百色·期中）已知线段，，，且线段成比例，则 ． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）比例尺为的地图上，杭州到嘉兴的图上距离约是，则杭州到嘉兴的实际距离是 ． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． AI 10．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）根据下列条件求的值． (1)，； (2)，． 12．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 13．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 14．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F． 猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为__________； 探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系并说明理由． 应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．          图①                         图② 15．（2024·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据成比例线段求值 题型二 比例尺的应用 题型三 根据比例的性质判断式子的正误 题型四 根据比例的性质求参数值 题型五 根据比例的性质求代数式的值 题型六 根据比例的性质证明结论 题型七 利用比例的性质比较大小 题型八 比例性质的应用 题型九 黄金分割 题型十 黄金分割的应用 题型十一 成比例线段的综合应用 知识点1：成比例线段 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点3：黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【经典例题一 根据成比例线段求值】 【例1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义得到AC=AB，把AB=10cm代入计算即可． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴AC=AB， 而AB=10cm， ∴AC=×10=（5-5）cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 1．（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段成比例， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·上海长宁·一模）已知点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，若BP＝2，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出BP＝AB，代入数据即可得出AB的长． 【详解】∵点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB， ∴P为线段AB的黄金分割点，且BP是较长线段， ∴BP＝AB， ∴AB＝2， 解得AB＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例线段、黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【答案】(1)6，4，12 (2)8 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程， （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 即， 【经典例题二 比例尺的应用】 【例2】（2024·山东·模拟预测）如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际问题，几何体的三视图，比例的性质，先根据比例求出球体的实际半径，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：比例尺为：， 这样的球形工件实际半径为：， 根据题意得：球的体积计算公式：；，， 工厂需要供应铁的质量为：， 故选：C． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知台湾省基隆市与高雄市的实际距离是，而在某张地图上量得基隆与高雄的图上距离约，则此地图的比例尺为（ ） A．1:9 000 000 B．1:500 000 C．1:900 000 D．1:5 000 000 【答案】D 【分析】根据比例尺=图上距离∶实际距离，列比例式直接求解即可. 【详解】∵31 5km＝315000000mm,，∴63∶315000000＝1: 5000000.故选D . 【点睛】本题考查了比例尺的相关知识，熟练掌握比例尺的性质是本题解题的关键. 2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 千米． 【答案】250 【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 厘米=千米 答：两地间的实际距离是km． 故答案为：． 【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 3．（23-24九年级上·全国·期中）小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按的比例尺画出了草坪图（如图），他准备在草坪内栽种面积为平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？    【答案】共需块小矩形草皮，株杜鹃． 【分析】根据比例尺求出草坪的长和宽，进而求出面积周长，继而利用除法运算即可求出小草皮的块数与杜鹃的株数. 【详解】由于比例尺为1：100，根据图纸可知草坪的长为：5×100=500cm=5m，宽为：3×100=300cm=3m , 所以草坪的面积为：5×3=15m2，共需要草皮15÷0.02=750（块）， 周长为：（5+3）×2=16m，需要杜鹃16÷0.5=32（株）， 答：共需要小矩形草皮750块，32株杜鹃. 【点睛】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺求出草坪的长和宽是解决此题的关键. 【经典例题三 根据比例的性质判断式子的正误】 【例3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质判断即可，掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解；A、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； B、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； C、根据比例的基本性质可以得到，故选项不符合题意； D、根据比例的基本性质可以得到，不能推出，故选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质，将选项中给出的比列式进行变形即可，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 【详解】解：、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级·全国·课后作业）若，给出下列各式：①；②；③；④，其中正确的是 .（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据等比性质判断即可. 【详解】解：由比例的性质易知①正确； 由已知得，再由等比性质可知②④正确； ， 故③是错误的. 【点睛】本题考查了等比性质的灵活应用，其中由已知式变形得到是判断的关键. 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由． (1)． (2)． 【答案】(1)成立，见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了比例的性质，等式的性质，熟练掌握比例的性质，等式的性质是解题的关键 （1）由，可得，根据，可证． （2）设，则．则，然后进行判断作答即可． 【详解】（1）解：比例式成立．理由如下： ∵， ∴， ∴，即． （2）解：比例式不成立．理由如下： 设，则． ∵， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题四 根据比例的性质求参数值】 【例4】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．2或 【答案】D 【分析】分两种情况：①当时，，求出；②当时，根据比例的性质，可求出，再得出答案即可． 【详解】解：分两种情况：①当时，， 所以； ②当时， ， ∴ ， 所以k的值为2或， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3 【答案】C 【分析】先利用x：y：z=1：2：3，y=2x，z=3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可． 【详解】∵x：y：z=1：2：3， ∴y=2x，z=3x， ∴2x+2x-9x=-15， ∴x=3． 故选C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知，则k的值是 ． 【答案】2或﹣1 【详解】试题分析：根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值； 解：①a+b+c≠0时， ∵， ∴， ∴k=2． ②a+b+c=0时，a+b=﹣c ∴k=﹣1 故答案为2或﹣1． 考点：比例的性质． 3．（23-24九年级上·湖北·周测）（1）已知关于的方程有两个实数根，且满足，求实数的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，比例的基本性质： （1）利用一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式可得即，可得，，从而得到，即可求解； （2）根据比例的基本性质可得，再根据完全平方公式，可得的值，即可求解． 【详解】解：（1）∵有两个实数根， ∴ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或1（舍去）； 综上所述，k的值为； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【经典例题五 根据比例的性质求代数式的值】 【例5】（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】解： 由， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据比例的性值计算即可； 【详解】∵， ∴； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据等比性质，可得答案，利用等比性质，分类讨论是解题关键． 【详解】解：设 当时，即， 当时，即， 综上所述，或 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知 ， 求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据两内项之积等于两外项之积得出，再代入进行计算，即可得出答案； （）根据两内项之积等于两外项之积得出 ，再代入进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据给出的式子得出． 【经典例题六 根据比例的性质证明结论】 【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：. 【答案】见解析 【分析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出 【详解】设，从而，，， 于是（+）， 又因为，所以； . 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 2．（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=；（2）见解析． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为（1）k=；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 【经典例题七 利用比例的性质比较大小】 【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【详解】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 1．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴．故选． 2．（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝， 试判断x，y，z的大小关系． 【答案】z>y>x 【详解】设 = = =k（k≠0）， ∴a=2k，b=7k，c=5k， ∴x=== ， y= = =1， z= ==2， ∴z>y>x. 3．（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论； （2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论； （3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论. 【详解】（1）∵，， ∴a=2b，c=2d， ∴，. 故答案为：=； （2）=.理由如下： 设，则， ∴a=bt，c=dt， ∴， ， ∴=； （3）∵， ∴a=ct，b=dt. ∵2=3， ∴. 解得：t=. 经检验：t=是原方程的解. 【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键. 【经典例题八 比例性质的应用】 【例8】 （23-24九年级·浙江·自主招生）设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，分别求得的值，进而即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式求值，根据已知等式变形是解题的关键． 1．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）已知代数式，，，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，b为关于a的方程的一个解，则； ④若，则；其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①，设，代入A、B、C，进行计算即可判断； ②根据得，分和两种情况求解即可； ③当时，代入A、B、C，可得，根据b是方程④的一个实根得，进行即可判断； ④根据a，b，c为正整数，且得，即可判断； 【详解】解：①，设， ∴， 即， 故①正确； ②∵， ∴， 若，即， 则， 若， 则， 即A的值为或， 故②不正确； ③当时，，，， ∴， ∵b是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； ④∵a，b，c为正整数，且， ∴， ∴， 故④正确； 综上，①④正确，正确的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或8 【分析】本题考查了比例的性质以及分式的化简求值，分类讨论是解题的关键． 设，进而得出，再进行分类讨论进行化简求值即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∴， 当时，则； 当时，则，即； 故答案为：或8． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 【经典例题九 黄金分割】 【例9】（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割：短线段与长线段的比等于长线段与整个线段的比，其比值为；据此逐项计算即可作出判断． 【详解】解：∵、是线段上的两个黄金分割点，其中，如图， ∴，， 故选项A正确，选项B错误； ∵， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴； 故选项D正确； 故选：B． 1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，相似三角形的的判定和性质，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键．根据点C为线段的黄金分割点，设,则，得到，解得，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，,， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点C为线段的黄金分割点， 设, 则 ∴ 化简得，， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解此题的关键．根据“较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，比值为”，进行计算即可． 【详解】.解：支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； （2）方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 【经典例题十 黄金分割的应用】 【例10】（23-24九年级上·河南郑州·期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段 的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点C，D分别为线段的右侧和左侧的黄金分割点，可得，，再根据求出的长度，然后乘以5即可求解． 【详解】解：∵点C，D分别为线段的右侧和左侧的黄金分割点， ∴，， ∴， ∴五边形的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即；如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入沿直线行走，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义列式判断即可． 【详解】解：∵满足，则称点 是 的黄金分割点， 设他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，即， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 .（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，根据黄金分割比例直接求解即可得到答案，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的比例关系较长线段的平方等于较短边乘以整条线段． 【详解】∵为的黄金分割点()， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·开学考试）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【答案】这双高跟鞋合适，理由见解析． 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 【经典例题十一 成比例线段的综合应用】 【例11】（2024·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，         设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 1．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 2．（2024九年级上·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案． 【详解】解：设，，， 则， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2024． 3．（2024·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）下列四组线段中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的概念，四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴成比例； 、∵， ∴成比例； 、∵， ∴不成比例； 、∵， ∴成比例； 故选：． 2．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若线段a，b，c满足，且，则b的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，由比例的性质可得，将值代入计算即可得到答案． 【详解】解：线段a，b，c满足，且， ， ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，连接，设，则，，设，则，表示出，，结合求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴设，则， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：D． 4．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知线段的长度为，点是线段的黄金分割点，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义分两种情况求解，熟记黄金分割点的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则， 当时， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， 即， 解得，（不合，舍去）， ∴； 当时， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴； 综上，或， 故选：． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识； 由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案． 【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为， ∴， ， ∵是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ， ∵是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ， ∴第4个黄金三角形的腰长是， … 第n个黄金三角形的腰长是， 第2024个黄金三角形的腰长是， 故选：A． 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，设（），则，，再代入代数式计算即可求解，掌握比例的性质是解题关键． 【详解】解：设（），则，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广西百色·期中）已知线段，，，且线段成比例，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例线段，根据成比例线段的概念，得，把，，代入求出的值，正确理解比例线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）比例尺为的地图上，杭州到嘉兴的图上距离约是，则杭州到嘉兴的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例线段．设杭州到嘉兴的实际距离为，利用比例尺的定义得到，然后解出，最后把单位化为千米即可．解题的关键是掌握：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：设杭州到嘉兴的实际距离为， 根据题意得， 解得：， ∵ ∴杭州到嘉兴的实际距离约为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． AI 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，设，则，由黄金分割的定义可得，解方程即可． 【详解】解：设，则， 为的黄金分割点（）， ， ， ， 解得，（不舍题意舍去）， 的长度为． 故答案为：． 10．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）根据下列条件求的值． (1)，； (2)，． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了比例的性质．要把含有同一个字母所占的份数变成相同的，即可表示出来．用同一个字母表示，然后再进一步求得三个字母的比值． 【详解】（1）解：因为，， ，； 所以 ； （2）解：，， ，， ． 12．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 13．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 【答案】(1)厘米； (2)元． 【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解； ()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题； 本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米， ∴矩形画框的宽为厘米； （2）解：矩形画框的面积为（平方厘米）， ∴矩形画框的材料成本为元， 答：生产一个该画框所需要的材料成本为元． 14．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F． 猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为__________； 探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系并说明理由． 应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．          图①                         图② 【答案】猜想：AF＝DE；探究：AF＝DE，理由见解析；应用：． 【分析】猜想：根据∠FEC=90°，得到∠AEF+∠DEC=90°，因为∠DEC+∠DCE=90°，可以等到∠AEF=∠DCE，在根据∠A=∠D=90°，AE＝AB，可以得到△AEF≌△DCE，故AF=DE； 探究：由猜想同理可得，△AEF≌△DCE，得到AF=DE； 应用：根据全等，对应边相等，AB=CD=AE=2，AD=5，故ED=AF=3，由此可得BF=1，根据BG//AE，得到，代入数据即可求出答案． 【详解】解：（1）猜想：AF＝DE； ∵∠AEF+∠DEC=90°，∠DEC+∠DCE=90° ∴∠AEF=∠DCE ∵∠A=∠D=90°，AE＝AB=CD， ∴△AEF≌△DCE ∴AF=DE （2）探究：AF＝DE，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD， ∴∠AFE＋∠AEF＝90°， ∵EF⊥CE， ∴∠CEF＝90°， ∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠AFE， ∵AE＝AB， ∴AE＝CD， ∴△AFE≌△DEC， ∴AF＝DE． （3）应用：由（2）得△AFE≌△DEC， ∴设DE＝x， ∵AD＝5， ∵AB＝2，AB＝AE， ∴AE＝5－x＝2， 解得x＝3， ∴AF＝DE＝3， ∴FB＝1， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD//BC， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明和平行线间线段成比例，熟练角度的等量代换以及列出比例式是解决本题的关键． 15．（2024·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 学科网（北京）股份有限公司 $$