2025年四川省聚焦中考数学一轮复习课件 -第6章　圆 6.4　与圆有关的弧长和面积计算

6.4　与圆有关的弧长和面积计算 数 学 第六章　圆 聚焦新中考·必备考点透析 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 如右图，扇形AOB所对应的圆心角的度数为n°，半径为R，l是弧长， 则有以下计算公式. 计算内容 计算公式 弧长 ①l＝ ⁠ 扇形的周长 ②C＝ ⁠ 扇形的面积 ③S＝ ⁠ 　 2R＋l　 （或 lR）　 返回目录 易错提示：在弧长公式和扇形面积公式中，n，180，360都是没有单位 （度）的，它们只是一个数量. 返回目录 1. 弓形的面积计算方法 对应劣弧的弓形 对应优弧的弓形 对应半圆的弓形 S阴影＝S扇形－S三角形 S阴影＝S三角形＋S扇形 S阴影＝S扇形 返回目录 2. 与扇形有关的阴影图形面积的计算方法 求与扇形有关的不规则的阴影图形的面积，基本思路是通过分割、旋 转、添补等方法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积进行计算. （1）加减转化法：将图形适当分割，将阴影部分的面积看成是规则图形 面积的和或差. 返回目录 （2）等积转化法：通过等面积转化，将不规则阴影部分的面积转化 为规则图形的面积进行计算.等面积变换主要有两种：一种是三角形 的同底等高（或等底等高）转化，如图1，可将阴影部分的面积转化 为扇形面积进行计算；另一种是将多个小扇形拼成一个圆心角已知的 大扇形进行计算，如图2，可将两个小扇形的面积和转化为四分之一 圆的面积进行计算. 返回目录 （3）变换转化法：利用图形在平移、旋转、对称变换前后面积不变的性 质，可将阴影部分的面积转化为规则图形的面积进行计算.如图3，三角 形经过旋转变换后所得阴影部分的面积等同于一个扇形的面积. 返回目录 （4）整体转化法：当整个图形由较多规则图形组成时，如果整个图形除 阴影部分外的部分可以彻底分割成规则图形；另外，当阴影部分也参与 分割时，整个图形也能彻底分割成规则图形，那么利用两种不同分割方 式对整个图形的面积计算的表达式不同，可以建立方程来求解阴影部分 面积.如图4，S阴影＋S扇形CBC'＋S△ABC＝S△A'BC'＋S扇形A'BA. 返回目录 1. 圆柱的有关计算 图形 圆柱的侧面积 圆柱的全面积 圆柱的体积 S侧＝④ ⁠ S全＝⑤ ⁠ V＝⑥ ⁠ 2πrh　 2πrh＋2πr2　 πr2h　 返回目录 2. 圆锥的有关计算 （1）圆锥的定义：圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直 线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫作圆锥的 ⑦ ，斜边旋转而成的面叫作圆锥的⑧ ⁠. 易错提示：给出一个直角三角形，按其直角边所在直线旋转形成圆锥 时，一般有两种情况，要注意分类讨论，不要漏解. 底面　 侧面　 返回目录 （2）圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半 径是圆锥侧面的⑨ ，弧长是圆锥底面圆的周长，圆心是圆锥 的顶点. 母线长　 返回目录 （3）圆锥的有关计算：设圆锥底面圆的半径为r，侧面母线长（扇形半 径）为l，底面圆周长（扇形弧长）为c，它的侧面积和表面积如下表： 侧面积 表面积 公式 S侧＝πrl S表＝πr（r＋ l） 思路 与推 导 展开成扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，扇 形的弧长是圆锥的底面圆周长，故S侧＝ cl＝ ×2πrl＝πrl S表＝S底面＋S侧＝ πr2＋πrl＝πr （r＋l） 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2024·甘肃临夏中考）如下图，对折边长为2的正方形纸片 ABCD，OM的长为折痕，以点O为圆心，OM长为半径作弧，分别交 AD、BC于E、F两点，则 的长度为 　（结果保留π）. 返回目录 分析：由对折可知，四边形AOMD是矩形，∠EOM＝∠FOM， 则OM＝AD，DM＝ CD. 如题图，过点E作EP⊥OM于点P， 则EP＝DM＝ CD. ∵OE＝OM＝AD，CD＝AD， ∴EP＝ OE. 在Rt△EOP中， sin ∠EOP＝ ＝ ， ∴∠EOP＝30°， 返回目录 ∴∠EOF＝2∠EOP＝60°， ∴ 的长度为 ＝ . 答案： 返回目录 　（2023·内蒙古赤峰中考）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆 锥形的小丑帽.如后图，这个圆锥的底面圆周长为20π厘米，母线AB长为 30厘米.为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从 点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条 彩带的最短长度是（） A. 30厘米 B. 30 厘米 C. 60厘米 D. 20π厘米 返回目录 分析：∵圆锥的底面圆周长为20π厘米， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm. 设扇形的圆心角为n°， ∴ ＝20π， 解得n＝120， ∴∠ABA'＝120°. 如图，过点B作BC⊥AA'于点C. ∵∠ABA'＝120°， ∴∠BAA'＝30°， 返回目录 ∴AC＝AB· cos 30°＝30× ＝15 （厘米）， ∴AA'＝2AC＝30 厘米， ∴这条彩带的最短长度是30 厘米. 答案：B 返回目录 　（河南中考）如下图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移 到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部 分的面积为 　. 返回目录 分析：如题图，设O'A'交 于点T，连接OT. ∵O'为OB的中点， ∴OO'＝O'B. ∵OT＝OB， ∴OT＝2OO'. ∵∠OO'T＝∠O＝90°， ∴∠O'TO＝30°，∠TOO'＝60°. 又∵OA＝2， ∴OT＝OA＝2，OO'＝1，O'T＝ ， 返回目录 ∴S阴影＝S扇形A'O'B'－（S扇形TOB－S△OTO'）＝ －（ － ×1× ）＝ ＋ . 答案： ＋ 返回目录 　四川中考真题精练　 1. 如下图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A 为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（　D　） A. 4π B. 6π C. 8π D. 12π 第1题 D 返回目录 2. （2023·广元中考）如上图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝ 90°，C是 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E. 若 CD＝CE，则图中阴影部分的面积为（　B　） A. B. C. D. 第2题 B 返回目录 3. （2022·凉山中考）某家具厂利用如后图所示直径为1米的圆形材料加 工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件 的面积为（　C　） A. π平方米 B. π平方米 C. π平方米 D. π平方米 第3题 C 返回目录 4. 如上图，在半径为5的☉O中，将劣弧AB沿弦AB 翻折，使翻折后的 恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为 （　B　） A. π B. π C. π D. π 第4题 B 返回目录 5. （2024·广安中考）如后图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10， ∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC、BC分别相交于点D、E，则 的长为（　C　） A. B. C. π D. π 第5题 C 返回目录 6. （2024·成都中考）如上图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝ 120°，则 的长为 ⁠. 第6题 4π　 返回目录 核心素养·应用意识 7.（2022·湖南衡阳中考）如下图，用一个半径为6厘米的定滑轮拉动重物 上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动， 则重物上升了 厘米（结果保留π）. 4π　 返回目录 题型2　与扇形有关的不规则图形面积的计算 8. 如下图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以 BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（　D　） A. B. π－2 C. 1 D. 第8题 D 返回目录 9. 如前图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， 点O在AB上，经过点A的☉O与BC相切于点D，交AB于点E. 若CD＝ ，则图中阴影部分的面积为（　B　） A. 4－ B. 2－ C. 2－π D. 1－ 第9题 B 返回目录 10. 如下图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 ☉O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为F. 若 ☉O的半径为4 ，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　A　） A. 16π－12 B. 16π－24 C. 20π－12 D. 20π－24 第10题 A 返回目录 11. （2023·广安中考）如上图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC＝2 ，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，以 点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积 是（　C　） A. π－2 B. 2π－2 C. 2π－4 D. 4π－4 第11题 C 返回目录 12. 如后图，在矩形ABCD中，AB＝2厘米，AD＝ 厘米，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影 部分的面积为 平方厘米. 第12题 （ － π）　 返回目录 13. 如上图，将☉O沿弦AB折叠， 恰经过圆心O. 若AB＝2 ，则阴影部分的面积为 　 　. 第13题 　 返回目录 14. 如下图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分 点，若阴影部分的面积是 π，则半径OA的长为 ⁠. 第14题 3　 返回目录 15. 如上图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转120° 得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部 分）的面积为 ⁠. 第15题 π　 返回目录 16. （2024·资阳中考）如下图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点 A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与 交于点F，则图中阴影部分的面积为 ⁠. 第16题 ＋ π　 返回目录 17. （2024·自贡中考）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文 化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制 作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB、AC的夹角为120°， AB长30厘米，扇面BD的长为18厘米，则扇面面积为 ⁠平方厘米 （结果保留π）. 第17题 252π　 返回目录 核心素养·抽象能力 18.如下图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等 边△ABC，分别以点A、B、C为圆心，以AB长为半径作 、 、 ，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若一个曲边三角形的周长 为2π，则此曲边三角形的面积为（　A　） A. 2π－2 B. 2π－ C. 2π D. π－ A 第18题 返回目录 19. （2024·乐山中考）如下图，☉O是△ABC的外接圆，AB为直径，过 点C作☉O的切线CD，交BA的延长线于点D，点E为 上一点，且 ＝ . 第19题 返回目录 （1）求证：DC∥AE. （1）证明：连接OC. ∵CD为☉O的切线，点C在☉O上，∴∠OCD＝ 90°，∴∠DCA＋∠OCA＝90°.∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝ 90°，∴∠B＋∠OAC＝90°.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠B＝∠DCA. ∵ ＝ ，∴∠B＝∠CAE，∴∠CAE＝ ∠DCA，∴CD∥AE. 第19题 返回目录 （2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积. 第19题 返回目录 （2）解：连接OE、BE. ∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE. 又∵OE＝ OB，∴△OEB为等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOE＝180°－ 60°＝120°.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°.∵DC∥AE， ∴∠D＝∠OAE＝30°.∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA＋AD. ∵OA＝OC，∴OC＝AD＝3，∴OA＝OE＝OC＝3，∴EF＝ OE ＝ ，∴S△OAE＝ OA·EF＝ .∵S扇形AOE＝ ＝3π，∴S阴影 ＝S扇形AOE－S△OAE＝3π－ . 返回目录 20. （2022·眉山中考）如下图，AB为☉O的直径，点C是☉O上一点， CD与☉O相切于点C，过点B作BD⊥DC于点D，连接AC、BC. 第20题 返回目录 （1）求证：BC是∠ABD的平分线. （1）证明：连接OC. ∵CD与☉O相切于点C，OC为☉O的半径， ∴OC⊥CD. ∵BD⊥CD，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC. ∵OC ＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OBC，∴BC是∠ABD的 平分线. 第20题 返回目录 （2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长. （2）解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BD⊥DC，∴∠D ＝90°，∴∠ACB＝∠D. ∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD，∴ ＝ ，∴BC2＝AB·BD＝3×4＝12，∴BC ＝2 （负值舍去），即BC的长为2 . 第20题 返回目录 （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积. 第20题 返回目录 （3）解：过点C作CE⊥AO于点E. ∵AB是☉O的直径，AB＝4， ∴OA＝OC＝2.在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝2，∴AO＝CO＝AC＝2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝ 60°.∵CE⊥OA，∴OE＝ OA＝1，∴CE＝ ，∴S阴影＝ － ×2× ＝ － . 返回目录 21. 已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥 侧面展开图的圆心角为（　C　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° C 返回目录 22. （2022·遂宁中考）如下图，圆锥底面圆半径为7厘米，高为24厘米， 则它侧面展开图的面积是（　C　） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 175π平方厘米 D. 350π平方厘米 第22题 C 返回目录 23. 如上图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆 心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底 面圆的半径是（　B　） A. B. C. D. 1 第23题 B 返回目录 24. （2023·自贡中考）如下图，小珍同学用半径为8厘米，圆心角为 100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2厘米的圆锥侧面，则圆锥上粘 贴部分的面积是 平方厘米. 第24题 　 返回目录 $$