第二章 2.匀速圆周运动的向心力和向心加速度 第2课时 向心加速度-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（教科版2019）

第2课时　向心加速度 【素养目标】　1．理解向心加速度的概念，掌握向心加速度的计算公式。2．能从动力学的角度求解与匀速圆周运动有关的物理量。 知识点一　向心加速度 [情境导学]　如图所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。 (1)分析小球的受力情况，说明小球的合力指向什么方向。 (2)小球加速度指向什么方向？ 提示：(1)小球受到重力、支持力和拉力的作用，合力指向圆心。 (2)根据牛顿第二定律可知加速度指向圆心。 (阅读教材P38－P39完成下列填空) 1．定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下，必然要产生一个向心加速度。 2．大小：a＝或a＝ω2r。 3．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直，且时刻在变化，因此匀速圆周运动是变加速曲线运动。 [问题探究]　如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不同，A、B、C是它们边缘上的三个点。 学生用书↓第40页 (1)A和B、B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？ (2)C点的向心加速度方向与C点的速度方向具有怎样的关系？ 提示：(1)A和B两个点的向心加速度与半径成反比；B和C两点的向心加速度与半径成正比。 (2)C点的向心加速度方向与C点的速度方向相互垂直。 角度一　向心加速度的理解 (多选)(2022·深圳高一月考)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　) A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 答案：ABD 解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；物体做变速圆周运动时的合力方向不一定指向圆心，故合加速度的方向不一定指向圆心，故C错误；物体做匀速圆周运动时的合力方向始终指向圆心，故加速度方向始终指向圆心，故D正确。 针对练．关于向心加速度，下列说法正确的是(　　) A．由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定 B．匀速圆周运动不属于匀速运动 C．向心加速度越大，物体速率变化越快 D．做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心 答案：B 解析：向心加速度是矢量，其方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，A错误；匀速运动要求速度不变，匀速圆周运动的速度方向时刻在变化，故不属于匀速运动，B正确；向心加速度不改变速率，C错误；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D错误。 角度二　向心加速度的大小 (多选)(2023·四川遂宁高一统考期末)在学校“食育课”中，小彤同学体验糕点制作“裱花”环节，如图所示，她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径20 cm的蛋糕，在蛋糕边缘上“点”一滴奶油，在距离圆心5 cm处放上樱桃装饰。下列说法正确的是(　　) A．所点奶油与所放樱桃的角速度之比为2∶1 B．所点奶油与所放樱桃的线速度之比为4∶1 C．所点奶油与所放樱桃做圆周运动的周期之比为1∶1 D．所点奶油与所放樱桃的向心加速度之比为 2∶1 答案：CD 解析：同一圆盘上各点角速度相同，即所点奶油与所放樱桃的角速度之比为1∶1，A错误；根据v＝rω可知，所点奶油与所放樱桃的线速度之比等于半径之比，即2∶1，B错误；根据T＝可知，所点奶油与所放樱桃做圆周运动的周期之比为1∶1，C正确；根据a＝ω2r可知，向心加速度与半径成正比，即所点奶油与所放樱桃的向心加速度之比为 2∶1，D正确。 1．圆周运动的性质 (1)向心加速度描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不描述速度大小变化的快慢。 (2)圆周运动的向心加速度的方向时刻发生改变，一定是非匀变速曲线运动。 (3)做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度。向心加速度改变速度的方向，切向加速度改变速度的大小。 2．向心加速度的几种表达式 3．向心加速度的大小与各量关系的理解 (1)当r一定时，a∝v2，a∝ω2。 (2)当v一定时，a∝。 (3)当ω一定时，a∝r。 (4)a与r的关系图像：由a-r图像可以看出a与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。 针对练．(多选)(2023·四川绵阳三台中学高一校考期末)小球被细绳拴着做匀速圆周运动，轨道半径为R，向心加速度为a，那么(　　) A．小球运动的角速度ω＝aR B．小球在t时间内通过的位移x＝t C．小球做圆周运动的周期T＝2π D．小球在t时间内(细线)转过的角度φ＝·t 答案：CD 解析：根据向心加速度与角速度的关系a＝ω2R，可得小球运动的角速度为ω＝，故A错误；小球在时间t内通过的路程为s＝vt＝ωRt＝t，小球做圆周运动，则位移小于t，故B错误；小球做匀速圆周运动的周期为T＝＝2π，故C正确；小球在t时间内(细线)转过的角度φ＝ωt＝·t，故D正确。 学生用书↓第41页 知识点二　圆周运动的动力学分析 1．匀速圆周运动的动力学分析 (1)对于匀速圆周运动的物体，其所受合力提供向心力，即F合＝F向＝m＝mω2r＝m()2r。 (2)分析匀速圆周运动问题的基本步骤 ①明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 ②确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 ③找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 ④利用牛顿第二定律列方程。 ⑤解方程，求出待求物理量。 2．变速圆周运动的动力学分析 (1)物体受到的沿半径方向的合力提供向心力，产生向心加速度，改变速度的方向。 (2)物体受到的沿切线方向的合力产生切向加速度，改变速度的大小。 角度一　匀速圆周运动的动力学分析 (2023·重庆高一校联考期中)如图是某固定翼无人机在目标上空高度为h的水平面内盘旋，做匀速圆周运动，测得与目标的距离为s，无人机质量为m，巡航速度为v，所在地重力加速度为g。以下说法正确的是(　　) A．无人机做匀速圆周运动的周期为 B．无人机做匀速圆周运动过程中，竖直面内受重力、升力和向心力作用 C．无人机获得的升力大小等于mg D．机翼与水平面的夹角θ满足关系式tan θ＝ 答案：D 解析：由题意可得无人机做圆周运动的半径为r＝，则周期为T＝＝，故A错误；无人机做匀速圆周运动的过程中，竖直面内受重力、升力的作用，升力在竖直方向上的分力大小等于mg，在水平方向上的分力提供无人机所需的向心力，故B、C错误；机翼与水平面的夹角θ满足关系式F升cos θ＝mg，F升sin θ＝m，r＝，联立解得tan θ＝，故D正确。 几种常见的圆周运动模型 图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程 或mgtan θ＝mω2r 或mgtan θ＝mω2r 角度二　变速圆周运动的动力学分析 飞机在做俯冲拉起运动时，可以看成是在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若在最低点附近做半径为r＝240 m的圆周运动，飞行员的质量m＝60 kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝360 km/h，试计算： (1)此时飞机的向心加速度a的大小； (2)此时飞行员对座椅的压力N是多大。(g取10 m/s2) 答案：(1) m/s2　(2)3 100 N 解析：(1)v＝360 km/h＝100 m/s 则a＝＝m/s2＝ m/s2。 (2)对飞行员进行受力分析，则飞行员在最低点受重力和座椅的支持力N′，向心力由二力的合力提供，所以N′－mg＝ma 代入数据解得N′＝3 100 N 根据牛顿第三定律可知，飞行员对座椅的压力大小N＝N′＝3 100 N。 学生用书↓第42页 针对练1.(2023·重庆九龙坡高一统考期末)如图为“飞车走壁”杂技表演，杂技演员在近似竖直的“桶壁”内侧做水平面内半径为r的匀速圆周运动，摩托车与桶壁间的动摩擦因数为μ。若最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，要使摩托车不掉落，摩托车做圆周运动的角速度至少为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：要使摩托车不掉落，有mg＝μN，又N＝mω2r，联立解得ω＝，故选D。 针对练2.如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(NA、NB)的关系式正确的是(　　) A．vA>vB B．ωA>ωB C．aA>aB D．NA>NB 答案：A 解析：对小球受力分析如图所示，可得N＝，F＝，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到的支持力大小都相等，所以有NA＝NB，aA＝aB，故C、D错误；向心力大小相等，由向心力的公式F＝m可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由向心力的公式F＝mω2r可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误。 1．(鲁科版教材P80T1)某质点以恒定的角速度做匀速圆周运动，当轨道半径增大时(　　) A．周期增大 B．线速度增大 C．向心加速度减小 D．向心力减小 答案：B 解析：由圆周运动公式T＝、v＝ωr、a＝ω2r、F＝mω2r可知，当轨道半径增大时，周期不变，线速度增大，向心加速度增大，向心力增大，A、C、D错误，B正确。 2．(粤教版教材P48T5改编)如图所示，市场出售的苍蝇拍，拍柄长约30 cm。实际使用中，效果并不太理想，拍头打向苍蝇，尚未打到，苍蝇就飞了。有人尝试将拍柄增长到60 cm，结果一打一个准。其原因最有可能的是(　　) A．拍头线速度变大了 B．拍柄转动的角速度变小了 C．拍头的向心加速度变小了 D．拍头的向心力变小了 答案：A 解析：要想打到苍蝇，必须提高线速度，由于苍蝇拍的质量较小，故可以认为使用时角速度不变，根据v＝ωr可知，提高速度需要增加转动半径，故A正确，B错误；由a＝ω2r可知，向心加速度变大了，故C错误；由F＝mω2r可知，拍头的向心力变大了，故D错误。 3．如图为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比(　　) A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8 答案：D 解析：由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，故A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，故C错误，D正确；＝＝，故B错误。 4．(多选)(粤教版教材P49T6)双人花样滑冰表演时，女运动员有时会被男运动员拉着离开冰面在空中做水平面内的匀速圆周运动，如图所示。通过目测估计，男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°。重力加速度g＝10 m/s2，女运动员与其身上装备的总质量约为45 kg，据此可估算该女运动员(　　) A．受到的拉力约为450 N B．受到的拉力约为450 NC.向心加速度约为10 m/s2 D．向心加速度约为10 m/s2 答案：AC 解析：女运动员做圆锥摆运动，对女运动员受力分析可知，受到重力、男运动员对女运动员的拉力，竖直方向合力为零，有Fsin 45°＝mg，解得F＝mg＝450 N，故A正确，B错误；男运动员对女运动员的拉力在水平方向的分力提供向心力，有Fcos 45°＝ma向，解得a向＝g＝10 m/s2，故C正确，D错误。 课时测评9　向心加速度 (时间：30分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (选择题1－10题，每题5分，共50分) 1．大型游乐场中有一种叫“摩天轮”的娱乐设施，如图所示，坐在其中的游客随座舱的转动而做匀速圆周运动，以下关于游客及其运动的说法正确的是(　　) A．游客的向心加速度的作用是改变线速度的大小 B．游客的向心加速度越大，速率变化越快 C．匀速圆周运动是线速度大小不变、方向时刻改变的运动，故“匀速”是指速率不变 D．因为匀速圆周运动是匀速运动，故物体处于平衡状态 答案：C 解析：游客的向心加速度方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，A错误；向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量，游客的向心加速度越大，速度方向变化越快，B错误；匀速圆周运动是线速度大小不变、方向时刻改变的运动，故“匀速”是指速率不变，而不是速度不变，C正确；匀速圆周运动，速度时刻发生变化，加速度指向圆心，故物体所受的合外力不为零，D错误。 2．如图所示，风力发电机叶片上有M、N两点，其中M在叶片的端点，N在另一叶片的中点。当叶片匀速转动时，下列说法正确的是(　　) A．M点的线速度等于N点的线速度 B．M点的角速度大于N点的角速度 C．M点的向心加速度等于N点的向心加速度 D．M点的向心加速度大于N点的向心加速度 答案：D 解析：M、N两点属于同轴转动，故它们的角速度相等，但M、N两点的半径不同，则线速度不同，A、B错误；根据a＝ω2r，M点的转动半径大于N点的转动半径，可知M点的向心加速度大于N点的向心加速度，C错误，D正确。 3．(2023·成都七中高一校考期末)如图是一皮带传动装置的示意图，右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。则下列说法正确的是(　　) A．A、B两点的线速度之比为1∶2 B．A、C两点的角速度之比为1∶2 C．A、D两点的线速度之比为1∶2 D．A、C两点的向心加速度之比为1∶2 答案：C 解析：由题图可知，vA＝vC，ωB＝ωC，根据v＝ωr、a＝可知，A、C两点的角速度之比为ωA∶ωC＝rC∶rA＝2∶1，A、C两点的向心加速度之比为aA∶aC＝rC∶rA＝2∶1，B、C两点的线速度之比为vB∶vC＝rB∶rC＝1∶2，则A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝vC∶vB＝2∶1，故A、B、D错误；由v＝ωr可知，C、D两点的线速度之比为vC∶vD＝rC∶rD＝1∶2，则A、D两点的线速度之比为vA∶vD＝vC∶vD＝1∶2，故C正确。 4．(2023·威海高一检测)某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：三个轮相互不打滑，则甲、丙边缘的线速度大小相等，根据v＝ωr可得ω3＝ω，故a3＝ωr3＝，故A正确。 5．(2023·四川乐山高一统考期末)如图是中国航天员科研训练中心的载人离心机，该离心机臂长8 m。某次训练中质量为70 kg的航天员进入臂架末端的吊舱中呈仰卧姿态，航天员可视为质点，重力加速度g取10 m/s2。当离心机以恒定角速度3 rad/s在水平面内旋转时，下列说法正确的是(　　) A．航天员始终处于完全失重状态 B．航天员运动的线速度大小为24 m/s C．航天员做匀速圆周运动需要的向心加速度为8.2g D．座椅对航天员的作用力大小为5 040 N 答案：B 解析：航天员受重力和吊舱的作用力，不是完全失重状态，故A错误；航天员运动的线速度大小为v＝ωr＝3×8 m/s＝24 m/s，故B正确；航天员做匀速圆周运动需要的向心加速度为a＝ω2r＝32×8 m/s2＝72 m/s2＝7.2g，故C错误；座椅对航天员的作用力大小为F＝＝ N>5 040 N，故D错误。 6．(2023·长沙高一检测)如图所示，A、B为小区门口自动升降杆上的两点，A在杆的顶端，B在杆的中点处。杆从水平位置匀速转至竖直位置的过程，下列判断正确的是(　　) A．A、B两点线速度大小之比为1∶2 B．A、B两点角速度大小之比为1∶1 C．A、B两点向心加速度大小之比为1∶2 D．A、B两点向心加速度的方向不同 答案：B 解析：A、B两点在同一杆上，属于同轴转动，因此具有相同的角速度，故B正确；由v＝rω可知，A、B两点的ω一致，所以线速度大小之比等于半径之比，故A、B两点线速度大小之比为2∶1，故A错误；由a＝ω2r可知，向心加速度大小之比等于半径之比，故A、B两点向心加速度大小之比为2∶1，故C错误；因为A、B两点是同轴转动，所以A、B两点向心加速度的方向相同，故D错误。 7．(2023·四川绵阳高一统考期末)如图是甲、乙两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中甲是反比例函数图像的一个分支。由图可知(　　) A．甲、乙两物体的角速度都不变 B．甲、乙两物体的线速度大小都不变 C．甲物体的角速度不变，乙物体的线速度大小不变 D．甲物体的线速度大小不变，乙物体的角速度不变 答案：D 解析：甲的图像是反比例函数图像的一个分支，所以甲的a与r成反比，由向心加速度公式a＝可知，甲物体的线速度大小不变，由线速度与角速度的关系v＝ωr可知，甲物体的角速度是变化的，故A、C错误；乙的图像为正比例函数图像，其a与r成正比，由向心加速度公式a＝ω2r可知，乙物体的角速度保持不变，由线速度与角速度的关系v＝ωr，乙的线速度是变化的，故B错误，D正确。 8．(2023·江苏连云港高一校考阶段练习)如图所示，用不可伸长的轻绳一端拴着一个小金属球，另一端固定于O点，在O点正下方有一颗钉子P，把轻绳沿水平方向拉直，无初速度释放后，当轻绳碰到钉子的瞬间，下列说法中错误的是(　　) A．小球的角速度突然增大 B．小球的线速度突然增大 C．小球的向心加速度突然增大 D．小球的向心力突然增大 答案：B 解析：轻绳碰到钉子的瞬间，小球的线速度不发生改变，半径减小，由v＝ωr可知，小球的角速度增大，A正确，B错误；由a＝可知，半径减小，小球的向心加速度增大，C正确；由F＝可知，小球的向心力增大，D正确。 9．(2023·四川高一统考期末)在科创活动中，夏明同学展示出如图所示的作品，将一个光滑塑料小球置于内壁光滑的玻璃漏斗形器皿中，快速晃动器皿后，小球会滑动很多很多圈之后才从中间的小孔落下去。如果小球在不同位置的运动都简化成只有水平面内的匀速圆周运动，摩擦阻力忽略不计，则小球在P、Q两点做匀速圆周运动中(　　) A．做匀速圆周运动的圆心均为O点 B．做匀速圆周运动的向心力相等 C．受到轨道支持力的竖直分量相同 D．做匀速圆周运动的角速度大小ωP>ωQ 答案：C 解析：在P、Q两处做圆周运动的圆心在各自的水平面上，故A错误；设在小球位置所在弧的切线与水平方向的夹角为θ，小球受到重力和支持力，重力和支持力的合力提供向心力，由几何知识可得，向心力大小为F＝mgtan θ，由题图可知θQ>θP，则P、Q两处向心力不相等，即FP<FQ，故B错误；小球在P、Q两点受到轨道支持力的竖直分量与重力相等，所以受到轨道支持力的竖直分量相同，故C正确；根据F＝mω2r可知，角速度大小ωP<ωQ，故D错误。 10．(多选)如图所示，双手端着半球形的玻璃碗，碗内放有三个相同的小玻璃球。双手晃动玻璃碗，当碗静止后碗口在同一水平面内，三小球沿碗的内壁在不同的水平面内做匀速圆周运动。不考虑摩擦作用，下列说法中正确的是(　　) A．三个小球受到的合力大小相等 B．距碗口最近的小球线速度的值最大 C．距碗底最近的小球向心加速度的值最小 D．处于中间位置的小球的周期最小 答案：BC 解析：设半球形碗的半径为R，小球与半球形碗口的圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，小球受到的重力和支持力的合力提供小球做圆周运动的向心力，则F合＝mgtan θ，由于θ不同，故三个小球受到的合力大小不同，选项A错误；由牛顿第二定律得mgtan θ＝m＝ma＝m，解得v＝，a＝gtan θ，T＝2π，θ越大，小球的线速度、加速度越大，周期越小，故距碗口最近的小球线速度最大、周期最小，距碗底最近的小球向心加速度的值最小，选项B、C正确，D错误。 11．(10分)如图所示，A、B、C分别是地球表面上北纬30°、南纬60°和赤道上的点。若已知地球半径为R，自转的角速度为ω0，求： (1)A、B两点的线速度大小。 (2)A、B、C三点的向心加速度大小之比。 答案：(1)ω0R　ω0R　(2)∶1∶2 解析：(1)A、B两点做圆周运动的半径分别为RA＝Rcos 30°＝R，RB＝Rcos 60°＝R 所以A、B两点的线速度大小分别为vA＝ω0RA＝ω0R，vB＝ω0RB＝ω0R。 (2)A、B、C三点的向心加速度大小分别为 aA＝ωRA＝ωR，aB＝ωRB＝ωR，aC＝ωR，所以aA∶aB∶aC＝∶1∶2。 学生用书↓第43页 学科网（北京）股份有限公司 $$