期末拓展：第八单元数学广角——数与形 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角——数与形 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【算术中的规律知识点归纳】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1＝1； 11×11＝121； 111×111＝12321； 1111×1111＝1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11＝1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101＝5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法． 一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上． 如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960． 这种情况可以概括为“添0补半” 一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000． 如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000． 【数列中的规律知识点归纳】 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 【“式”的规律知识点归纳】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【数与形结合的规律知识点归纳】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【列方程解应用题（两步需要逆思考）知识点归纳】 列方程解应用题的步骤： ①弄清题意，确定未知数，并用x表示． ②找出题中数量之间的相等关系． ③列方程，解方程． ④检查或验算，写出答案． 列方程解应用题的方法： ①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知． ②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知． 【长方体和正方体的表面积知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【长方体和正方体的体积知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第三部分 典型例题 例题1：观察下面图形的规律，并画一画，填一填。 总结规律：由此可以得出第六个图形一共由（    ）个小三角形组成。 【答案】作图如下；21 【分析】观察可知，第一个图形小三角形个数是（1＋2＋3），第二个图形小三角形个数是（2＋3＋4），第三个图形小三角形个数是（3＋4＋5），由此可知，每个图形都有3行，第几个图形最上边1行就有几个小三角形，下边依次多1个小三角形，因此第六个图形应该是（6＋7＋8）个小三角形，据此画图并填空。 【详解】 6＋7＋8＝21（个） 由此可以得出第六个图形一共由21个小三角形组成。 例题2：下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。 （1）找规律画出图形⑤。 （2）根据前面的图形把表格补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/ 0.25 0.75 1.5 （  ） （  ） 周长/cm 2 4 6 （  ） （  ） 【答案】（1）见详解 （2）面积：2.5、3.75。 周长：8、10。 【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形⋯⋯所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形； （2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。 【详解】（1）图形⑤如图所示： （2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米） 周长是：0.5×4×4＝8（厘米） 第⑤图形的面积为： 0.5×0.5×15 ＝0.25×15 ＝3.75（平方厘米） 0.5×5×4 ＝2.5×4 ＝10（厘米） 【点睛】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。 例题3：聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （__________＋__________）×（___________－_________） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ （3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 【答案】（1）15；5；15；5 （2）见详解 （3）141.3平方厘米 【分析】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。 （2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2－b2”来计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。 （3）从图中可以看出，扇环的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积，扇形是的圆，扇形的面积＝πr2，再结合第（1）题的规律，求出扇环的面积。 【详解】（1） （2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，如右图；这样阴影部分转化成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积公式，所以阴影部分的面积为：（a＋b）×（a－b）。 （3）×3.14×14.52－×3.14×5.52 ＝×3.14×（14.52－5.52） ＝×3.14×（14.5＋5.5）×（14.5－5.5） ＝×3.14×20×9 ＝3.14×45 ＝141.3（平方厘米） 【点睛】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。 第四部分 高频真题 1．有A、B、C、D、E五位小朋友相聚在一起，互相握手致意，已知B握了4次手，A握了3次手，C握了2次手，D握了1次手。你知道E握了几次手吗？ 2．用同样长的小棒摆正方形，如图： （1）填一填。（每空1分，共2分） 正方形个数 1 2 3 4 5 … 小棒根数 1＋3×1 1＋3×2 1＋3×3 … （2）这样摆7个正方形，需要多少根小棒？ （3）现有31根小棒，能摆多少个这样的正方形？ 3．摆一个六边形要用6根小棒，连摆两个六边形要用11根小棒，连摆三个六边形要用16根小棒……照这样摆下去． (1)连续摆n个三角形，要用多少根小棒？ (2)当n=100时，需要多少根小棒？ (3)如果有101根小棒，可以连摆多少个这样的六边形？ 4．甲乙两人从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，AB两地之间的距离是18（千米），甲在走到0.5小时时休息了半小时，继续前行到达B地．乙晚出发半小时，直接汽车到达B地．下面那个是描述甲的，哪个是描述乙的？为什么？ 5．观察下面图中的点群，请回答： 方框内的点群包含多少个点？推测第10个点群中包含多少个点？前10个点群中，所有点的总数是多少？ 6．先画出第5个图形并填空。再想后面的第10个方框里有（    ）个点，第51个方框里有（    ）个点。 1       1＋4   1＋4×2  1＋4×3  （     ） 7．摆桌椅． （1）1张桌子可以坐8人(如上图)，那么4张桌子可以坐多少人？ （2）如果像上面这样继续摆桌椅，分别可以坐多少人呢？ 桌子张数 1 2 3 4 5 … n 坐的人数 8 12 16 … 8．用边长为1厘米的小正方形拼长方形，如下图，图1的周长是4，图2的周长是6，图3的周长是8。 （1）你发现第几幅图和周长之间有什么关系吗？把你的发现写出来。 （2）你的发现对吗？请画出图4和图5验证一下。 （3）按照上面的规律，图20的图形周长是多少？请把你的思考过程写出来。 9．在数图形中包含的长方形个数时，可以用下面的方法快速算出图中的长方形个数。例如： 1 2 3 2 （1＋2＋3）×（1＋2）＝18（个） 照样子算一算，下图中共有多少个长方形（包含正方形）？    10．下图是杨辉三角，是以我国南宋数学家杨辉的名字来命名的，杨辉在其著作中对杨辉三角的详解比欧洲帕斯卡三角要早393年．请你找出规律，再写出一行数字． 11．请将1～8填入图中的8个方格内，使得a、b、c、d四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中b填7。 12．有三堆围棋子，每堆有60枚，第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有10枚白子。这三堆棋子中，白子比黑子少多少枚？ 13．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 14．填数游戏：在4×4的方格中，按1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1的顺序依次填入左右或上下相邻的十六个格子内（不能斜向填入另一格），每个格子只能填一个数字。图（1）是按要求填写的（图中箭头表示填写顺序），请你完成另外四个图。 15．如下图，每两块正方形瓷砖中间贴一块长方形彩砖。像这样一共贴了50块长方形彩砖，那么正方形瓷砖有多少块？（第一块和最后一块都是正方形瓷砖）。 16．一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？ 17．如下图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？ 18．先分析，再解答。 （1）观察规律，将里的数补充完整。 （2）第6行的第一个数是（    ），最后一个数是（    ）。 （3）你能写出第n行的第一个数与最后一个数分别是多少吗？ 19．在8×8的表格中可以数出多少如图所示的“凸”字形图形？（“凸”字形图形可旋转） 20．下图是由火柴棒摆成的图形，第n个图形是由n个正方形组成。请思考下列问题。 （1）像这样摆下去，第n个图形中有（    ）根火柴棒。 （2）当时，用第（1）题的式子计算出摆21个正方形需要的火柴棒数。 21．从甲城到乙城共1200千米，一辆汽车从甲城出发，每小时行75千米，行了6小时，共行驶了多少千米？距乙城还有多少千米？ 22．下列图形共用小棒61根，按照下面的规律排列。 一共拼成了多少个连续正方形？ 23．想一想，画一画，这样的4张桌子连在一起共可以坐多少人？n张呢？ 24．将小正方体按下图方式摆放在地上。 小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 露在外面的面数 如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个正方体如上图摆放？ 25．照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？ 32－1＝8          42－22＝12       52－32＝16 26．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把数与形联系在一起，下图是用形来表示数，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9。 (1)按这个规律排下去，第5幅图的点数是( )。 (2)第20幅图的点数是( )。 (3)第幅图的点数是( )。 27．观察下面的点子图，找一找有什么规律，请在后一个方格中继续画，并在方格下的横线上填出算式。 28．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。    29．如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些同样大小的圆。 （1）请观察上图并填写下表。 图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） 圆的个数 （2）你能试着表示出第n个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第18个图形中有多少个圆。 30．有一座四层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上红色和白色，每个窗户代表一个数字，每层楼有三个窗户，由左向右表示一个三位数，四个楼层表示的三位数有：791、275、362、612。问：第二层楼表示哪个三位数？ 31．如图，有6个边长是1的小正方形，上面的正方形的一个顶点恰好是下一个正方形的中心，上面正方形的中心的下面恰好是下面正方形的一个顶点． (1)6个这样的图形最后所形成的多边形的周长是多少？ (2)如果一共有20个这样的正方形按上述方法叠在一起，最后形成的多边形的周长是多少？ 32．观察思考并计算。 (1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。         ( )    ( ) (2)根据上面的规律用简便方法计算。 ( )×( )＝( )。 参考答案： 1．2次 【分析】由于有A、B、C、D、E五个朋友相聚在一起，互相握手致意，则每人都需要与其他人各握手一次，即每人需握手4次，由于根据每人握手的次数分析即可。 【详解】B握了4次手，即分别与ACDE各握了一次，由于D握了1次手，已和A握过，A握了3次手，则A是与BCE握的，此时C握了2次手，所以此时E也握了两次，即是与A、B握的。 答：E握了两次手。 【点睛】明确每人最多握手4次，然后根据每人握手的次数分析是完成此类题目的关键。 2．（1）见详解 （2）22根 （3）10个 【分析】观察图形分析表格，找出第n个图形小棒的根数＝1＋3n，根据规律代入求值即可解答。 【详解】（1） 正方形个数 1 2 3 4 5 … 小棒根数 1＋3×1 1＋3×2 1＋3×3 13 16 … 4个正方形小棒根数：1＋3×4＝13（根） 5个正方形小棒根数：1＋3×5＝16（根） （2）1＋3×7＝22（根） 答：摆7个正方形，需要22根小棒。 （3）解：设31根小棒，能摆n个这样的正方形。 1＋3n＝31 3n＝31－1 3n＝30 n＝30÷3 n＝10 答：31根小棒，能摆10个这样的正方形。 【点睛】分析图形和表格找到小棒和图形个数的关系是解答本题的关键。 3．(1)(5n+1)根    (2)501根    (3)20个 【详解】(1)(5n+1)根 (2)n=100时，5n+1=5×100+1=501(根) (3)5n+1=101     5n=100     n=20    即可以连摆20个这样的六边形． 4．第一幅图是甲的，第二幅图是乙的 由题意可知，甲直接出发，且走了0.5小时时休息半小时，所以第一幅图符合题意．乙晚半小时出发，且中间没有休息，所以第二幅图符合图意． 【详解】略 5．25个；100个；385个 【分析】观察前4幅图，发现其排列规律为自然数的平方数，故第5幅图包含25个点；第10幅图包含100个点；再把前10幅图的点累计起来，就是所有点的总数。 【详解】5×5＝25（个）； 10×10＝100（个）； 1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81＋100 ＝285＋100 ＝385（个） 答：所有点的总数为385个。 【点睛】学习了平方的知识点之后，对于这样呈现的图形就不陌生了，所以本题关键是解读点的排列规律。 6．37；201；1＋4×4 【分析】由图可知，相邻的后一个图形比前一个图形多4个点，则第5个图形比第4个图形多4个点，第5个图形有1＋4×4个点；第n个图形有1＋4×（n－1）个点，根据公式求出第10个方框和第51个方框里点的数量即可。 【详解】 分析可知，第n个图形里1＋4×（n－1）＝4n－3个点 当n＝10时，4n－3＝4×10－3＝40－3＝37（个） 当n＝51时，4n－3＝4×51－3＝204－3＝201（个） 【点睛】分析题意找出图形变化的规律，并用含有字母的式子表示出第n个图形的点数是解答题目的关键。 7．（1）20人　（2） 20　24　4(n＋1) 8．（1）第几幅图加1的和再乘2是它的周长。 （2）对； （3）42厘米 【详解】（1）第几幅图加1的和再乘2是它的周长。 （2 （3）图20是第20幅图，所以周长是 （20＋1）× 2 ＝21×2 ＝42（厘米） 答：周长是42厘米。 9．100个（图见详解） 【分析】根据题意可知，把第一排从左往右每个小长方形按顺序填数，从1开始，后面的数每次增加1；同样把第一列从上往下每个小长方形（或正方形）按顺序填数，从1开始，后面的数每次增加1；然后分别把第一排和第一列上的数相加，再把相加的和相乘，所得的积就是图中的长方形（包含正方形）的个数。 【详解】    （1＋2＋3＋4）×（1＋2＋3＋4） ＝10×10 ＝100（个） 答：图中共有100个长方形（包含正方形）。 【点睛】分析清楚例子中数长方形个数的规律是解答本题的关键。 10．1，6，15，20，15，6，1 11． 【分析】7只能是由8减去1得到的，由于a也是两数相减得到的，所以a不能是8，只能是1，可以确定7、1、8三个数的位置，其中c+d=7，并且只能是4+3、3+4、5+2、2+5这四种情况，进行分类讨论，求出最后的结果。 【详解】 当c取3时，4被重复使用，故排除； 当c取4时，6减2不等于1，故排除； 当c取2时，6减4不等于1，故排除； 当c取5时，符合要求，且3和4可以调换位置。 【点睛】对于这种特殊的数阵图问题，当情况比较多的时候，可进行分类讨论，有矛盾就排除，找出答案。 12．40枚 【分析】由题可得：第一堆黑子＋第一堆白子＝60枚，第二堆黑子＋第二堆白子＝60枚，因为第一堆黑子与第二堆的白子同样多，所以第二堆的白子＋第一堆白子＝60枚，第一堆黑子＋第二堆黑子＝60枚，因此可知第一二堆的黑子数量和等于第一二堆的的白子数量和。在第三堆中可求出白子比黑子少多少枚，就是这三堆棋子中白子比黑子少多少枚。第三堆有10枚白子，即黑子有：60－10＝50（枚），最后用黑子数减去白子数，即可求出白子比黑子少多少枚，据此解答。 【详解】60－10＝50（枚） 50－10＝40（枚） 答：这三堆棋子中，白子比黑子少40枚。 13．77个；第50个图形 【分析】观察图形可知，第①个图形有4×1－3＝4－3＝1个三角形，第②个图形有4×2－3＝8－3＝5个小三角形，第③个图形有4×3－3＝12－3＝9个小三角形，……，则第n个图形有4×n－3＝4n－3个三角形，据此规律进行解答即可。 【详解】第n个图形有三角形：4×n－3＝4n－3（个） 当n＝20时，4n－3＝4×20－3＝80－3＝77 当4n－3＝197，则： 4n－3＋3＝197＋3 4n＝200 4n÷4＝200÷4 n＝50 答：第20个图形有77个三角形，第50个图形里有197个三角形。 14．见详解 【分析】根据数字的排列顺序填数，和1相邻的数是2，和3相邻的数是2、4，和5相邻的数是4、6，据此进行填数即可。 【详解】图中的线表示填写顺序。（答案不唯一） 15．51块 【分析】由题意可得：正方形瓷砖和长方形彩砖间隔排列，且第一块和最后一块都是正方形瓷砖．所以这组瓷砖的排列规律是正方形瓷砖的块数比长方形彩砖的块数多1，据此即可解答。 【详解】由分析得， 50＋1＝51（块） 答：那么正方形瓷砖有51块。 【点睛】本题考查了事物的间隔排列规律，解答此类问题的关键明确彩砖的排列规律。 16．解：（I）n=1时，可坐4人，可以写成2×1+2 n=2时，可坐6人，可以写成2×2+2 n=3时，可坐8人，可以写成2×3=2 … 所以当n=10时，可坐2×10+2=22人 答：10张桌子并成一排可坐22人． （II）2n+2=26 2n=24 n=12 答：如果有26人，需要12张桌子． 【详解】【分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人．由此规律即可解决问题．主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 17．37.5cm 【分析】先求出上边1层高度，杯子叠起来的高度＝1个杯子高度＋1层高度×（杯子数量－1），据此分析。 【详解】（25－15）÷（5－1） ＝10÷4 ＝2.5（厘米） 15＋2.5×（10－1） ＝15＋2.5×9 ＝15＋22.5 ＝37.5（厘米） 答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 18．（1）9；18；27；36；45； （2）11；66； （3）2n－1；2n2－n 【分析】（1）1＋2＝3，3＋2＝5，5＋2＝7，所以第5行的第一个数等于7＋2，然后用第一个数分别乘2、3、4、5，即可求出这一行剩余的四个数，把数补充到图形中即可。 （2）同样，第5行的第一个数9加上2，等于第6行的第一个数，再用第6行的第一个数乘6，即可求出这一行的最后一个数。 （3）这个图形从上往下每行的第一个数依次加2，每行的数规律是从左向右为这一行第一个数分别乘2，乘3，乘3⋯⋯，第一行第1个数是1，第二行第1个数是1＋2，第三行第1个数是1＋2×2，依次类推，第n行的第一个数是1＋2×（n－1），第n行有n个数，最后一个数用第一个数乘n，即可得解。 【详解】（1）7＋2＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 如图： （2）9＋2＝11 11×6＝66 即第6行的第一个数是11，最后一个数是66。 （3）根据分析得，第n行的第一个数是： 1＋2×（n－1） ＝1＋2n－2 ＝2n－1 （2n－1）×n ＝2n2－n 答：第n行的第一个数是2n－1，最后一个数是2n2－n。 【点睛】此题的解题关键是找出横排和竖排中数字排列的规律，平时要注重多积累，培养数感。 19．168个 【分析】如图，在每一个2×3的长方形里面，都可以找到两个目标图形，所以数出2×3的长方形个数，乘2得到目标图形的个数。 【详解】如图所示： 每2行可以数出6个2×3的长方形，每两列也可以数出6个2×3的长方形； （个） （个） 答：可以数出168个如图所示的“凸”字形图形。 【点睛】本题考查的是图形计数问题，可以将数目标图形转化成比较容易数的长方形。 20．（1） （2）64根 【分析】（1）摆一个图形需要4根火柴棒，可以写成3×1＋1；摆2个图形需要7根火柴棒，可以写成3×2＋1；摆三个图形需要10根火柴棒，可以写成3×3＋1…；由此可以推理得出一般规律解答问题； （2）当n＝21时，代入算式，求出需要火柴棒的数量。 【详解】（1）根据分析可知，摆一个图形需要火柴棒的数量：（3×1＋1）根 摆二个图形需要火柴棒的数量：（3×2＋1）根 摆三个图形需要火柴棒的数量：（3×3＋1）根 由此可知摆n图形需要火柴棒的数量：（3n＋1）根 （2）当n＝21时 3×21＋1 ＝63＋1 ＝64（根） 答：摆21个正方形需要64个火柴棒。 【点睛】根据题干中已知图形排列特点以及数量关系，推理得出一般结论进行解答是此类问题的关键。 21．450千米；750千米 【分析】根据速度×时间＝路程，用汽车每小时行驶的距离乘行驶时间，计算出汽车一共行驶了多少千米，再用甲城到乙城相距的路程减去行驶了的路程，即可算出距离乙城还有多少千米。据此解答。 【详解】75×6＝450（千米） 1200－450＝750（千米） 答：共行驶了450千米，距乙城还有750千米。 22．20个 【分析】观察发现1个正方形由3根小棒和1根小棒组成，2个正方形由两组3根小棒和1根小棒组成，3个正方形由三组3根小棒和1根小棒组成……，以此类推；小棒的数量和正方形的个数之间有以下关系：3×正方形的个数＋1＝小棒的数量，所以当小棒有61根，求正方形的个数，先用61减去1计算出有多少组这样的3根小棒，再除以3即可；据此解答。 【详解】（61－1）÷3 ＝60÷3 ＝20（个） 答：一共拼成了20个连续正方形。 23．20人；（4n＋4）人 【分析】根据所给的图，正确数出即可，在数的过程中，能够发现一张桌子能坐8个人，两张桌子能坐12个人多一张桌子就多4个人，根据这一规律，用字母表示为：4n＋4；然后代入数字求解即可。 【详解】由分析可知： 4×4＋4 ＝16＋4 ＝20（人）， n张桌子可以坐（4n＋4）人。 答：这样的4张桌子连在一起共可以坐20人，n张桌子可以坐（4n＋4）人。 【点睛】此题主要考查了图形的变化，解题关键是分析题干得出规律，有一个桌时可坐8个人，以后每增加一个桌可增加4个人，根据此规律进行解答。 24．表格见详解；201个；32个 【分析】由题意可知，有1个小正方体露在外面的面数有5面，2个小正方体露在外面的面数有9个，3个小正方体露在外面的面数有13个，则有n个正方体，则露在外面的面有（4n＋1）个，据此解答即可。 【详解】当n＝4时 4n＋1＝4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 当n＝5时 4n＋1＝4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（个） 当n＝6时 4n＋1＝4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（个） 当n＝50时 4n＋1＝4×50＋1 ＝200＋1 ＝201（个） 解：设如果露在外面的面是129个，那是有x个正方体如上图摆放。 4n＋1＝129 4n＋1－1＝129－1 4n＝128 4n÷4＝128÷4 n＝32 则如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有201个，如果露在外面的面是129个，那是有32个正方体如上图摆放。 如图所示： 小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 露在外面的面数 5 9 13 17 21 25 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 25．24个；36个 【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。 【详解】（5＋2）2－52 ＝72－52 ＝49－25 ＝24（个） （8＋2）2－82 ＝102－82 ＝100－64 ＝36（个） 答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。 【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。 26．(1)17 (2)77 (3)4n－3 【分析】（1）（2）（3）通过观察图，发现规律： 第1幅图的点数为1＋0×4＝1＋0＝1 第2幅图的点数为1＋1×4＝1＋4＝5 第3幅图的点数为1＋2×4＝1＋8＝9 第4幅图的点数为1＋3×4＝1＋12＝13 …… 第n幅图的点数为：1＋（n－1）×4＝1＋4n－4＝4n－3 通过发现的规律，算出第5幅图和第20幅图的点数是多少，据此解答。 【详解】（1）4×5－3＝20－3＝17（个） 按这个规律排下去，第5幅图的点数是17。 （2）4×20－3＝80－3＝77（个） 第20幅图的点数是77。 （3）由分析得：第幅图的点数是4n－3。 27．见详解 【分析】观察点子图，发现第三幅图上下两行各两个点，中间一个点，第四幅图上下两行各三个点，中间一个点。那么推出第五幅图上下两行各四个点，中间一个点。观察算式，算式中的乘法从1×2到2×2，再到3×2，那么可推出下个算式为（1＋4×2）。据此解题。 【详解】如图： 【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。 28．见详解 【分析】观察“杨辉三角”，发现下层中间的数等于上层相邻两个数的和，据此规律解答。 【详解】我发现“杨辉三角”图中各数之间的关系：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两条腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和。 按照发现的规律把这个三角形图继续写下去：    【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 29．（1）1；4；9；16；25；36        （2）n2；324个 【分析】（1）通过观察图，可以发现圆的个数依次增加。得出规律如下 图（1）中圆的个数：1＝1×1＝1²； 图（2）中圆的个数：4＝2×2＝2²； 图（3）中圆的个数：9＝3×3＝3²； …… 图（n）中圆的个数：n×n＝n²。 因此可得： 图（4）中圆的个数：4²＝16； 图（5）中圆的个数：5²＝25； 图（6）中圆的个数：6²＝36； （2）由（1）可得，第n个正方形中圆的个数是n²，通过发现的规律计算出第18个图形中有18²个圆，据此解答。 【详解】（1）填表如下： 图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） 圆的个数 1 4 9 16 25 36 （2）n×n＝n² 18²＝18×18＝324（个） 答：第n个正方形中圆的个数是n²，第18个图形中有324个圆。 30．612 【分析】给出的四个数中362和612的个位数字相同，第二和第四层右边窗户符号也相同，可以肯定这两层分别代表362和612。这两个数中又有数字6是一样的，对照第二层和第四层的窗户，可以确定第二层代表612。 【详解】第二层代表612，因为362和612的个位数字相同，又有数字6是一样的，对照第二层和第四层的窗户，所以第二层代表612。 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是根据数字的特征找到图形规律。 31．(1) 14 (2) 42 【详解】(1) 3×2+2×(6-2)=14    (2) 3×2+2×(20-2)=42 32．(1) 4 5 (2) 10 11 110 【分析】（1）通过观察图形中小正方形的排列规律，发现了连续偶数相加的求和规律。 4 5 发现了连续偶数相加的求和规律：从2开始的连续n个偶数相加，其和为n×（n＋1） （2）在中，一共有10个偶数相加，然后运用发现的这个规律来计算即可。 【详解】（1）4，5 （2） ＝10×（10＋1） ＝10×11 ＝110 学科网（北京）股份有限公司 $$