第二十一讲　圆的认识 2025年中考数学人教版一轮复习专题练习（广西专版）

第二十一讲　圆的认识 A层·基础过关 1.(2024·连云港)如图,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.倾斜直线　 B.抛物线 C.圆弧　 D.水平直线 2.(2024·云南)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=(B) A.9°　 B.18°　 C.36°　 D.45° 3.(2024·赤峰)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB,连接CD,交OB于点E,∠BOC=42°,则∠OED的度数是(B) A.61°　 B.63°　 C.65°　 D.67° 4.如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2024·盐城)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=40°,连接OA,OB,则∠OAB=　50　°.  6.(2024·青海)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠A=50°,则∠BCD的度数是　130°　.  7.(2024·安徽)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE. (1)求证:CD⊥AB; 【解析】(1)∵FA=FE, ∴∠FAE=∠AEF, ∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角, ∴∠FAE=∠BCE, ∵∠AEF=∠CEB, ∴∠CEB=∠BCE, ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE ∵AB是直径,∴∠ACB=90°, ∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°,∴∠CDE=90°, ∴CD⊥AB; (2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长. 【解析】(2)由(1)知,∠BEC=∠BCE, ∴BE=BC, ∵AF=EF,FM⊥AB, ∴MA=ME=2,AE=4, ∴OA=OB=AE-OE=3, ∴BC=BE=OB-OE=2, 在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°, ∴AC===4. B层·能力提升 8.(2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是(C) A.点P在☉O上　 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外　 D.无法确定 9.陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为(A) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 10.(2024·眉山)如图,△ABC内接于☉O,点O在AB上,AD平分∠BAC交☉O于点D,连接BD.若AB=10,BD=2,则BC的长为　8　.  11.(2024·江西)如图,AB是☉O的直径,AB=2,点C在线段AB上运动,过点C的弦DE⊥AB,将沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时,线段FB的长为　2-或2+或2　.  12.(2024·新疆)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,=. (1)求证:△ACD∽△ECB; 【解析】(1)∵=, ∴∠ACD=∠BCE, ∵∠ADC=∠EBC, ∴△ACD∽△ECB; (2)若AC=3,BC=1,求CE的长. 【解析】(2)过点B作BH⊥CD于点H,如图, ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△ACB中,AB===, ∵∠ACD=∠BCD=45°, ∴∠ABD=∠BAD=45°, ∴△ABD为等腰直角三角形, ∴BD=AB=×=, 在Rt△BCH中, ∵∠BCH=45°, ∴CH=BH=BC=, 在Rt△BDH中,DH===, ∴CD=CH+DH=+=2, ∵△ACD∽△ECB, ∴CA∶CE=CD∶CB,即3∶CE=2∶1, 解得CE=, 即CE的长为. C层·挑战冲A+ 13.(2024·陕西)问题提出 (1)如图1,在△ABC中,AB=15,∠C=30°,作△ABC的外接圆☉O,则的长为　　　　　;(结果保留π)  问题解决 (2)如图2所示,道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC和BC为观测步道,其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上,且AE=EC,∠DAB=60°,∠ABC=120°,AB=1 200 m,AD=BC=900 m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使∠DPC=60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并修建三条新步道PF,PD,PC,使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分. 请问:是否存在满足要求的点P和点F?若存在,求此时PF的长;若不存在,请说明理由.(点A,B,C,P,D在同一平面内,道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计,结果保留根号) 【解析】(1)连接OA,OB,如图, ∵∠C=30°,∴∠AOB=60°, ∵OA=OB,∴△OAB为等边三角形, ∵AB=15,∴OA=OB=15, ∴的长为=25π; 答案:25π (2)存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为(300+1 200)m.理由如下: ∵∠DAB=60°,∠ABC=120°, ∴∠DAB+∠ABC=180°,∴AD∥BC, ∵AD=BC=900 m, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵要在湿地上修建一个新观测点P,使∠DPC=60°,∴点P在以O为圆心,CD为弦,圆心角为120°的圆上,如图, ∵AE=EC, ∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积, ∵新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分, ∴直线PF必经过CD的中点M, ∴ME是△CAD的中位线, ∴ME∥AD, ∵MF∥AD,DM∥AF, ∴四边形AFMD是平行四边形, ∴FM=AD=900 m, 作CN⊥PF于点N,如图, ∵四边形AFMD是平行四边形,∠DAB=60°, ∴∠PMC=∠DMF=∠DAB=60°, ∵CM=CD=AB=600 m, ∴MN=CM·cos 60°=300 m, CN=CM·sin 60°=300 m, ∵∠PMC=∠DPC=60°,∠PCM=∠DCP, ∴△PMC∽△DPC, ∴=,即=, ∴PC2=720 000, 在Rt△PCN中,PN== =300(m), ∴PF=300+300+900=(300+1 200)m, ∴存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为(300+1 200)m. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一讲　圆的认识 A层·基础过关 1.(2024·连云港)如图,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.倾斜直线　 B.抛物线 C.圆弧　 D.水平直线 2.(2024·云南)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=( ) A.9°　 B.18°　 C.36°　 D.45° 3.(2024·赤峰)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB,连接CD,交OB于点E,∠BOC=42°,则∠OED的度数是( ) A.61°　 B.63°　 C.65°　 D.67° 4.如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2024·盐城)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=40°,连接OA,OB,则∠OAB= °.  6.(2024·青海)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠A=50°,则∠BCD的度数是 .  7.(2024·安徽)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE. (1)求证:CD⊥AB; (2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长. B层·能力提升 8.(2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是( ) A.点P在☉O上　 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外　 D.无法确定 9.陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 10.(2024·眉山)如图,△ABC内接于☉O,点O在AB上,AD平分∠BAC交☉O于点D,连接BD.若AB=10,BD=2,则BC的长为 .  11.(2024·江西)如图,AB是☉O的直径,AB=2,点C在线段AB上运动,过点C的弦DE⊥AB,将沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时,线段FB的长为 .  12.(2024·新疆)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,=. (1)求证:△ACD∽△ECB; (2)若AC=3,BC=1,求CE的长. C层·挑战冲A+ 13.(2024·陕西)问题提出 (1)如图1,在△ABC中,AB=15,∠C=30°,作△ABC的外接圆☉O,则的长为 ;(结果保留π)  问题解决 (2)如图2所示,道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC和BC为观测步道,其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上,且AE=EC,∠DAB=60°,∠ABC=120°,AB=1 200 m,AD=BC=900 m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使∠DPC=60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并修建三条新步道PF,PD,PC,使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分. 请问:是否存在满足要求的点P和点F?若存在,求此时PF的长;若不存在,请说明理由.(点A,B,C,P,D在同一平面内,道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计,结果保留根号) 学科网（北京）股份有限公司 $$