2025年四川省聚焦中考数学·必备考点透析课件-第4章　三角形4.1　线段、角、相交线与平行线

4.1　线段、角、相交线与平行线 数 学 第四章　三角形 聚焦新中考·必备考点透析 2025 目录 1 知识概览·主题构建 紧贴课标·考点过关 2 聚焦题型·重难突破 3 四川中考真题精练 4 　知识概览·主题构建　 返回目录 　紧贴课标·考点过关　 1. 直　线 直线的基本事实：经过两点有且只有① 直线.简述为：两点确定 ② 直线. 一条　 一条　 返回目录 2. 线　段 （1）线段的基本事实：两点之间，③ 最短. （2）线段的和差： 如上图，在线段AC上取一点B，则有AC＝AB④ BC；AB＝AC ⑤ BC；BC＝AC ⑥ AB. 线段　 ＋　 －　 －　 易错提示：线段是一个几何图形，而线段的长度是一个数值，二者是有 区别的，不能混为一谈. 返回目录 3. 线段中点和等分点 名称 图示 关系式 点M是线段AB的中点 AM＝BM＝ AB 点M、N是线段AB的三等分点 AM＝MN＝BN＝ AB 4. 两点之间的距离 定义：连接两点之间的⑦ 的长度，叫作这两点之间的距离. 线段　 返回目录 1. 角的定义及表示 角的 定义 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 定义2：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形叫作角 角的 表示 返回目录 易错提示：当几个角的顶点相同时，不能使用一个大写字母表示其中的 角，因为这样会指代不明，造成混淆. 返回目录 2. 角的分类与换算 （1）角的分类： 锐角：小于90°的角.　　　　直角：等于90°的角.　　　　钝角：大 于90°小于180°的角. 平角：等于180°的角. 周角：等于360°的角. （2）度、分、秒的换算：1°＝⑧ ，1'＝⑨ ⁠. 60'　 60 '' 　 返回目录 3. 角的平分线及相关定理 （1）角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完 全相同的角，这条射线叫作这个角的平分线.反过来，如图1，如果射线 OC平分∠AOB，那么可得∠AOC＝∠BOC. 返回目录 （2）角平分线定理：角平分线上的点，到这个角的两边的距离⑩ ⁠. 如图2，如果射线OC平分∠AOB，点M在射线OC上，ME⊥OA，MF⊥OB，垂足分别为E、F，那么可得ME⑪ MF. 相等 ＝　 （3）角平分线定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，都在 ⑫ 上.如图3，∠AOB内部有一点M，且ME⊥OA， MF⊥OB，垂足分别为E、F，ME＝MF，那么可得∠AOC ⑬ ∠BOC，即OC平分∠AOB. 角的平分线　 ＝　 返回目录 方法点拨：已知一个点在一个角的平分线上，常常过这个点向这个角的 两边作垂线，所得垂线段的长度相等. 返回目录 4. 余角、补角及其性质 （1）余角：如果两个角的和为⑭ ，那么这两个角互为余角. （2）补角：如果两个角的和为⑮ ，那么这两个角互为补角. 易错提示：（1）余角、补角的概念描述的是一对角的关系，而且强调 的是数量关系，与位置无关. （2）同一个角的余角比它的补角小90°. （3）互余、互补的性质：同角或等角的余角⑯ ；同角或等角的 补角⑰ ⁠. 90°　 180°　 相等　 相等　 返回目录 1. 邻补角、对顶角的性质 （1）邻补角的性质：互为邻补角的两个角的和等于⑱ ⁠. （2）对顶角的性质：对顶角⑲ ⁠. 180°　 相等　 返回目录 2. 三线八角 名称 角 图示 同位角 ∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8相对位置相同，称为“同位角” 内错角 ∠2和∠8、∠3和∠5相互交错，且均在内部，称为“内错角” 同旁 内角 ∠2和∠5、∠3和∠8在截线同旁，且均在内部，称为“同旁内角” 返回目录 3. 垂线及其性质 （1）垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是⑳ ⁠ 时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线. （2）垂线段：从直线外一点向直线引垂线，该点到垂足之间的㉑ ⁠ 叫作该点到直线的垂线段. （3）垂线的性质：过一点有且只有㉒ 直线与已知直线垂直. （4）垂线段的性质：直线外一点到这条直线上各点的连线中，以垂直的 线段为最短，简称㉓ 最短. 直角　 线段 一条　 垂线段　 返回目录 4. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的㉔ 的长度，叫作点到直线的距离. 垂线段　 返回目录 5. 线段的垂直平分线（中垂线） 定 义 过线段的中点且与这条线段垂直的直线，叫作线段的㉕ ⁠ ⁠ 性 质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离㉖ ⁠ 判 定 到一条线段的两端的距离相等的点，在这条线段的㉗ ⁠上 垂直平分线 　 相等　 垂直平分线 　 返回目录 方法点拨：已知一个点在一条线段的垂直平分线上，常常把这一点和线 段的两端分别连接起来，所得线段的长度相等. 返回目录 1. 平行线 同一平面内，㉘ 的两条直线叫平行线. 2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有㉙ 直线与这条直线平行. 不相交　 一条　 3. 平行的传递性 平行于同一直线的两直线㉚ .如下图，如果a∥b，c∥b，那么 a∥c. 平行　 返回目录 4. 两直线平行的判定定理 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补， 两直线平行. 5. 两直线平行的性质定理 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同 旁内角互补. 6. 平行线间的距离 平行线间的距离处处㉛ ⁠. 方法点拨：垂直于同一条直线的两直线平行. 相等　 返回目录 1. 命　题 判断一件事情的句子，就称为命题.命题都是由㉜ 和㉝ ⁠ 两部分组成的，也都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如 果……”部分是条件，“那么……”部分是结论. 条件　 结论　 2. 真命题与假命题 （1）正确的命题称为㉞ ；错误的命题称为㉟ ⁠. （2）判定一个命题是假命题的常用方法是举反例；证明一个命题是真命 题必须要经过严格的推理论证. 真命题　 假命题　 返回目录 3. 互逆命题和互逆定理 （1）如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件，那么 这两个命题称为㊱ ⁠. （2）如果一个定理的逆命题也是定理，就称它们是㊲ ⁠. 易错提示：一个真命题的逆命题不一定是真命题；一个定理的逆命题不 一定是定理. 互逆命题　 互逆定理　 返回目录 4. 证　明 （1）定义：根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判 断一个命题是否正确，这样的推理过程叫作证明. （2）步骤： Ⅰ.根据题意，画出图形. Ⅱ.根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. Ⅲ.经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明 依据. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2024·自贡中考）如下图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF ＝∠C. （1）求证：∠BDF＝∠A. （2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状. 返回目录 分析：（1）根据两直线平行，同位角相等，得到∠C＝∠AED， 再根据等量代换得到∠AED＝∠EDF，从而得到DF∥AC，得出 ∠BDF＝∠A. 分析：（2）通过（1）得出∠BDF＝45°，再根据角平分线，得出 ∠BDE＝90°＝∠B，由此得出△ABC是等腰直角三角形. 解答：（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠C＝∠AED. ∵∠EDF＝∠C， ∴∠AED＝∠EDF， ∴DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A. 返回目录 （2）解：∵∠A＝45°， ∴∠BDF＝45°. ∵DF平分∠BDE， ∴∠BDE＝2∠BDF＝90°. ∵DE∥BC， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 解题技巧：本题考查了平行线的性质与判定、等腰直角三角形的判 定，掌握判定方法是解题的关键. 返回目录 　（2024·眉山中考）如下图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝ 4，分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点E、 F，过点E、F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（） 例2 A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 返回目录 分析：根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据三角形的周 长公式即可得到结论. 由作图知，EF垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴△BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC. ∵AB＝AC＝6，BC＝4， ∴△BCD的周长＝6＋4＝10. 答案：C 返回目录 解题技巧：本题考查了作图－基本作图、线段垂直平分线的性质、 三角形周长的计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 返回目录 　（2022·达州中考）下列命题是真命题的是（） A. 相等的两个角是对顶角 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 若a＜b，则ac2＜bc2 D. 在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都 相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是 返回目录 分析：相等的两个角不一定是对顶角，选项A是假命题；在同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，选项B是假命题；若a＜b，c＝0 时，则ac2＝bc2，选项C是假命题；在一个不透明的箱子里放有1个白球 和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到 白球的概率是 ，选项D是真命题. 答案：D 解题技巧：本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解 对顶角的定义、圆周角、不等式的性质和概率公式等知识. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. 已知C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分 点.若线段AB＝12厘米，则线段BD的长为（　C　） A. 10厘米 B. 8厘米 C. 10厘米或8厘米 D. 2厘米或4厘米 C 返回目录 2. （2022·自贡中考）如下图，直线AB、CD相交于点O. 若∠1＝ 30°，则∠2的度数是（　A　） A. 30° B. 40° C. 60° D. 150° A 返回目录 3. （2020·南充中考）如下图，两直线交于点O，若∠1＋∠2＝76°，则 ∠1的度数为 ⁠. 38°　 返回目录 4. （2023·乐山中考）如上图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分 线.若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 ⁠. 20°　 返回目录 5. （2023·泸州中考）如下图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数 为（　A　） A. 125° B. 135° C. 145° D. 155° A 返回目录 6. （2024·甘孜中考）如下图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝ 30°，则∠2＝（　B　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° B 返回目录 7. （2024·南充中考）如下图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反 射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　C　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 120° 第7题 C 返回目录 8. （2024·雅安中考）如下图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于点 O. 若∠1＝35°，则∠2的度数是（　A　） A. 55° B. 45° C. 35° D. 30° 第8题 A 返回目录 9. （2024·德阳中考）如下图所示是某机械加工厂加工的一种零件的示意 图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC的度数为 （　B　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 第9题 B 返回目录 10. （2024·达州中考）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生 了改变，这就是光的折射现象（如下图所示），图中∠1＝80°，∠2＝ 40°，则∠3的度数为（　B　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 70° 第10题 B 返回目录 11. （2023·自贡中考）如下图，某人沿路线A→B→C→D行走，AB与 CD方向相同，∠1＝128°，则∠2的度数为（　C　） A. 52° B. 118° C. 128° D. 138° 第11题 C 返回目录 12. （2023·达州中考）如下图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝ 35°，∠D＝60°，则∠B的度数为（　B　） A. 52° B. 50° C. 45° D. 25° 第12题 B 返回目录 核心素养·抽象能力 13.（2023·凉山中考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线 从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光 线，在空气中也是平行的.如下图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋ ∠4＝（　C　） A. 165° B. 155° C. 105° D. 90° C 返回目录 14. （2024·凉山中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂 直平分AB交BC于点D. 若△ACD的周长为50厘米，则AC＋BC＝ （　C　） A. 25厘米 B. 45厘米 C. 50厘米 D. 55厘米 第14题 C 返回目录 15. （2023·攀枝花中考）如下图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝ 90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC ＝ ⁠. 第15题 10°　 返回目录 16. 如下图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE 垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 ⁠. 第16题 12　 返回目录 17. （2023·达州中考）下列命题中，是真命题的是（　C　） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形 C 返回目录 18. 下列命题正确的是（　B　） A. 每个内角都相等的多边形是正多边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分 B 返回目录 $$