2025年四川省聚焦中考数学·一轮复习-第4章　三角形 4.6　解直角三角形 课件

4.6　解直角三角形 数 学 第四章　三角形 聚焦新中考·必备考点透析 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 1. 锐角三角函数的意义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则锐角∠A的三角函数可定义如 下： （1）∠A的正弦： sin A＝① ⁠. （2）∠A的余弦： cos A＝② ⁠. 　 　 （3）∠A的正切：tanA＝③ ⁠. 　 返回目录 易错提示：（1）三角函数 sin A、 cos A、tanA的记法里习惯省去角的符 号“∠”. （2）三角函数没有单位，它表示两条线段长度的比值. 返回目录 2. 特殊角的三角函数值 锐角α　三角函数 30° 45° 60° sin α ④ ⁠ ⑤ ⁠ cos α ⑥ ⁠ ⑦ ⁠ tanα ⑧ ⁠ ⑨ ⁠ 　 　 　 　 　 1　 返回目录 1. 解直角三角形的含义 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角.由 直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解 直角三角形. 返回目录 2. 解直角三角形时常用的基本关系 如上图，在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为 a、b、c，则有： （1）三边之间的关系（勾股定理）：⑩ ⁠. （2）两锐角之间的关系：⑪ ⁠. a2＋b2＝c2　 ∠A＋∠B＝90°　 返回目录 （3）边与角之间的关系： sin A＝ cos B＝ ， cos A＝ sin B＝ ，tanA＝ ，tanB＝ . （4）面积公式：S＝ ab＝ ch（h为边c上的高）. （5）直角三角形的内切圆半径：r＝ . （6）直角三角形的外接圆半径：R＝ c. 返回目录 3. 解直角三角形的基本类型及解法 已知条件 解法 两边 直角边a、b c＝ ，tanA＝ ， ∠B＝90°－∠A 一直角边a，斜边c b＝ ， sin A＝ ， ∠B＝90°－∠A 一边， 一锐角 一直角边a，锐角 ∠A ∠B＝90°－∠A，c＝ ， b＝c sin B 斜边c，锐角∠A ∠B＝90°－∠A，a＝c sin A， b＝c sin B 返回目录 1. 解直角三角形的应用名词及相关概念 （1）仰角与俯角：如图1，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为⑫ ；当从高处观测低处的目标时，视线与水平 线所成的锐角称为⑬ ⁠. 仰角　 俯角　 返回目录 （2）坡角与坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫作⑭ ，记作 ∠A. 通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫作⑮ （或叫 作⑯ ），用字母i表示，即i＝ ＝tanA. 坡角　 坡度　 坡比　 返回目录 （3）方向角：从某点指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 ⑰ 的水平夹角，叫作方向角.如图3，OA、OB、OC、OD的方 向角分别是：北偏东30°、南偏东45°（东南方向）、南偏西60°、北 偏西60°. 90°　 返回目录 2. 应用解直角三角形解决实际问题的思路 （1）如果有直角三角形，利用直角三角形中边角之间的关系求解即可. （2）如果没有直角三角形，先构造直角三角形，再用直角三角形边角之 间的关系求解. 返回目录 3. 解直角三角形应用题的一般步骤 解直角三角形的实际应用主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解 此类问题一般按以下步骤进行： （1）根据题中图形标出已知长度和角度，以及待求长度或高度. 返回目录 （2）构造直角三角形，一般根据题中图形，作出合适的高.如果题中图 形是三角形，一般采用切割法或拼补法构造两个直角三角形，如图1.如 果题中图形是梯形，一般构造直角三角形和矩形，如图2. （3）解直角三角形，将数据转化，求出题中要求的长度或高度，并 作答. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　如下图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos ∠APC的值为（） A. B. C. D. 返回目录 分析：如下图，把AB向上平移1个单位长度到DE，连接CE，则 DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC. 返回目录 在△DCE中，有EC＝ ＝ ，DC＝ ＝2 ，DE ＝ ＝5. ∵EC2＋DC2＝DE2， ∴△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°， ∴ cos ∠APC＝ cos ∠EDC＝ ＝ . 答案：B 解题技巧：解答此题的关键是通过作辅助线，构造出直角三角形， 再利用锐角三角函数的定义及勾股定理求三角函数值. 返回目录 　（2023·广元中考）如下图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0）、B（0，－3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接 AB、BC，若tan∠ABC＝ ，则点C的坐标为 　. 返回目录 分析：设C（a，0），则OC＝a. ∵A（1，0）、B（0，－3）， ∴OA＝1，AC＝a－1，OB＝3，BC＝ ＝ . 在Rt△OAB中，tan∠OBA＝ ＝ ，tan∠ABC＝ ， ∴∠OBA＝∠ABC. 如下图，过点C作CD∥y轴交BA的延长线于点D， 则∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD， ∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D， ∴CD＝BC. 返回目录 ∴ ＝ ，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，解得a＝0（舍去）或a＝ ， ∴C . 答案： 返回目录 解题技巧：本题主要考查解直角三角形、涉及坐标与图形的性质、 相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、两点间 的距离等知识，解决本题的关键是作适当的辅助线. 返回目录 　（2023·广元中考）“一缕清风银叶转.”某市20台风机 （如图1）依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学九年级数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量.如图2，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED＝45°，风叶OA的视角∠OEA＝30°. 返回目录 （1）已知α、β两角和的余弦公式为： cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β，请利用公式计算 cos 75°. （2）求风叶OA的长度. 返回目录 分析：（1）根据两角和的余弦公式把75°角分成两个特殊角30°和 45°，再由特殊角的锐角三角函数值代入求值即可. （2）过点A作AF⊥OE于点F，先判断△AOE是等腰三角形，求 出AE的长，再通过解直角三角形求出OF的长，再求出OA的长即可. 返回目录 解答：（1）由题意，得 cos 75°＝ cos （30°＋45°）＝ cos 30° cos 45°－ sin 30° sin 45°＝ × － × ＝ . （2）由题意，得∠ODE＝90°，∠OED＝45°，DE＝60米，∴OE＝60 米，∠DOE＝45°，∴∠AOE＝120°－45°＝75°.又∵∠OEA＝30°，∴∠OAE＝75°，∴△AOE是等腰三角形， ∴EA＝OE＝60 米.如右图，过点A作AF⊥OE于点F. 返回目录 在Rt△AEF中， ∵ cos ∠AEF＝ ，∠AEF＝30°，AE＝60 米， ∴EF＝AE· cos ∠AEF＝60 × ＝30 米， ∴OF＝（60 －30 ）米.在Rt△AOF中，∴ cos ∠AOF＝ ，∠AOF＝75°，OF＝（60 －30 ）米，∴OA＝ ＝（60 －60）米.故风叶OA的长度为（60 －60）米. 返回目录 解题技巧：本题是解直角三角形的应用综合题，主要考查仰角俯角 问题、特殊角的锐角三角函数值，深入理解题意，把实际问题转化为数 学问题是解决问题的关键. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. （2023·攀枝花中考）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c.已知a＝6，b＝8，c＝10，则 cos ∠A的值为（　C　） A. B. C. D. C 返回目录 2. （2023·南充中考）如下图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到 达B处，再向正北方向走到C处.已知∠BAC＝α，则A、C两处相距 （　B　） A. 米 B. 米 C. x· sin α米 D. x· cos α米 B 返回目录 3. （2022·宜宾中考）如上图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3， 将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则 cos ∠ADF的值 为（　C　） A. B. C. D. C 返回目录 4. 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，有以下结论： ＝ ＝ ＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立.在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则 △ABC的外接圆面积为（　A　） A. B. C. 16π D. 64π A 返回目录 5. （2022·乐山中考）如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ， D是AC上一点，连接BD. 若tanA＝ ，tan∠ABD＝ ，则CD的长为 （　C　） A. 2 B. 3 C. D. 2 C 返回目录 6. 如下图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的 交点.若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　A　） A. B. 2 C. D. A 返回目录 7. （2024·资阳中考）第14届国际数学教育大会（ICME－14）会标如图1 所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所 示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE、△BCF、△CDG、 △DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD. 若EF∶AH＝ 1∶3，则 sin ∠ABE＝（　C　） A. B. C. D. C 返回目录 8. （2022·凉山中考）如下图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上 点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射 角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝ 12，则tanα的值为 ⁠. 　 返回目录 9. （2022·凉山中考）如下图，☉O的直径AB经过弦CD的中点H. 若 cos ∠CDB＝ ，BD＝5，则☉O的半径为 　 　 . 　 返回目录 10. （2024·雅安中考）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD 的高度（如下图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的 方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身 高忽略不计）（　A　） A. 25 米 B. 25米 C. 25 米 D. 50米 A 返回目录 11. （2023·眉山中考）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方 向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东 45°方向.若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离 是 海里. 第11题 （6 ＋6）　 返回目录 12. （2024·甘孜中考）如下图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方 向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时B处距离A处有多远？（参考数 据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75） 第12题 返回目录 解：如后图，过点P作PC⊥AB于点C. 在Rt△APC中，易知∠A＝37°，AP＝100海里，∴PC＝AP· sin A＝ 100× sin 37°≈100×0.6＝60（海里），AC＝AP· cos 37°≈100×0.8 ＝80（海里）.在Rt△PBC中，∵∠B＝45°，∴BC＝PC＝60海里， ∴AB＝AC＋BC＝80＋60＝140（海里）.即B处距离A处约有140海里. 返回目录 13. （2024·凉山中考）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展.2022年 9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐 园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼， 建筑面积为1 845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵 坡造型.某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九（2）班学生利用综 合实践课测量怀远塔的高度.小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上 点A处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8米，向塔前行67 米，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF. （结果精确到 0.01米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 第13题 返回目录 解：由题意知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝ 90°，GF＝ED＝BA＝1.8米，BE＝67米.在Rt△CBG中，BG＝ ＝ CG. 在Rt△CEG中，EG＝ ＝ CG. ∵BG－EG ＝BE，∴ CG－ CG＝67，解得CG≈58.03米，∴CF＝CG＋GF ＝58.03＋1.8＝59.83（米）.即塔高CF约为59.83米. 返回目录 14. （2024·广安中考）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式 具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图1，某校 实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量 示意图（点A、B、C、D均在同一平面内，AB⊥BC）.已知斜坡CD 长20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶 端点A的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机 塔杆AB的高度.（结果精确到个位，参考数据： sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan20°≈0.36， ≈1.73） 返回目录 解：如后图，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H. 由题意， 得DC＝20米，∠DCH＝60°.在Rt△DCH中，∵ cos 60°＝ ， sin 60°＝ ，∴CH＝CD· cos 60°＝10米，DH＝CD· sin 60°＝10 米 ≈17.3米.∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°，∴四边形DFBH为矩形， ∴BH＝FD，BF＝DH. ∵BH＝BC＋CH＝30＋10＝40（米）， 返回目录 ∴FD＝40米.在Rt△AFD中， ＝tan20°，∴AF＝ FD·tan20°≈40×0.36＝14.4（米），∴AB＝AF＋BF＝14.4＋17.3 ＝31.7（米）≈32米.即该风力发电机塔杆AB的高度约为32米. 返回目录 15. （2024·达州中考）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统 民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体 （如图1）.在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象 成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处.借助测角仪观 察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6 米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平 线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4 米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5 米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度.（结果精确到0.1米，参考数 据： ≈1.73， ≈1.41） 返回目录 解：如后图，过点M作MN⊥AB，垂足为N. 由题意知，四边形 CMNB是矩形，∴CM＝BN＝1.5米，MN＝CB＝6米，AN＝AB－ BN＝6.3－1.5＝4.8（米）.在Rt△DMN中，∵tan∠DMN＝ ， ∴DN＝tan∠DMN·MN＝tan30°×MN＝ ×6＝2 （米）. 返回目录 在Rt△AEF中，∵ sin ∠AEF＝ ，∴AF＝ sin ∠AEF·EF＝ sin 45°×EF＝ ×4＝2 （米）.∵AF＋DN＝AN＋DF，∴DF＝ 2 ＋2 －4.8≈3.46＋2.82－4.8＝1.48≈1.5（米）.即中轴上 DF的长度约为1.5米. 返回目录 16. （2024·巴中中考）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如 下图，斜坡BE的坡度i＝1∶ ，BE＝6米，在B处测得电线塔CD顶部 D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°. 第16题 返回目录 （1）求点B离水平地面的高度AB. 解：（1）由题意，得BA⊥AE. ∵斜坡BE的坡度i＝1∶ ，∴ ＝ ＝ .在Rt△ABE中，tan∠BEA＝ ＝ ，∴∠BEA＝30°.∵BE ＝6米，∴AB＝ BE＝3米.即点B离水平地面的高度AB为3米. 第16题 返回目录 （2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）. 第16题 返回目录 解：（2）如后图，过点B作BF⊥CD，垂足为F. 由题意，得 AB＝CF＝3米，BF＝AC. 设EC＝x米.∵AE＝ AB＝3 米，∴BF＝AC＝AE＋CE＝（x＋3 ）米.在Rt△CDE中， ∠DEC＝60°，∴CD＝CE·tan60°＝ x米.在Rt△BDF中， ∠DBF＝45°，∴DF＝BF·tan45°＝（x＋3 ）米. ∵DF＋CF＝CD，∴x＋3 ＋3＝ x，解得x＝6＋3 ， ∴CD＝ x＝（6 ＋9）米. 即电线塔CD的高度为（6 ＋9）米. 返回目录 核心素养·模型观念 17.（2024·遂宁中考）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40厘 米，他发现当灯带BC与水平线BM的夹角为9°时（如图1），灯带的直 射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35厘米，但此时灯的直射宽度不够， 当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（如图2），直射宽度刚好合 适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1位小数， sin 9°≈0.16， cos 9°≈0.99，tan9°≈0.16） 返回目录 解：如图1，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴BD∥EC. ∵BM∥DE，∴四 边形BDEM是平行四边形，∴BM＝DE＝35厘米，∴BC＝BM· cos 9°≈35×0.99＝34.65（厘米）.如图2，过点C作CK⊥AE'于点K，交 BM于点J. ∵BM∥AE'，CK⊥AE'，∴CJ⊥BM，∴CJ＝BC· sin 30°≈17.33（厘米）.∵AB⊥AE'，∴BA＝JK＝40厘米，∴CK＝ CJ＋JK＝17.33＋40≈57.3（厘米.即台灯最高点C到桌面的距离约为 57.3厘米. 解：如图1，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴BD∥EC. ∵BM∥DE，∴四 边形BDEM是平行四边形，∴BM＝DE＝35厘米，∴BC＝BM· cos 9°≈35×0.99＝34.65（厘米）.如图2，过点C作CK⊥AE'于点K，交 BM于点J. ∵BM∥AE'，CK⊥AE'，∴CJ⊥BM，∴CJ＝BC· sin 30°≈17.33（厘米）.∵AB⊥AE'，∴BA＝JK＝40厘米，∴CK＝ CJ＋JK＝17.33＋40≈57.3（厘米.即台灯最高点C到桌面的距离约为 57.3厘米. 返回目录 $$