2025年四川省聚焦中考数学·必备考点透析课件-第4章　三角形4.5　相似三角形

4.5　相似三角形 数 学 第四章　三角形 聚焦新中考·必备考点透析 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 1. 线段的比和比例线段 （1）线段的比：线段的比，即它们的① 之比. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n， 那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n，或写成 ＝ . 长度　 返回目录 易错提示：（1）由于线段的长度都是正数，所以线段的比也是正数. （2）线段的比与所选线段的长度单位无关，但求线段的比时，两条线 段的长度单位要一致. 返回目录 （2）比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的 比，即 ＝ ，那么这四条线段a、b、c、d叫作② ，简 称③ ⁠. 成比例线段　 比例线段　 2. 线段的比例中项 在线段a、b、c中，如果a∶b＝b∶c，那么b就叫作a、c的④ ⁠ ，此时有b2＝ac. 比例 中项　 返回目录 3. 黄金分割 一般地，如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝ ， 即AC是AB和BC的⑤ ，那么称线段AB被点C黄金分割， 点C叫作线段AB的⑥ ，AC与AB的比叫作⑦ ⁠ AC∶AB＝⑧ ≈⑨ ⁠. 比例中项　 黄金分割点　 黄金比 　 0.618　 . 返回目录 4. 比例的性质 （1）比例的基本性质： ＝ （或a∶b＝c∶d）⇔ad＝⑩ ； ＝ ⇔b2＝⑪ ⁠. bc　 ac　 返回目录 （2）利用基本性质可以推出下列定理： 更比定理： ＝ ⇔ ＝ . 反比定理： ＝ ⇔ ＝ . 合比定理： ＝ ⇔ ＝ . 分比定理： ＝ ⇔ ＝ . 返回目录 等比定理：若 ＝ ＝ ＝…＝ （b＋d＋f＋…＋n≠0），则 ＝ . 合分比定理： ＝ ＝ . 返回目录 方法点拨：（1）利用比例的基本性质“ ＝ ⇔ad＝bc”，可以判断 四条线段是否成比例，也可以检查条件ad＝bc是否成立. （2）比例的等比定理的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）， 这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形的一种常用 方法. （3）应用等比定理时，要考虑分母是否为零. 返回目录 （4）有时在利用等比定理前，先利用分式的基本性质将连等式的某些 比的前项和后项同时乘一个数，再利用等比定理.如 ＝ ＝ ⇒ ＝ ＝ ⇒ ＝ ，其中b＋2d＋（－3f）≠0. 返回目录 1. 平行线等分线段定理 三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么 在另一条直线上截得的线段也⑫ ⁠. 相等　 2. 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成⑬ .如下图， l1∥l2∥l3，则 ＝ . 比例　 返回目录 3. 平行线的性质定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的 对应线段成⑭ .如下图，DE∥BC，则 ＝ ， ＝ 等. 比例　 返回目录 1. 相似三角形的概念及相似比 对应角⑮ 、对应边成⑯ 的三角形叫作相似三角形.相似 三角形对应边的比叫作⑰ ⁠. 易错提示：（1）全等三角形是相似三角形的特例，这时相似比等于1. （2）书写两个相似三角形与书写两个全等三角形一样，应把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上. 相等　 比例　 相似比　 返回目录 2. 相似三角形的判定方法 （1）平行线法（也称相似三角形判定的预备定理）：平行于三角形一边 的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所得的三角形与原三角形 相似. （2）两角分别相等的两个三角形相似. （3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. （4）三边对应成比例的两个三角形相似. （5）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似. 返回目录 方法点拨：（1）判定三角形相似的思路： Ⅰ.有平行截线——用平行线的性质，找等角 Ⅱ.有一对等角，找 Ⅲ.有两边对应成比例，找 返回目录 （2）判定两个三角形相似一般有四种方法（两个直角三角形有五 种），通常我们不用相似三角形的定义来判定两个三角形相似，但我们 却经常根据相似三角形的定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对 应角都相等、对应边都成比例. （3）相似三角形的几种常见模型： 模型 图形 平行线型 返回目录 斜交型（需满足∠1＝∠2） 垂直型 返回目录 1. （按定义）相似三角形的对应角都⑱ 、对应边都成 ⑲ ⁠ 2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 ⑳ ⁠ 3. 相似三角形周长的比等于㉑ ⁠ 4. 相似三角形面积的比等于㉒ ⁠ 相等　 比例　 相似比　 相似比　 相似比的平方　 返回目录 易错提示：（1）相似三角形的相似比k具有顺序性，即甲与乙的相似比 是k，则乙与甲的相似比是 . （2）利用相似三角形的性质可以证明角相等、线段成比例，也可以求 三角形的边长、周长、面积等. 返回目录 1. 相似多边形 （1）相似图形：一般地，形状相同的图形称为相似图形. （2）相似多边形：对应角㉓ 、对应边成㉔ ⁠的两个多边 形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作㉕ ⁠. （3）相似多边形的性质：相似多边形对应角㉖ ，对应边㉗ ⁠ ，对应边的比、周长的比等于㉘ ，面积的比等于 ㉙ ⁠. 相等　 比例　 相似比　 相等　 成 比例　 相似比　 相似比的平方　 返回目录 2. 位似图形 （1）位似图形的有关概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对 应点所在的直线都经过㉚ ，对应线段相互平行（或共线）， 那么这样的两个图形叫作㉛ ，这个点叫作㉜ ⁠， 这时的相似比又称为㉝ ⁠. （2）位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离 之比等于㉞ ，面积比等于㉟ ；位似图形对 应点的连线或延长线交于㊱ ；位似图形对应线段平行（或共 线）且㊲ ；对应角㊳ ⁠. 同一点　 位似图形　 位似中心 位似比　 位似比　 位似比的平方　 同一点　 成比例　 相等　 返回目录 易错提示：位似图形是相似图形的特例，是一种位置特别（对应点的连 线都过位似中心）的相似图形，它具有相似图形的所有性质，还具有以 下性质：任意一对对应点的连线都经过位似中心；任意一对对应线段都 平行或共线；任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比. 返回目录 3. 位似图形的画图步骤 （1）确定位似中心. （2）分别连接图形中的关键点和位似中心，并延长或截取. （3）根据已知位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4）顺次连接得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的位似图形. 返回目录 1. 相似三角形性质的应用 对应线段比、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方. 2. 思想方法 （1）常用解题方法——设k法. （2）常用基本图形——A型、X型…… 返回目录 3. 实际应用解题步骤 （1）将实际问题转化为相似三角形问题. （2）找出一对相似三角形. （3）概括相似三角形的性质，表示出相应的量并求解. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2024·内江中考模拟）如下图，在△ABC中，D、E、F分别 是AB、AC、BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB. 若BF∶FC＝2∶3， AB＝15，则BD＝（） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 返回目录 分析：∵EF∥AB， BF∶FC＝2∶3， ∴根据平行线分线段成比例可得 ＝ ＝ ，从而可得 ＝ . 又由DE∥BC，再利用平行线分线段成比例得出 ＝ ， ∴ ＝ ，∴BD＝9. 答案：B 解题技巧：本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线 段成比例是解题的关键. 返回目录 　（湖北孝感中考）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分 线的一个结论.如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证 ＝ .小慧 的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构 造相似三角形来证明 ＝ . 返回目录 应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC 上一点.连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上 的点E处. 尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明 ＝ . ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长.（用含m、α的式子表示） 返回目录 分析：（1）证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出 ＝ ，再证EC＝AC，则可得出结论. （2）①由折叠的性质可知∠CAD＝∠BAD，CD＝DE. 由（1）可 知， ＝ ，由勾股定理求出BC的长，则可求出答案；②由折叠的性 质得出∠C＝∠AED＝α，则tanC＝tanα＝ ，同①可用含m、α的式 子表示出CD的长. 返回目录 解答：（1）证明：∵CE∥AB，∴∠EAB＝∠E，∠B＝ ∠ECB，∴△BAD∽△CED，∴ ＝ .∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝ ∠CAD，∴∠E＝∠CAD，∴EC＝AC，∴ ＝ . 返回目录 （2）解：①由折叠可知，∠CAD＝∠BAD，CD＝DE. 由（1）可 知， ＝ .∵AC＝1，AB＝2，∴ ＝ ，∴BD＝2CD. ∵∠BAC ＝90°，∴BC＝ ＝ ＝ ，∴BD＋CD＝ ， ∴3CD＝ ，∴CD＝ ，∴DE＝ ；②由折叠可知，∠CAD＝ ∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，∴tanC＝tanα＝ .由（1） 可知， ＝ ，∴tanα＝ ，∴BD＝CD·tanα.又∵BC＝BD＋CD ＝m，∴CD·tanα＋ CD＝m，∴CD＝ ，∴DE＝ . 返回目录 　（2023·南充中考）如下图，数学活动课上，为测量学校旗杆高 度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和 旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小 菲的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小菲与镜子的水平距离为2米， 镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆高度为（） 例3 A. 6.4米 B. 8米 C. 9.6米 D. 12.5米 返回目录 分析：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°. ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△EDC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴DE＝8m. 答案：B 解题技巧：本题考查了相似三角形的应用.应用镜面反射的基本性 质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. （2023·绵阳中考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术 家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是：如后图，在 正方形ABCD的底边BC取中点E，以点E为圆心，线段DE为半径作圆， 其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形 ABFG，称其为黄金矩形.若CF＝4a，则AB＝（　D　） A. （ －1）a B. （2 －2）a C. （ ＋1）a D. （2 ＋2）a D 返回目录 2. （2023·甘孜中考）若 ＝2，则 ＝ ⁠. 3. 若 ＝ ＝ （x、y、z均不为0），则 ＝ ⁠. 4. 我们把宽与长的比是 的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为 －1，则该矩形的周长为 　2 ＋2或4　. 1　 3　 2 ＋2或4　 返回目录 5. （2022·巴中中考）如下图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA 边上一点，AC∶OC＝1∶2，过点C作CD∥OB交AB于点D，点C、D 的纵坐标分别为1、3，则点B的纵坐标为（　C　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 返回目录 6. （2023·雅安中考）如上图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交 BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则 GF的长为（　C　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 C 返回目录 核心素养·模型观念 7.如下图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分 别交于点A、B、C和点D、E、F. 若AB∶BC＝2∶3，EF＝9，则 DE的长是（　B　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 B 返回目录 8. （2022·雅安中考）如下图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的 点，DE∥BC. 若 ＝ ，则 ＝（　D　） A. B. C. D. D 返回目录 9. （2022·凉山中考）如上图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC 上.若DE∥BC， ＝ ，DE＝6厘米，则BC的长为（　C　） A. 9厘米 B. 12厘米 C. 15厘米 D. 18厘米 C 返回目录 10. （2023·内江中考）如下图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分 点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，H为AF与DG的交点.若AC ＝12，则DH的长为（　C　） A. 1 B. C. 2 D. 3 C 返回目录 11. （2022·成都中考）如上图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的 位似图形.若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是 ⁠. 2∶5　 返回目录 12. 如下图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝ AB＝3BD，则AD∶AC的值为 ⁠. 　 返回目录 13. （2023·乐山中考）如上图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上 一点，连接AC、DE交于点F. 若 ＝ ，则 ＝ 　 　. 　 返回目录 14. （2024·眉山中考）如下图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝ 120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交 BD、CD于点F、G，则FG的长为 ⁠. 第14题 　 返回目录 15. （2023·眉山中考）如下图，在▱ABCD中，E是AD的中点，连接 CE并延长交BA的延长线于点F. 第15题 返回目录 （1）求证：AF＝AB. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB， ∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F. ∵E是AD的中点，∴DE＝AE， ∴△CDE≌△FAE（AAS），∴CE＝EF. ∵AE∥BC，∴ ＝ ＝ 1，∴AF＝AB. 第15题 返回目录 （2）G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H. 若 AG＝2，FG＝6，求GH的长. 第15题 返回目录 （2）解：∵AG＝2，FG＝6，∴AF＝FG＋AG＝6＋2＝8，∴AB＝ AF＝8.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8.∵∠DCE＝ ∠F，∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝ 6.∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴GH ＝1.2. 返回目录 16. （2024·内江中考）已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则 △ABC与△DEF的周长之比是（　B　） A. 1∶1 B. 1∶3 C. 1∶6 D. 1∶9 B 返回目录 17.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3m，某一高楼 的影长为60米，那么这幢高楼的高度是（　D　） A. 18米 B. 20米 C. 30米 D. 36米 D 返回目录 18. （2023·攀枝花中考）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自 治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000 年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定 采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔 （如图1）的高度.如图2，东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平 地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5米的标杆EF和 GH，两标杆间隔EG为46米，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直 平面内. 返回目录 从标杆EF后退2米到D处（即ED＝2米），从D处观察点A，点 A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4米到C处（即CG＝4米），从C 处观察点A，点A、H、C也在一直线上，且点B、E、D、G、C在同 一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度. 返回目录 解：设BD＝x米，则BC＝BD＋DG＋CG＝x＋46－2＋4＝（x＋48） 米.∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△ABD∽△FED，∴ ＝ ，即 ＝ .同理可证△ABC∽△HGC，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ ＝ ，解得x＝48.经检验，x＝48是原方程的解，∴ ＝ ，∴AB＝36米.故东塔AB的高度为36米. 返回目录 核心素养·模型观念 19.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如下图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72米，EF＝2.18米.已知B、C、E、F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47米， 则AB＝ 米. 9.88　 第19题 返回目录 $$