2025年四川省聚焦中考数学·必备考点透析课件-第4章　三角形4.4　全等三角形

第四章　三角形 4.4　全等三角形 数 学 聚焦新中考·必备考点透析 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 1. 全等图形 能够① 的图形称为全等图形.全等图形的形状和大小都 相同. 完全重合　 2. 全等三角形 能够② 的两个三角形叫作全等三角形. 完全重合　 返回目录 方法点拨：所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相 等.因此也可以说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形 叫作全等三角形. 返回目录 1. 全等三角形的判定定理 已知条件 图形 定理名称 三边分别相等 边边边（或SSS） 两角及 一边分 别相等 两角及其夹边分别相等 角边角（或ASA） 两角及其中一角的对边分别相等 角角边（或AAS） 返回目录 已知条件 图形 定理名称 两边及一角分别相等 两边及其夹 角分别相等 边角边（或SAS） 两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等 斜边、直角边（或HL） 返回目录 易错提示：（1）写两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应 的位置上. （2）没有判定三角形全等的“AAA”和“SSA”定理，即已知两个三 角形的“三个角分别相等”或“两条边及其中一边的对角分别相等”， 都不能判定两个三角形全等. （3）判定三角形全等的条件至少有一个是边相等，判定一般三角形全 等有四种方法，判定直角三角形全等有五种方法.“HL”只适用于直角 三角形全等的判定. 返回目录 方法点拨：判定三角形全等时，一般采用以下思路： 返回目录 8 2. 全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应角、对应边③ ⁠. （2）全等三角形的周长④ 、面积⑤ ⁠. （3）全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都⑥ ⁠. 易错提示：周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定 全等. 方法点拨：全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角 相等. 相等　 相等　 相等　 相等　 返回目录 3. “截长法”和“补短法” “截长法”和“补短法”是证明线段和差关系的重要方法，无论用哪种 方法都要将线段的和差关系转化为证明线段相等，因此添加辅助线构造 全等三角形是通向结论的桥梁. 返回目录 1. 平移型 可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成，故对应边的相等关系 一般可由同一直线上线段的和或差证得. 返回目录 2. 翻折轴对称型 图形沿某一直线对称，且这条直线两边的部分能完全重合，重合的顶点 就是全等三角形的对应点. 返回目录 3. 旋转型 可看成由三角形某一个顶点为中心旋转构成的，故一般有一对相等的角 隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中. 4. 平移＋旋转型 返回目录 5. 三垂直型 也叫双直角三角形，其中的证明多数可以用到等角的余角相等这个定 理，相等的角就是对应的角. 返回目录 1. 求作三角形 （1）已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边 角”（“ASA”）来作图的. （2）已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角 边”（“SAS”）来作图的. （3）已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边” （“SSS”）来作图的. 返回目录 2. 利用全等三角形的性质测量距离 全等三角形在实际生活中应用广泛，特别是利用全等三角形的性质测量 距离.当所求距离不容易直接测量时，往往可通过构造全等三角形，利用 全等三角形的对应边相等来间接测出距离. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2024·南充中考）如下图，在△ABC中，D为BC边的中点， 过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. （1）求证：△BDE≌△CDA. （2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE. 返回目录 分析：（1）根据线段中点定义得BD＝CD，再根据BE∥AC得 ∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，由此即可得出结论. 分析：（2）根据D为BC的中点，AD⊥BC得直线AD为线段BC的 垂直平分线，则BA＝CA，再由（1）得△BDE≌△CDA，则BE＝ CA，据此即可得出结论. 返回目录 证明：（1）∵D为BC的中点， ∴BD＝CD. ∵BE∥AC， ∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD. 在△BDE和△CDA中， ∵ ∴△BDE≌△CDA（AAS）. 返回目录 （2）∵D为BC的中点，AD⊥BC， ∴直线AD为线段BC的垂直平分线， ∴BA＝CA. 由（1）可知△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA，∴BA＝BE. 解题技巧：本题考查了全等三角形的判定与性质.全等三角形的判定 结合全等三角形的性质是证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全 等时，关键是选择恰当的判定方法. 返回目录 　（2024·广安中考模拟）为测量一池塘两端A、B间的距离. 甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案. 甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C、D两 点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E. 则测出DE的长即为A、B间的距离. 返回目录 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直 接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出 BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是（） A. 只有甲同学的方案可行 B. 只有乙同学的方案可行 C. 甲、乙同学的方案均可行 D. 甲、乙同学的方案均不可行 返回目录 分析：甲：∵AB⊥BC，ED⊥BC， ∴∠B＝∠CDE. 在△ABC和△EDC中， ∵ ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴DE＝AB. 故甲正确； 返回目录 乙：当BE与AB不垂直时，过点D作DF⊥AB于点F. ∵AD＝CD，∴AF＝CF. ∵点F和点B不重合， ∴AB≠BC. 故乙错误. 答案：A 解题技巧：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全 等三角形的判定与性质是解题的关键.全等的性质和判定往往是综合在一 起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段 或角与所证明的线段或角之间的联系. 返回目录 　（山东日照中考）如下图，在矩形ABCD中，AB＝8厘米，AD ＝12厘米/秒，点P从点B出发，以2厘米/秒的速度沿BC边向点C运动， 到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D 运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随 之停止运动.当v为 　　　　时，存在某一时刻，△ABP与△PCQ全等. 返回目录 （1）当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ. ∵AB＝8厘米， ∴PC＝8厘米， ∴BP＝12－8＝4（厘米）， ∴2t＝4，解得t＝2. ∵CQ＝BP＝4厘米， ∴v×2＝4，解得v＝2； 分析：设运动时间为ts. 返回目录 （2）当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP. ∵PB＝PC， ∴BP＝PC＝6厘米， ∴2t＝6，解得t＝3. ∵CQ＝AB＝8厘米， ∴v×3＝8，解得v＝ . 综上所述，当v＝2或 时，存在某一时刻，△ABP与△PQC全等. 答案：2或 返回目录 　四川中考真题精练　 1. 如下图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D 在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定 △ABC≌△DEF的是（　B　） A. BC＝DE B. AE＝DB C. ∠A＝∠DEF D. ∠ABC＝∠D B 返回目录 2. （2023·凉山中考）如上图，点E、F在BC上，BE＝CF，∠B＝ ∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　D　） A. ∠A＝∠D B. ∠AFB＝∠DEC C. AB＝DC D. AF＝DE D 返回目录 3. （2023·成都中考）如后图，已知△ABC≌△DEF，点B、E、C、F 依次在同一条直线上.若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 ⁠. 3　 返回目录 4. （2024·成都中考）如上图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°， ∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 ⁠. 100°　 返回目录 5. （2024·乐山中考）如下图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求 证：∠C＝∠D. 证明：∵AB是∠CAD的平分线，∴∠CAB＝∠DAB. 在△ABC和 △ABD中，∵∴△ABC≌△ABD（SAS）， ∴∠C＝∠D. 返回目录 6. （2024·泸州中考）如下图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的 点，且DE＝BF. 求证：∠1＝∠2. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∵∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠1＝∠2. 返回目录 7. （2023·乐山中考）如下图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD， AO＝BO，求证：AC＝BD. 证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D. 在△AOC和△BOD 中，∵∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD. 返回目录 8. （2022·乐山中考）如下图，B是线段AC的中点，AD∥BE， BD∥CE. 求证：△ABD≌△BCE. 证明：∵B为线段AC的中点，∴AB＝BC. ∵AD∥BE，∴∠A＝ ∠EBC. ∵BD∥CE，∴∠DBA＝∠C. 在△ABD与△BCE中， ∵∴△ABD≌△BCE（ASA）. 返回目录 9. （2022·宜宾中考）如下图，点A、D、C、F在同一直线上， AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF. 求证：AD＝CF. 证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF. 在△ABC和△DEF中， ∵∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF，∴AC－ DC＝DF－DC，即AD＝CF. 返回目录 10. （2023·泸州中考）如下图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝ EC，DB＝BC. 求证：AD＝EB. 第10题 证明：∵BD∥CE，∴∠ABD＝∠C. 在△ABD和△ECB中， ∵∴△ABD≌△ECB（SAS），∴AD＝EB. 返回目录 11. （2023·宜宾中考）如下图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC. 求 证：∠B＝∠E. 第11题 证明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF. ∵AB∥DE，∴∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中， ∵∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E. 返回目录 12. 如下图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F. 求证：AF＝BE. 第12题 返回目录 证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°.∵BE⊥AD， CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°， ∴∠EBA＝∠FAC. 在△ACF和△BAE中， ∵∴△ACF≌△BAE（AAS），∴AF＝BE. 返回目录 核心素养·应用意识 13.（2023·吉林长春中考）如下图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可 以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是（　A　） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D. 两点之间，线段最短 A 返回目录 $$