2025年四川省聚焦中考数学·必备考点透析课件-第4章　三角形4.3　等腰三角形与直角三角形

4.3　等腰三角形与直角三角形 数 学 第四章　三角形 聚焦新中考·必备考点透析 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 1. 等腰三角形的判定 （1）定义：在同一三角形中，有两条边① ⁠的三角形是等腰 三角形. （2）判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（简称：等角对② ）. （3）一个角的平分线与其对边上的中线、高互相重合的三角形是等腰三 角形. 相等　 等边　 返回目录 方法点拨：对于等腰直角三角形的判定，需判定它既是直角三角形又是 等腰三角形.另外，等腰直角三角形具有直角三角形和等腰三角形的一 切性质. 返回目录 2. 等腰三角形的性质 （1）等边对③ ，等腰三角形的两个底角④ .如图1，如 果AB＝AC，那么可得∠B＝∠C. 等角　 相等　 返回目录 （2）三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的 高互相⑤ .如图2，如果AB＝AC，AD平分∠BAC，那么可得 AD⑥ BC，BD⑦ CD；如果AB＝AC，BD＝CD，那么可 得AD⑧ BC，∠BAD⑨ ∠CAD；如果AB＝AC， AD⊥BC，那么可得BD⑩ CD，∠BAD⑪ ∠CAD. 　 （3）等腰三角形是⑫ 图形，⑬ ⁠ 是它的对称轴. 重合　 ⊥　 ＝　 ⊥　 ＝　 ＝　 ＝　 轴对称　 顶角平分线（底边上的中 线、底边上的高）所在的直线　 返回目录 方法点拨：以下两条性质，一般不直接作结论使用，但可以熟悉其内 容，积累解题素材. （1）等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰 上的高相等. （2）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（可 用等面积法证明）. 返回目录 3. 等腰三角形的面积 S＝ ah，其中h是边a上的高. 方法点拨：等腰三角形底边上的高h＝ ，其中b为等腰三角 形的腰，a为底边. 返回目录 1. 等边三角形的判定 （1）定义：⑭ 边相等的三角形是等边三角形. （2）三个内角都⑮ 的三角形是等边三角形. （3）有一个角是60°的⑯ 三角形是等边三角形. （4）有两个角等于⑰ 的三角形是等边三角形. 方法点拨：等边三角形的四种判定方法都可以直接运用.解题时，要根 据不同的条件进行选择，使问题简单化. 三　 相等　 等腰　 60°　 返回目录 2. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的三边都⑱ ⁠. （2）等边三角形的内角都相等，且均为⑲ ⁠. （3）等边三角形每一条边上的中线、高和所对角的平分线互相⑳ ⁠⁠. （4）等边三角形是轴对称图形，它有㉑ 条对称轴，对称轴是每条 边上的中线、高或所对角的平分线所在的直线. 3. 等边三角形的面积 S＝ a2，其中a是等边三角形的边长. 相等　 60°　 重合 3　 返回目录 1. 直角三角形的判定 （1）定义：有一个角为㉒ 的三角形是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理：若㉓ ，则以a、b、c为边的三 角形是以c为斜边的直角三角形. （3）若在一个三角形中，一边上的中线㉔ 其所在边的㉕ ⁠， 则这个三角形是直角三角形. （4）有两个角互余的三角形是直角三角形. 90°　 a2＋b2＝c2　 等于　 一半 返回目录 2. 直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互为㉖ ⁠. （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和㉗ 斜边的平方， 即a2＋b2＝c2（注意区分斜边与直角边）. （3）在直角三角形中，如果有一个内角等于30°，那么它所对的直角边 ㉘ 斜边的㉙ .反之，若一条直角边等于斜边的一半，则 该直角边所对的锐角等于㉚ ⁠. （4）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的㉛ ⁠. 余角　 等于　 等于　 一半　 30°　 一半　 返回目录 方法点拨：已知直角三角形中的两边求第三边（没有明确谁是斜边） 时，一般要分： （1）所求边是斜边. （2）已知两边中的较长边是斜边进行讨论. 返回目录 3. 直角三角形的面积 若直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，则该直 角三角形的面积有以下计算公式： （1）S＝ ch. （2）S＝ ab. 方法点拨：已知直角三角形的三边，利用方程 ch＝ ab可求出直角三 角形斜边上的高. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2024·达州中考模拟）在平面直角坐标系中，点A（0，2）， 点B（1，0），点C为坐标轴上一点.若△ABC为等腰三角形，且∠ABC 为其中的一个底角，则点C的坐标不可能是（） A. （－1，0） B. （0，2＋ ） C. D. （0，2－ ） 返回目录 分析：∵点A（0，2），点B（1，0）， ∴AB＝ ＝ . 当点C的坐标为（－1，0）时，AC＝ ＝ ，BC＝1＋1 ＝2， ∴△ABC为等腰三角形，且∠ABC为其中的一个底角，不符合题 意，选项A不正确； 当点C的坐标为（0，2＋ ）时，AC＝2＋ －2＝ ，BC＝ ＝ ， 返回目录 ∴△ABC为等腰三角形，且∠ABC为其中的一个底角，不符合题 意，选项B不正确； 当点C的坐标为 时，AC＝2－ ＝ ，BC＝ ＝ ， ∴△ABC不是等腰三角形，符合题意，选项C正确； 当点C的坐标为（0，2－ ）时，AC＝2－2＋ ＝ ，BC＝ ＝ ， 返回目录 ∴△ABC为等腰三角形，且∠ABC为其中的一个底角，不符合题意， 选项D不正确. 答案：C 解题技巧：本题考查了等腰三角形的判定、两点的距离，利用勾股 定理求出AC、BC的值是解题的关键. 返回目录 　（宜宾中考）如下图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点 B、C、D在一条直线上，连接BE、AD，点M、N分别是线段BE、 AD上的两点，且BM＝ BE，AN＝ AD，则△CMN的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 返回目录 分析：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°， ∴∠BCA＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD. 在△BCE和△ACD中， ∵ ∴△BCE≌△ACD（SAS）， 返回目录 ∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD. ∵BM＝ BE，AN＝ AD， ∴BM＝AN. 在△MBC和△NAC中， ∵ ∴△MBC≌△NAC（SAS）， 返回目录 ∴MC＝NC，∠BCM＝∠NCA. ∵∠BCM＋∠MCA＝60°， ∴∠NCA＋∠MCA＝60°， 即∠MCN＝60°， ∴△MCN是等边三角形. 答案：C 返回目录 　（2023·凉山中考）如下图，边长为2的等边△ABC的两个顶点 A、B分别在两条射线OM、ON上滑动.若OM⊥ON，则OC的最大值 是 　. 返回目录 分析：如下图，取AB的中点D，连接OD、DC，则OC≤OD＋ DC. 当O、D、C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD. ∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴BD＝1，BC＝2， ∴CD＝ ＝ . ∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝ AB＝1， ∴OD＋CD＝1＋ ，即OC的最大值为1＋ . 答案：1＋ 返回目录 解题技巧：本题考查了直角三角形、等边三角形的性质，涉及直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，其中找出OC最大时的 长为CD＋OD是解本题的关键. 返回目录 　（2023·内蒙古赤峰中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，AB＝10，BC＝6，F是AB的中点，连接CF. 把线段CF沿射线 BC方向平移到ED，点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过区域形 成的四边形CFDE的周长和面积分别是（） A. 16，6 B. 18，18 C. 16，12 D. 12，16 返回目录 分析：由平移的性质可知，CF∥ED，CF＝ED，DF∥EC， ∴四边形CFDE是平行四边形. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝ ＝ ＝8. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，F是AB的中点， ∴CF＝ AB＝5. ∵DF∥CE，F是AB的中点， ∴ ＝ ＝ ，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°， 返回目录 ∴D是AC的中点， ∴CD＝ AC＝4. ∵F是AB的中点，D是AC的中点， ∴DF是Rt△ABC的中位线， ∴DF＝ BC＝3， ∴四边形CFDE的周长为2（DF＋CF）＝2×（3＋5）＝16， 四边形CFDE的面积为DF·CD＝3×4＝12. 答案：C 返回目录 　四川中考真题精练　 1. （2022·自贡中考）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多 20°，则这个底角的度数是（　B　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 返回目录 2. （2023·眉山中考）如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则 ∠ACD的度数为（　C　） A. 70° B. 100° C. 110° D. 140° C 返回目录 3. （2022·宜宾中考）如后图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的 点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，则四边形AEDF的 周长是（　B　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 B 返回目录 4. （2022·广安中考）若（a－3）2＋ ＝0，则以a、b为边长的等 腰三角形的周长为 ⁠. 5. （2024·内江中考）如下图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝ AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 ⁠. 11或13　 100°　 返回目录 6. （2022·绵阳中考）下列关于等边三角形的描述不正确的是（　C　） A. 是轴对称图形 B. 对称轴的交点是其重心 C. 是中心对称图形 D. 绕重心顺时针旋转120°能与自身重合 C 返回目录 7. （2024·自贡中考）如下图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D， AB长12米.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢 （　D　） A. （24－12 ）米 B. （24－8 ）米 C. （24－6 ）米 D. （24－4 ）米 D 返回目录 8. （2023·雅安中考）如下图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝ DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长 为 ⁠. 第8题 2 　 返回目录 9. 如下图，△ABC、△ECD均为等边三角形，边长分 别为5厘米、3厘米，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确 的 （填序号）. 第9题 ①AD＝BE；②BE＝7厘米；③△CFG为等边三角形；④CM＝ 厘 米；⑤MC平分∠BMD. ①②③⑤　 返回目录 10. 如下图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC. 求证：∠D＝∠E. 第10题 解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠D＝∠E. 返回目录 核心素养·推理能力 11.（2024·遂宁中考）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得 AD＝BE＝CF，连接三点得到△DEF，易得 △ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1－3S△ADF. 如图1，当 ＝ 时，S△DEF＝1－3× ＝ ； 返回目录 　如图2，当 ＝ 时，S△DEF＝1－3× ＝ ； 如图3，当 ＝ 时，S△DEF＝1－3× ＝ ； …… 直接写出，当 ＝ 时，S△DEF＝ 　 　. 　 返回目录 12. （2022·达州中考）如下图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于 点M、N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放.若 ∠EMB＝80°，则∠PNM的度数为（　C　） A. 15° B. 25° C. 35° D. 45° C 返回目录 13. （2022·南充中考）如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的 平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝ 5，DF＝3，则下列结论错误的是（　A　） A. BF＝1 B. DC＝3 C. AE＝5 D. AC＝9 A 返回目录 14. （2024·巴中中考）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭 赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问 题.即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（　C　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 C 返回目录 15. （2024·南充中考）如上图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点 B作BC⊥AB，使BC＝ AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC的长为 半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交 AB于点E. 若AE＝mAB，则m的值为（　A　） A. B. C. －1 D. －2 A 返回目录 16. （2024·宜宾中考）如下图，在△ABC中，AB＝3 ，AC＝2，以 BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大 值为（　D　） A. 2＋3 B. 6＋2 C. 5 D. 8 D 返回目录 17. （2024·达州中考）如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线 段BC上，且∠BAD＝45°.若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积 是 ⁠. 　 返回目录 18. （2024·甘孜中考）如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8， BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与 AC交于点E，则CE的长为 ⁠. 3　 返回目录 19. （2023·雅安中考）如下图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ 6，P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E， 则DE的最小值为 ⁠. 3 　 返回目录 核心素养·推理能力 20.勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4，则S1＋S2＋S3＝ ⁠. 48　 返回目录 $$