2025年四川省聚焦中考数学·一轮复习 -第4章　三角形 4.2　一般三角形与多边形

4.2　一般三角形与多边形 数 学 第四章　三角形 聚焦新中考·必备考点透析 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 1. 三角形的概念及分类 （1）概念：由不在同一直线上的三条线段① ⁠连接所得到的 图形叫作三角形. 首尾顺次　 返回目录 （2）分类 返回目录 方法点拨：（1）组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”，如果 在同一直线上，三角形就不存在. （2）三条线段“首尾顺次连接”，是指三条线段两两之间有一个公共 端点，这个公共端点就是三角形的顶点. 返回目录 2. 三角形中的重要线段——三角形的角平分线、中线、高、中位线和中 垂线 （1）三角形的角平分线. 概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶 点和交点的线段叫作三角形的⑥ ⁠. 性质：Ⅰ.如图，若AD为△ABC的角平分线，则有∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC. 角平分线　 返回目录 Ⅱ.三角形角平分线上的点到角两边的距离⑦ ⁠. Ⅲ.三角形有三条角平分线，均在三角形的⑧ ⁠. Ⅳ.三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离均相等， 称为三角形的⑨ ⁠. 相等　 内部　 内心　 方法点拨：一般利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质证线 段相等或构造全等三角形等. 返回目录 （2）三角形的中线. 概念：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫作三角形的 ⑩ .反过来，若AD为△ABC的BC边上的中线，则有BD＝CD ＝ BC. 性质：三角形的三条中线均在三角形的⑪ ，且相交于一点，该 点称为三角形的⑫ .每一条中线都将三角形分成面积⑬ ⁠ 的两部分. 中线　 内部　 重心　 相等　 返回目录 方法点拨：（1）如下图，若AD为△ABC的BC边上的中线，则△BAD 与△CAD的周长之差为AB－AC. （2）重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的⑭ 倍. 2　 返回目录 （3）三角形的高. 从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作 三角形这条边上的⑮ ⁠. 高　 返回目录 方法点拨：（1）若AD为△ABC的BC边上的高，则有AD⊥BC，S△ABC ＝ BC·AD. （2）如下图，三角形都有三条高，三角形三条高的交点为三角形的 ⑯ .锐角三角形的三条高都在三角形的⑰ ；直角三角 形有一条高在三角形的⑱ ，另外两条高恰好是它的两条⑲ ⁠ ；钝角三角形有一条高在三角形的⑳ ，另外两条高在三 角形的㉑ ⁠. 垂心　 内部　 内部　 直 角边　 内部　 外部　 返回目录 （3）一般作三角形的高求三角形的面积或构造直角三角形利用勾股定 理来解题. 返回目录 （4）三角形的中位线. 概念：连接三角形两边㉒ 的线段叫作三角形的中位线. 性质：三角形的中位线㉓ 于第三边，并且等于第三边的㉔ ⁠⁠. 中点　 平行　 一半 返回目录 方法点拨：（1）如下图，若EF为△ABC的中位线，则△AEF的面积是 △ABC面积的 ，是梯形BEFC面积的 ；△AEF的周长是△ABC周长的 一半，梯形BEFC的周长－△AEF的周长＝BC. （2）当三角形中遇到中点时，常构造三角形的中位线，进一步利用其 证明线段平行或倍分问题. （3）在平行四边形、菱形中，边上有中点时，常连接中点与对角线的 交点构造中位线. 返回目录 （5）三角形的中垂线. 三角形的边的中垂线有时也叫三角形的中垂线.三角形中垂线的交点是三 角形的外心，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 返回目录 方法点拨：如下图，三角形都有三条中垂线.锐角三角形的三条中垂线 交于三角形内部一点，即外心在三角形内部；直角三角形的三条中垂线 交于斜边中点处，即外心在斜边中点处；钝角三角形的三条中垂线交于 三角形外部一点，即外心在三角形外部. 返回目录 1. 三角形的稳定性 定义：如果三角形三边的长度固定，那么三角形的形状和大小就能唯一 确定.三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 应用：三角形的稳定性是三角形独有的性质，在现实生活中应用非常广 泛.如：大桥的钢架做成三角形、高压电线的支架做成三角形等. 方法点拨：由于四边形具有不稳定性，常通过改造将其变成三角形，从 而使其稳定. 返回目录 2. 三角形的三边关系 （1）三角形的任意两边之和㉕ 第三边. （2）三角形的任意两边之差㉖ 第三边. 方法点拨：三角形的三边关系一般有两个应用： （1）判定所给的三条线段能否构成三角形. （2）已知三角形的两边长，求第三边的取值范围. 大于　 小于　 返回目录 3. 三角形中角的关系 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和为㉗ ，即在 △ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝㉘ ⁠. （2）三角形的外角性质：三角形的任意一个外角㉙ ⁠与它不相邻 的两个内角之和；三角形的任意一个外角㉚ ⁠与它不相邻的任意 一个内角. （3）三角形的外角和：三角形的外角和等于㉛ ⁠. （4）边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对 ㉜ ，小边对㉝ ⁠. 180°　 180°　 等于　 大于　 360°　 大角　 小角　 返回目录 方法点拨：三角形的内角和定理与三角形外角的性质是求角的度数和证 明角之间的关系常用的依据. 返回目录 1. 多边形的概念 由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接 且不相交所组成的封闭图形叫作多边形. 2. 多边形的内角和与外角和定理 （1）内角和：n边形的内角和等于㉞ （n≥3）. （2）外角和：任意凸多边形的外角和都等于㉟ ⁠. （n－2）×180°　 360°　 返回目录 3. 多边形的对角线条数的计算公式 设一个多边形的边数为n（n≥3，且n为整数）. （1）从一个顶点出发的对角线有㊱ 条. （2）从一个顶点出发的所有对角线，可以把n边形分成㊲ ⁠ 个三角形. （3）这个n边形共有㊳ 条对角线. （n－3）　 （n－2）　 　 返回目录 4. 正多边形及其性质 （1）定义：各边都㊴ ，各角都㊵ 的多边形，叫作正多 边形. （2）正多边形的性质：正n边形的各边都㊶ ，各角都㊷ ⁠， 每个外角都㊸ ⁠. （3）正n边形的每个内角的度数为㊹ ；正n边形的每 个外角的度数为㊺ ⁠. 相等　 相等　 相等　 相等 相等　 　 　 返回目录 （4）当n为奇数时，正n边形是㊻ 图形，有㊼ ⁠条对称 轴；当n为偶数时，正n边形既是㊽ 图形，也是㊾ ⁠ 图形，正n边形的中心就是对称中心，有㊿ 条对称轴. 轴对称　 n　 中心对称　 轴对称 n　 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2024·绵阳中考模拟）已知一个三角形的两边长为8和6，第三 边的长是方程（x－2）（x－4）＝0的根，则这个三角形的周长是（） A. 16 B. 16或18 C. 18 D. 24 返回目录 分析：∵第三边的长是方程（x－2）（x－4）＝0的根， ∴x1＝2，x2＝4. ∵三角形的两边长为8和6， ∴第三边的取值范围是2＜x＜14， ∴第三边的长是4， ∴这个三角形的周长是6＋8＋4＝18. 答案：C 解题技巧：本题主要考查了解一元二次方程以及三角形的三边关 系，解题时要根据三边关系正确确定第三边的值. 返回目录 　（云南中考）如下图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的 中点，AD与BE相交于点F. 若BF＝6，则BE的长是 　. 返回目录 分析：在△ABC中，∵D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE∥AB，且DE＝ AB， ∴ ＝ ＝ . ∵BF＝6， ∴EF＝3， ∴BE＝BF＋EF＝9. 答案：9 返回目录 　（2023·湖北十堰中考）一副三角板按如下图所示的方式放置， 点A在DE上，点F在BC上.若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ 　. 返回目录 ∵∠EAB＝35°， ∴∠CAD＝180°－∠EAB－∠BAC＝85°， ∴∠AGD＝180°－∠D－∠CAD＝50°， ∴∠CGF＝∠AGD＝50°， ∴∠DFC＝180°－∠C－∠CGF＝100°. 分析：由题意，得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°. 答案：100° 返回目录 答案：100° 　如下图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为 　. 返回目录 分析：∵六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形， ∴AB＝BC＝BG， ∴∠BCG＝∠BGC. ∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6＝120°，正方形 ABGH的每个内角是90°， ∴∠CBG＝360°－120°－90°＝150°， ∴∠BCG＋∠BGC＝180°－150°＝30°， ∴∠BCG＝15°. 答案：15° 返回目录 　四川中考真题精练　 1. （2022·凉山中考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　C　） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 5，5，10 C 返回目录 2. 如下图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3.若 α＝50°，则β的度数为（　C　） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° C 返回目录 3. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角 形，则a的值可以是（　C　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 C 返回目录 4. （2024·凉山中考）一副直角三角板按如下图所示的方式摆放，点E在 AB的延长线上.当DF∥AB时，∠EDB的度数为（　B　） A. 10° B. 15° C. 30° D. 45° B 5. （2023·遂宁中考）若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形 是 三角形. 直角　 返回目录 核心素养·几何直观 6.（2023·湖南株洲中考）《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣 （xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半 的角叫作宣，一宣半的角叫作欘……”即：1宣＝ 矩，1欘＝1 宣（其 中，1矩＝90°）. 问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意 图.若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ ⁠. 22.5°　 返回目录 7. （2022·眉山中考）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D、E、 F分别为边AB、AC、BC的中点，则△DEF的周长为（　A　） A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 A 返回目录 8. （2024·广安中考）如下图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC的中 点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　D　） A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° D 返回目录 9. （2023·绵阳中考）如下图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线， 延长BC至点E，使CE＝CD. 若DE＝4 ，则AB＝（　C　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 8 C 返回目录 10. （2023·德阳中考）如下图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3， AC＝4，BD＝DE＝EC，F是AB边的中点，则DF＝（　A　） A. B. C. 2 D. 1 A 返回目录 11. （2022·广元中考）如下图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝ 90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以 A、D为圆心，大于 AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线 MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长为（　A　） A. B. 3 C. 2 D. A 返回目录 12. （2022·遂宁中考）如下图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其 中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF的面积的最大值为 （　A　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 A 返回目录 13. 如下图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线.若DE＝6，则BF的长为 （　A　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 A 返回目录 14. （2024·资阳中考）已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多 边形的边数是（　C　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 返回目录 15. （2024·遂宁中考）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到 一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为 （　C　） A. 36° B. 40° C. 45° D. 60° C 返回目录 16. （2022·南充中考）如下图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内 作正△ABF，则下列结论错误的是（　C　） A. AE＝AF B. ∠EAF＝∠CBF C. ∠F＝∠EAF D. ∠C＝∠E C 返回目录 17. 如下图，AC是正五边形ABCDE的对角线， ∠ACD的度数是（　A　） A. 72° B. 36° C. 74° D. 88° A 返回目录 18. 正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为 （　D　） A. 1∶3 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 3∶1 19. （2022·眉山中考）若一个多边形的外角和是内角和的 ，则这个多边 形的边数为 ⁠. D 11　 返回目录 20. （2024·广元中考）如后图，F是正五边形ABCDE的边DE的中点， 连接BF并延长与CD的延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ⁠. 18°　 返回目录 21. （2022·遂宁中考）如下图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在 正方形BMGH的边BH、GH上.若正方形BMGH的边长为6，则正六边形 ABCDEF的边长为 ⁠. 4　 返回目录 核心素养·应用意识 22.（2023·甘肃兰州中考）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗， 其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八 角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　A　） A. 45° B. 60° C. 110° D. 135° A 返回目录 $$