2025年四川省聚焦中考数学·必备考点透析课件-第3章　函数的图象与性质 3.2　一次函数

聚焦新中考·必备考点透析 第三章　函数的图象与性质 3.2　一次函数 数 学 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 一般地，如果两个变量x、y之间的关系式可以表示成① ⁠ （其中k、b为常数，k≠0）的形式，那么y叫作x的一次函数.特别地，当 b＝0时，一次函数y＝kx＋b就变成y＝kx（k≠0），这时，y叫作x的 ② 函数. 易错提示：正比例函数是特殊的一次函数. y＝kx＋b　 正比例　 返回目录 1. 一次函数y＝kx＋b的图象和性质 k＞0 k＜0 图象 返回目录 k＞0 k＜0 过 象 限 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 二、三、四 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 增 减 性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 返回目录 易错提示：一次函数的图象是与坐标轴不平行的直线，即一次函数的图 象是一条直线，但直线却不一定是一次函数的图象.例如：x＝a，y＝b分 别是平行于y轴、x轴的直线，但它们不是一次函数的图象. 返回目录 2. 一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴的交点及其求法 （1）与x轴的交点：令y＝0，得kx＋b＝0，解得x＝－ ，故与x轴的交点 坐标是③ ⁠. （2）与y轴的交点：令x＝0，得y＝b，故与y轴的交点坐标是④ ⁠⁠. 方法点拨：一次函数y＝kx＋b中的b就是这个一次函数的图象与y轴交点 的纵坐标. （－ ，0）　 （0， b） 返回目录 3. 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积如右图，直线y＝kx＋b （k≠0）与x轴的交点为A ，与y轴的交点为B（0，b），则 S△AOB＝ OA·OB＝ ·｜b｜＝ . 返回目录 4. 两条直线的交点坐标 求两条直线的交点坐标，只需把所给两个一次函数看成两个一次方程联 立起来，得到一个二元一次方程组，解这个二元一次方程组，得到的解 就是这两条直线的交点坐标. 返回目录 设原直线为y＝kx＋b，则函数的平移规律如下表： 方向 规律 口诀 右移 y＝k（x－n）＋b（n＞0）就是将原直线向右平移n个单位长度 左加右减，相对于x 左移 y＝k（x＋n）＋b（n＞0）就是将原直线向左平移n个单位长度 返回目录 方向 规律 口诀 上移 y＝kx＋b＋n（n＞0）就是将原直线向上平移n个单位长度 上加下减，相 对于b 下移 y＝kx＋b－n（n＞0）就是将原直线向下平移n个单位长度 上加下减，相 对于b 返回目录 1. 待定系数法 先根据明确的函数关系，设出函数解析式中的未知系数，再根据所给的 条件求出待定系数的值，从而求出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 其中设出的未知系数称为待定系数. 返回目录 2. 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 步骤 具体操作 设 设一次函数的解析式为y＝kx＋b 列 根据已知两点坐标，列出关于k、b的二元一次方程组 解 解方程组，求出k、b的值 写 将k、b的值代回y＝kx＋b中，写出函数的解析式 返回目录 易错提示：有些题中已有函数解析式，则直接应用，不必另设函数 解析式. 返回目录 1. 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数 一元一次方程 形式 y＝kx＋b kx＋b＝0 区别 表示（x，y）之间的关系，有无数对值 表示未知数x的值，最多有1个 值 返回目录 一次函数 一元一次方程 联 系 一次函数的图象与x轴交点的⑤ ⁠就是相应的一元一次方程 的根 例如：直线y＝4x＋8与x轴的交点是（－2，0），则一元一次方程4x ＋8＝0的根是x＝－2 横坐标　 返回目录 2. 一次函数和一元一次不等式的关系 一次函数 一元一次不等式 形 式 y＝kx＋b kx＋b＞0 区 别 表示（x，y）之间的关系，有无数对 值 表示未知数x的值，有无数个 值 联 系 解不等式kx＋b＞0就是求使一次函数y＝kx＋b的值⑥ 0的自 变量x的取值范围，即直线y＝kx＋b在x轴上方的所有点的横坐标所构 成的集合 大于　 返回目录 3. 一次函数与二元一次方程的关系 一次函数 二元一次方程 形 式 y＝kx＋b ax＋by＝c 区 别 表示（x，y）之间的关系，有无数 对值 表示未知数x、y的值，有无数 对值 返回目录 一次函数 二元一次方程 联 系 （1）以二元一次方程ax＋by＝c的解为坐标的点组成的图象，与一 次函数y＝－ x＋ 的图象相同 （2）二元一次方程组 的解可以看作两个一次函数y ＝－ x＋ 和y＝－ x＋ 的图象的交点坐标 返回目录 1. 用一次函数解决实际问题的一般步骤 （1）设出恰当的未知数，一般是问什么就设什么，然后将可以用未知数 表示的其他量也表示出来. （2）找出题中的等量关系，建立一次函数解析式. （3）利用待定系数法求出函数的解析式. （4）确定自变量的取值范围. （5）返回实际问题，进行问题分析，并检验. （6）作答. 返回目录 2. 一次函数应用题的常见类型及解题要点 类型 一般形式 解题要点 预测型 预测自变量取某值时，函数值的情况 用待定系数法即可，不要忽略自变量的 取值范围 选择型 两种定价方式的选择比较 求两个函数解析式，分段讨论 返回目录 类型 一般形式 解题要点 分段型 两个以上的一次函数拼接成一个分段函数 分段求函数解析式，标清楚各段的取值 范围，找准所求的问题在哪段 优化型 函数的整点问题，与不等式结合 解不等式，求整数解，确定最优方案 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 题型1　一次函数y＝kx＋b图象的平移变换 　（2022·广安中考）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x＋2的图 象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（） A. y＝3x＋5 B. y＝3x－5 C. y＝3x＋1 D. y＝3x－1 返回目录 分析：由“上加下减”的平移规律可知，将函数y＝3x＋2的图象向 下平移3个单位长度后，所得函数的解析式是y＝3x－1. 答案：D 解题技巧：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移 后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化.解析式变化的规 律是：左加右减，上加下减. 返回目录 题型2　用待定系数法求一次函数的解析式 　 如下图，已知直线l1：y＝－2x＋4与坐标轴分别交 于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为 （） A. y＝ x B. y＝x C. y＝ x D. y＝2x 返回目录 分析：如图，当y＝0时，y＝－2x＋4＝0，解得x＝2，则A（2，0）. 当x＝0时，y＝－2x＋4＝4， 则B（0，4）， ∴线段AB的中点坐标为（1，2）. ∵直线l2把△AOB的面积平分， ∴直线l2过线段AB的中点. 设直线l2的解析式为y＝kx. 把（1，2）代入，得k＝2， ∴直线l2的解析式为y＝2x. 返回目录 答案：D 解题技巧：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，明确直 线l2过线段AB的中点是解题的关键. 返回目录 　（2024·绵阳中考模拟）数形结合是解决数学问题常用的思想方 法.如下图，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y ＝ x都经过点A（3，1），当kx＋b＜ x时，根据图象可知，x的取值范 围是（） A. x＞3 B. x＜3 C. x＜1 D. x＞1 返回目录 分析：由图象可得， 当x＞3时，直线y＝ x在一次函数y＝kx＋b的上方， ∴当kx＋b＜ x时，x的取值范围是x＞3. 答案：A 解题技巧：本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答 本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 返回目录 　（2023·吉林中考）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧 道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备 而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y （米）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示. 返回目录 （1）甲组比乙组多挖掘了 　天. （2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值 范围. （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙 组已停工的天数. 返回目录 分析：（1）读图直接写出答案. 分析：（2）已知两点的坐标，用待定系数法求出k、b值，从而求出函数的解析式，根据图象写出自变量的取值范围. 分析：（3）求出乙组的挖掘量，然后求出甲组在同等工作量的条件下实际工作的天数，减去合作的天数即可. 解答：（1）30 返回目录 （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.∵点 （30，210）、（60，300）在图象上，∴解得∴函数的解析式为y＝3x＋120（30≤x≤60）. 返回目录 （3）由图象可知，甲组单独挖掘了30天，30天挖掘的长度是300－ 210＝90（米），∴甲组每天挖掘90÷30＝3（米）.前30天甲、乙合作共 挖掘了210米，则乙组单独挖掘的长度是210－90＝120（米）.当甲组挖 掘的长度是120米时，工作天数是120÷3＝40（天），乙组已停工的天数 是40－30＝10（天）. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. （2024·甘孜中考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象不 经过的象限为（　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 返回目录 2. （2024·德阳中考）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如下图所示，则 k的值可能是（　A　） A. B. － C. －1 D. － A 返回目录 3. （2022·眉山中考）若一次函数y＝（2m－1）x＋2的值随x的增大而 增大，则点P（－m，m）所在象限为（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. （2023·巴中中考）若一次函数y＝（k－3）x＋2的函数值y随x增大 而减小，则k的取值范围是（　D　） A. k＞0 B. k＜0 C. k＞3 D. k＜3 B D 返回目录 5. 若一次函数y＝（2m＋1）x＋m－3的图象不经过 第二象限，则m的取值范围是（　D　） A. m＞－ B. m＜3 C. － ＜m＜3 D. － ＜m≤3 D 返回目录 6. （2024·自贡中考）一次函数y＝（3m＋1）·x－2的值随x的增大而增 大，请写出一个满足条件的m的值： ⁠. 7. 在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增 大，则点P（3，k）在第 象限. 8. 若一次函数y＝（2a＋3）x＋2的值随x值的增大而 减少，则常数a的取值范围是 ⁠. 1　 一　 a＜－ 　 返回目录 9. 如下图，已知点A（－2，3）、B（2，1），直线y ＝kx＋k经过点P（－1，0）.试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情 况，猜想k的取值范围是 ⁠. 第9题 k≤－3或k≥ 　 返回目录 10. 将直线y＝－2x－1向上平移2个单位长度，平移后 的直线所对应的函数解析式为（　C　） A. y＝－2x－5 B. y＝－2x－3 C. y＝－2x＋1 D. y＝－2x＋3 C 题型2　一次函数y＝kx＋b图象的平移变换 返回目录 11. 在平面直角坐标系中，将函数y＝3x＋2的图象向 下平移3个单位长度，所得的函数解析式是（　D　） A. y＝3x＋5 B. y＝3x－5 C. y＝3x＋1 D. y＝3x－1 D 12. （2023·雅安中考）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标 原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数解析式 为（　A　） A. y＝－x＋1 B. y＝x＋1 C. y＝－x－1 D. y＝x－1 A 返回目录 13. 直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如下图 所示，则不等式kx＋b≤2的解集是（　C　） A. x≤－2 B. x≤－4 C. x≥－2 D. x≥－4 C 返回目录 14. （2023·德阳中考）已知直线y＝3x＋a与直线y＝－2x＋b交于点 P，若点P的横坐标为－5，则关于x的不等式3x＋a＜－2x＋b的解集为 （　A　） A. x＜－5 B. x＜3 C. x＞－2 D. x＞－5 A 返回目录 15. （2024·眉山中考）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚.近年来眉山 市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A 款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进 价比B款文创产品进价多15元. （1）A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？ 返回目录 解：（1）设A款文创产品每件的进价a元，则B款文创产品每件的进价是 （a－15）元.根据题意，得 ＝ .解得a＝80.经检验，a＝80是原分 式方程的解，且符合题意，则80－15＝65.故A款文创产品每件的进价是 80元，B款文创产品每件的进价是65元. 返回目录 （2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80 元，根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文 创产品共100件进行销售.问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最 大？最大利润是多少元？ 解：（2）设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品（100－x）件， 总利润为w.根据题意，得80x＋65（100－x）≤7 400.解得x≤60.根据题 意，得w＝（100－80）x＋（80－65）·（100－x）＝5x＋1 500.∵k＝5 ＞0，w随x的增大而增大，∴当x＝60时，利润最大，w最大＝5×60＋ 1 500＝1 800.故购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使 销售完后获得的利润最大，最大利润是1 800元. 返回目录 16. （2024·甘孜中考）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日 前夕，某商场购进A、B两种粽子共200盒进行销售.经了解，进价与标价 如下表所示（单位：元/盒）： 种类 进价（元） 标价（元） A 90 120 B 50 60 返回目录 （1）设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y 关于x的函数解析式.（不必写出自变量x的取值范围） 解：（1）y＝（120－90）x＋（60－50）（200－x）＝20x＋2 000.即y关 于x的函数解析式为y＝20x＋2 000. （2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元.请问至少需要 购进A种粽子多少盒？ （2）由题意，得20x＋2 000≥3 000.解得x≥50.故至少需要购进A种粽子 50盒. 返回目录 17. （2024·德阳中考）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一， 至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传 统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成.为了迎接端午 节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和 肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A种组合有4枚糯米咸鹅 蛋和6个肉粽，B种组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽.A、B两种组合的进 价和售价如下表所示： 价格 A B 进价（元/件） 94 146 售价（元/件） 120 188 返回目录 （1）每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ 解：（1）设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元，每个肉粽的进价是y元.根据 题意，得解得故每枚糯米咸鹅蛋的进价是16 元，每个肉粽的进价是5元. 返回目录 （2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5 件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出， 为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ 解： （2）设该超市准备m件A种组合，则该超市准备（3m－5）件B种组合.根据题意，得m＋3m－5≤95.解得m≤25.设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（120－94）m＋（188－146） （3m－5），即w＝152m－210.∵152＞0，∴w随m的增大而增大， ∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为152×25－210＝3 590.故为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3 590元. 返回目录 18. （2023·达州中考）某县著名传统土特产品“豆笋”“豆干”以“浓 郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱.已知2件豆笋和3件 豆干的进价为240元；3件豆笋和4件豆干的进价为340元. （1）分别求出每件豆笋、豆干的进价. 解：（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元.根据题意， 得解得故每件豆笋的进价为60元，每件豆干 的进价为40元. 返回目录 （2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的 数量不低于豆干数量的 ，该特产店有哪几种进货方案？ 解： （2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200－a）件.根据题意，得 解得120≤a≤122，且a为整数，∴当 a＝120时，200－a＝80；当a＝121时，200－a＝79；当a＝122时，200－ a＝78.∴该特产店有以下三种进货方案：购进豆笋120件，购进豆干80 件；购进豆笋121件，购进豆干79件；购进豆笋122件，购进豆干78件. 返回目录 （3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在 （2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得的利润最大？最大利润 为多少元？ 解： （3）设总利润为w元，则w＝（80－60）a＋（55－40）·（200－a）＝5a＋3 000.∵5＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝122时，w取得最大 值，最大值为5×122＋3 000＝3 610（元）.故购进豆笋122件，购进豆干 78件可使该特产店获得的利润最大，最大利润为3 610元. 返回目录 核心素养·推理能力 19.（2022·辽宁阜新中考）如下图，在平面直角坐标系中，在直线y＝x＋ 1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影 部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第100个 等腰直角三角形的面积是（　C　） A. 298 B. 299 C. 2197 D. 2198 C 返回目录 $$