湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期数学限时训练（七）

崇阳二中高二数学限时训练（七） 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 2. “”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 二、多选题 4. 直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ）  A．， B．， C． D． 二、填空题 5. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 . 6. 下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②若直线的倾斜角为，则实数的值为； ③已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为或 ④设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或． 7. 在中，，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示． (1)求证：平面； (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成线面角为，求的最大值． 崇阳二中高二数学限时训练（七）答案 1．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，点， 若点与点关于平面对称，可得， 则向量，所以. 故选：A. 2．“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 3．下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【分析】当反向时，，可得A错误；利用共线向量定义可知，当向量共线时，向量所在的直线不一定平行，即B错误；当共线时，由共线向量定义知不一定为1，可知C错误；由空间向量证明点共面可知D正确. 【详解】对于A，当同向时，， 当反向时，，故A错误； 对于B，若共线，则或四点共线，故B错误； 对于C，若共线时，则可知A，B，C三点共线，不一定为1， 比如，，可得A，B，C三点共线，必要性不成立，故C错误； 对于D，因为三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知四点共面，故D正确， 故选：D 4．直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．， B．， C． D． 【答案】BD 【分析】利用直线，的横截距判断AB；利用直线，斜率的大小判断CD. 【详解】依题意，直线的横截距，直线的横截距，A错误，B正确； 直线的斜率，直线的斜率，则，于是，C错误，D正确. 故选：BD 5．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解. 【详解】由条件可得，， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为： 6．下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②若直线的倾斜角为，则实数的值为； ③已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为或 ④设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或． 【答案】②③④ 【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④． 【详解】直线即直线， 当时，，即直线恒过定点，①错误； 直线，倾斜角为，斜率为，所以，②正确； 因为直线过点，且在轴上截距相等， 当截距都为0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为， 所以直线的方程为或，③故正确． 若倾斜角小于，逆时针旋转，倾斜角加，即； 若倾斜角大于或等于，逆时针旋转，倾斜角为，④故正确； 故答案为：②③④． 7．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示． (1)求证：平面； (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成线面角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，可得，进而可得平面； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）根据题意可得和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）因为，则， 且，可得， 将沿折起到的位置，始终有，， 因为，，平面，所以平面， 由平面，可得， 且，，，平面， 所以平面. （2）由（1）可知，，，两两垂直，翻折前，因为经过的重心，且， 所以，所以，，，翻折后， 由勾股定理得， 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 可得， 且，则， 所以二面角的正弦值为. （3）由（2）可知，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 且， 因为直线与平面线面角为， 则 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$