第十七讲　三角形 2025年中考数学人教版一轮复习专题练习（山东）

第十七讲　三角形 A层·基础过关 1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是 (C) A.1,3,4　　　　 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6 2.若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 (B) A.1 B.5 C.7 D.9 3.(2024·东营区一模)如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点C落在直线b上,若∠A=50°,∠1=110°,则∠2的度数为 (D) A.40° B.50° C.60° D.70° 4.(2024·淄博沂源县二模)杜师傅在做完门框后,为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条,这样做的数学原理是　三角形的稳定性　.  5.(2024·菏泽郓城县一模)已知四边形ABCD,AB=2,BC=3,CD=4,AD=d,则d的取值范围为　0<d<9　.  6.一副三角板按如图所示放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=　100°　.  7.(2024·临沂郯城模拟)如图所示,△ABC,△CDE均为直角三角形,且∠B=45°, ∠D=30°,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求证:CF∥AB; (2)求∠DFC的度数. 【解析】(1)∵∠DCE=90°,且CF平分∠DCE, ∴∠FCE=∠DCE=45°, 又∵∠B=45°, ∴∠FCE=∠B,∴CF∥AB. (2)由(1)知,∠FCE=45°. 在Rt△CDE中,∵∠D=30°,∴∠E=60°. ∴∠DFC=∠E+∠FCE =60°+45° =105°. B层·能力提升 8.(2024·聊城茌平区一模)一副三角板如图所示摆放,若∠1=80°,则∠2的度数是 (B) A.80° B.95° C.100° D.110° 9.在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是 (C) A.1 B.2 C.6 D.8 10.如图,在△ABC中,∠B=22.5°,∠C=45°,若AC=2,则△ABC的面积是 (D) A. B.1+ C.2 D.2+ 11.(2024·聊城东昌府区二模)将一副三角板按如图放置,其中∠B=∠C=45°,∠D=60°,∠E=30°,如果∠CAD=150°,则∠4=(A) A.75° B.80° C.60° D.65° 12.(2024·临沂河东区一模)如图,点D是△ABC的边BC上的中线,AB=6,AD=4,则AC的取值范围为 (A) A.2<AC<14 B.2<AC<12 C.1<AC<4 D.1<AC<8 13.(2024·聊城阳谷县一模)如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=100°,点M是射线AB上的一个动点,过点M作MN∥BC交射线AC于点N,连接BN.若△BMN中有两个角相等,则∠MNB的度数不可能是 (B) A.25° B.30° C.50° D.65° 14.如图,在△ABC中,若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C=　55　°.  C层·素养挑战 15.如果一个三角形有两条互相垂直的中线,我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P,称△ABC这样的三角形为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c. 特例探索 (1)如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a=2,b=2;  如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=2,b=2.  归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果,用等式表示对a2,b2,c2三者之间关系的猜想,并利用图3证明a2,b2,c2三者之间的关系. 【解析】(1)如图1,连接EF, ∵AF⊥BE, ∴∠APB=∠APE=90°, 当∠ABE=45°,c=2时,AP=PB=2, ∵AF,BE是△ABC的中线, ∴EF∥AB,EF=AB=, ∴===,∴PE=PF=1, 由勾股定理得AE===,BF===, ∴b=2AE=2,a=2BF=2; 如图2,连接EF,当∠ABE=30°,c=4时, 在Rt△APB中,AB=c=4,∠ABE=30°, ∴AP=AB=2,PB=2, ∵EF∥AB,∴===, ∴PE=,PF=1, 由勾股定理得AE===, BF===, ∴b=2AE=2,a=2BF=2; (2)猜想:a2+b2=5c2,理由如下: 如图3,连接EF, ∵AF,BE是△ABC的中线,∴EF是△ABC的中位线, ∴EF∥AB,且EF=AB=c, ∴===, 设PF=m,PE=n, ∴AP=2m,PB=2n, 在Rt△APB中,(2m)2+(2n)2=c2, 在Rt△APE中,(2m)2+n2=(b)2, 在Rt△FPB中,m2+(2n)2=(a)2, ∴a2+b2=5c2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七讲　三角形 A层·基础过关 1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( ) A.1,3,4　　　　 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6 2.若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 ( ) A.1 B.5 C.7 D.9 3.(2024·东营区一模)如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点C落在直线b上,若∠A=50°,∠1=110°,则∠2的度数为 ( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 4.(2024·淄博沂源县二模)杜师傅在做完门框后,为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条,这样做的数学原理是 .  5.(2024·菏泽郓城县一模)已知四边形ABCD,AB=2,BC=3,CD=4,AD=d,则d的取值范围为 .  6.一副三角板按如图所示放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC= .  7.(2024·临沂郯城模拟)如图所示,△ABC,△CDE均为直角三角形,且∠B=45°, ∠D=30°,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求证:CF∥AB; (2)求∠DFC的度数. B层·能力提升 8.(2024·聊城茌平区一模)一副三角板如图所示摆放,若∠1=80°,则∠2的度数是 ( ) A.80° B.95° C.100° D.110° 9.在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是 ( ) A.1 B.2 C.6 D.8 10.如图,在△ABC中,∠B=22.5°,∠C=45°,若AC=2,则△ABC的面积是 ( ) A. B.1+ C.2 D.2+ 11.(2024·聊城东昌府区二模)将一副三角板按如图放置,其中∠B=∠C=45°,∠D=60°,∠E=30°,如果∠CAD=150°,则∠4=( ) A.75° B.80° C.60° D.65° 12.(2024·临沂河东区一模)如图,点D是△ABC的边BC上的中线,AB=6,AD=4,则AC的取值范围为 ( ) A.2<AC<14 B.2<AC<12 C.1<AC<4 D.1<AC<8 13.(2024·聊城阳谷县一模)如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=100°,点M是射线AB上的一个动点,过点M作MN∥BC交射线AC于点N,连接BN.若△BMN中有两个角相等,则∠MNB的度数不可能是 ( ) A.25° B.30° C.50° D.65° 14.如图,在△ABC中,若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C= °.  C层·素养挑战 15.如果一个三角形有两条互相垂直的中线,我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P,称△ABC这样的三角形为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c. 特例探索 (1)如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a= ,b= ;  如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a= ,b= .  归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果,用等式表示对a2,b2,c2三者之间关系的猜想,并利用图3证明a2,b2,c2三者之间的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$