微专题43 恒成立问题与能成立问题7种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题43 恒成立问题与能成立问题7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 单变量不等式恒成立问题--函数性质法 题型2 单变量不等式恒成立问题--分离参数法 题型3 单变量不等式能成立问题 题型4 任意-任意型不等式成立问题 题型5 任意-存在型不等式成立问题 题型6 存在-存在型不等式成立问题 题型7 任意-存在型等式成立问题 一、解决不等式恒成立、能成立的问题的常用方法 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 1、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 注：ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 2、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 3、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 4、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 5、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 二、单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解： 1、∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min 2、∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max 3、∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max 4、∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min 三、双变量不等式与等式 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d] （1）不等关系 (1)若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min； (2)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max； (3)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)min； (4)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max． （2） 相等关系 记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B, (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B； (3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅； 题型1 单变量不等式恒成立问题--函数性质法 【例1】若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．B．C．D． 【变式1】设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式3】已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知，且在上恒成立，求的取值范围； 题型2 单变量不等式恒成立问题--分离参数法 【例2】已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为 ． 【变式4】已知函数 (1)若的解集为，求实数，的值； (2)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式5】已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并加以证明． (2)若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 题型3 单变量不等式能成立问题 【例3】若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知定义域在R上的函数满足：，且当时，． (1)证明函数在定义域上的单调性； (2)证明函数在定义域上奇偶性； (3)若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 题型4 任意-任意型不等式成立问题 【例4】已知函数，若对，都有，则的取值范围为 【变式1】已知定义在上的偶函数与奇函数满足． (1)求，的解析式； (2)已知函数，若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式，并说明其在的单调性（不需要证明）； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 题型5 任意-存在型不等式成立问题 【例5】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 . 【变式2】已知函数，. (1)若集合为单元素集，求实数的值； (2)在（1）的条件下，对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【变式3】已知函数为偶函数，且时，. (1)求时，的解析式； (2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围. 题型6 存在-存在型不等式成立问题 【例6】已知函数． (1)若，对任意的，都有成立，求实数k的最小值； (2)存在不相等的实数，使得成立，求正实数a的取值范围． 【变式1】已知函数的单调增区间是，且图形经过点 (1)求的解析式； (2)令函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式2】设函数（a，b为常数且），且的最小值为0，当时，，且为R上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)，有成立，求实数m的取值范围． 题型7 任意-存在型等式成立问题 【例7】已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围 ． 【变式1】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求，的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式2】已知函数（）． (1)若的定义域和值域均是，求实数a的值； (2)若在区间上是减函数，且对任意的，都有．求实数a的取值范围； (3)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【变式3】已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围 . $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题43 恒成立问题与能成立问题7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 单变量不等式恒成立问题--函数性质法 题型2 单变量不等式恒成立问题--分离参数法 题型3 单变量不等式能成立问题 题型4 任意-任意型不等式成立问题 题型5 任意-存在型不等式成立问题 题型6 存在-存在型不等式成立问题 题型7 任意-存在型等式成立问题 一、解决不等式恒成立、能成立的问题的常用方法 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 1、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 注：ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 2、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 3、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 4、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 5、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 二、单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解： 1、∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min 2、∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max 3、∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max 4、∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min 三、双变量不等式与等式 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d] （1）不等关系 (1)若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min； (2)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max； (3)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)min； (4)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max． （2） 相等关系 记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B, (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B； (3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅； 题型1 单变量不等式恒成立问题--函数性质法 【例1】若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】命题“，”为假命题，所以它的否定为真命题，建立不等式求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以它的否定“，”为真命题， 则，解得． 故选：D 【变式1】设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出. 【详解】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B 【变式3】已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4】已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 原命题等价于：任意，使为真命题， 所以，其中 设， 则 函数，的最大值为与中的较大者， 所以，∴，解得，故选：C. 【变式5】已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知，且在上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案； （2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案. 【详解】（1）解：当时，， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为：； （2）因为，且在上恒成立， 则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递增，则， 又在上恒成立，转化为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 题型2 单变量不等式恒成立问题--分离参数法 【例2】已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，再结合基本不等式即可得解. 【详解】当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以. 故选：B. 【变式1】已知关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求解最值，即可将问题转化为，解一元二次不等式即可求解. 【详解】不等式恒成立，所以，则， 令，，则，当时，取得最大值，最大值为0， 所以，解得或． 故选：D． 【变式2】若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为， 设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为2. 因为恒成立，所以. 故选：C. 【变式3】若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，则不等式在区间上恒成立，所以，再根据二次函数最值得求法，求解即可. 【详解】令，由题可得不等式在区间上恒成立， 所以，令，则， 所以. 故答案为： 【变式4】已知函数 (1)若的解集为，求实数，的值； (2)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得到，解得答案. （2）变换得到，利用均值不等式计算最值即可. 【详解】（1），即，其解集为， 则，解得，； （2），，即， ，当且仅当，即时等号成立，故， 即. 【变式5】已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并加以证明． (2)若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）先化简函数解析式，利用奇函数的定义求得的值，再判断单调性利用定义证明； （2）根据的奇偶性和单调性解抽象不等式，转化为二次型不等式恒成立问题，再用分离参数法可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为为奇函数，所以， 所以， 则 所以； 函数，在上单调递增. 下面用单调性定义证明： 任取，且，则 因为在上单调递增，且，所以， 又，所以， 所以函数在上单调递增. （2）因为为奇函数，所以， 由得， 即， 由（1）可知,函数在上单调递增， 所以， 即不等式 对一切恒成立, 则， 又，所以当时，取最大值，最大值为， 所以要使恒成立，则， 所以的取值范围为. 题型3 单变量不等式能成立问题 【例3】若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知“，使得”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，所以实数a的取值范围为. 故选：B 【变式1】若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 【变式2】已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 【变式3】若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式在区间内有解，转化为，求出的最大值可得答案. 【详解】因为，所以由不等式得， 不等式在区间内有解， 只需， 因为在上单调递增， 所以的最大值为，可得， 解得. 故选：D. 【变式4】已知函数，，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，，三种情况讨论，的正负情况，得到时符合题目要求，当时，恒成立，然后分，，，四种情况讨论，求的范围即可. 【详解】当时，，符合题目要求； 当时，，符合题目要求； 当时，，所以，即不等式在时恒成立， 当时，不等式为，解得，符合要求； 当时，不成立； 当时，的对称轴为，又，符合要求； 当时，的对称轴为，则，解得，所以； 综上所述，. 故选：D. 【变式5】若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为在恒成立，令，分、、讨论，再结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案. 【详解】因为，所以， 即在恒成立， 令， 时， 由，方程无解； 由，解得由； 由，方程组无解； 时，只须即可，解得； 时，，时单调递减，，满足题意；综上所述，.故选：B. 【变式6】已知定义域在R上的函数满足：，且当时，． (1)证明函数在定义域上的单调性； (2)证明函数在定义域上奇偶性； (3)若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减，证明过程见解析 (2)奇函数，证明过程见解析 (3) 【分析】（1）先令，得到，再令且，得到，得到答案； （2）令得，得到答案； （3）根据函数的奇偶性和单调性变形为在上有解，根据单调性求出的值域，从而求出实数的取值范围. 【详解】（1）在R上单调递减，理由如下： 中，令得， 解得， 故，即， 令且， 则，故在R上单调递减； （2）为奇函数，理由如下： 因为，令得， 故为奇函数； （3）因为，使得关于的不等式成立， 又由（2）知为奇函数， 所以， 又由（1）知在R上单调递减， 故在上有解， 即在上有解， 其中在上单调递增， 故，故只需， 实数的取值范围是 题型4 任意-任意型不等式成立问题 【例4】已知函数，若对，都有，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题意将问题转化为 在上，再分和两种情况，结合对数函数的单调性，可求出的取值范围. 【详解】当时，在上递增， 因为对，都有， 所以，所以， 所以，解得； 当时，在上递减， 因为对，都有， 所以，所以， 所以，解得； 综上，或， 即的取值范围为， 故答案为：. 【变式1】已知定义在上的偶函数与奇函数满足． (1)求，的解析式； (2)已知函数，若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）利函数奇偶性定义即可求得，的解析式； （2）先求得的表达式，再将转化为，按a分类讨论求得的最大值与最小值，进而求得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得， 则， . （2）． 令，，则 记， 由题意得当时，． ①当时，易知在上单调递增， 故，， 则， 解之得，又，． ②当时，对称轴， 在上单调递增，在上单调递减． 当，即时， ，， ，符合题意； （ii）当，即时， ， ，符合题意； （iii）当，即时， ，， ， 解得，又，； 综上，a的取值范围是． 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式，并说明其在的单调性（不需要证明）； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为；在上是增函数． (2)． (3)． 【分析】（1）根据奇函数的性质和得到的解析式，然后根据解析式判断单调性即可； （2）根据奇偶性和单调性解不等式即可； （3）将对任意的，都有转化为在区间上，，然后根据单调性得到最值，最后解不等式即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有，且，则，解得， 经检验符合题意，则函数的解析式为； 函数在上是增函数． （2）由于奇函数在上是增函数， 则不等式，即为， 即有，解得，则有， 即等式的解集为． （3）因为对任意的，都有， 等价于在区间上，， 又在区间（）是增函数， 得，， 从而由， 解得或． 所以的取值范围为． 题型5 任意-存在型不等式成立问题 【例5】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的关键是将已知转化为在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可. 【详解】由得，，当时，， ∴在单调递减，∴是函数的最小值， 当时，为增函数，∴是函数的最小值， 又∵，都，使得， 可得在的最小值不小于在的最小值， 即，解得， 故选：A． 【变式1】已知，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】对任意，都存在，使得，只需即可. 【详解】，在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，. 在R上单调递减，所以当时，. 因为对任意，都存在，使得， 所以只需即可， 即，解得，即m的取值范围是. 故答案为： 【变式2】已知函数，. (1)若集合为单元素集，求实数的值； (2)在（1）的条件下，对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，关于的方程有两个相等的实根，可得出，即可解得实数的值； （2）分析可知，存在，使得，求出函数在上的最小值，结合参变量分离法可得出，然后利用单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意可知，集合为单元素集，且， 由，其中，整理可得， 所以，关于的方程有两个相等的实根， 所以，，解得，合乎题意，故. （2）解：当时，， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 当时，， 对任意的，总存在，使成立， 则存在，使得，则，可得， 所以，， 令，其中， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 当时，，故， 因此，实数的取值范围是. 【变式3】已知函数为偶函数，且时，. (1)求时，的解析式； (2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由函数的奇偶性求出函数在上的解析式； （2）换元法求出时函数的最值，结合函数的奇偶性得到在上的值域为，结合题目条件得到的值域是的值域的子集，分和，两种情况，结合的单调性得到相应的值域，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）时，， 所以， 因为为偶函数，所以， 则，； （2）因为为偶函数，所以在和上的值域相同， 当时，， 令，则，， 所以函数化为，， 所以时，；时，， 即在上的值域为. 又对，，使得成立， 所以的值域是的值域的子集， ①当时，在上的值域为 则，解得 ②当时，在上的值域为， 则，解得 综上所述，实数的取值范围为或. 题型6 存在-存在型不等式成立问题 【例6】已知函数． (1)若，对任意的，都有成立，求实数k的最小值； (2)存在不相等的实数，使得成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）转化为成立即可，再利用时的单调性可得答案； （2）转化为在不单调即可，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）由题意可得，只需满足成立即可， 又因为，当时，， 所以在上单调递减， 所以，， 可得， 所以实数k的最小值为4； （2）由题意可得，若存在实数，使得成立， 则只需满足在不单调即可， 又因为， 若，则在上单调递减，不合题意， 若，则在上单调递减，在上单调递增，符合题意， 所以实数a的取值范围是. 【变式1】已知函数的单调增区间是，且图形经过点 (1)求的解析式； (2)令函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由二次函数的性质可得，再将点代入，求出参数即可求解. （2），利用对勾函数的单调性求出的最大值、最小值即可求解. 【详解】（1）由的单调增区间是，函数图象的对称轴，得， 解得，即，由函数图象过点，得，解得， 所以的解析式. （2）当时，由（1）知，， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，，有， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】设函数（a，b为常数且），且的最小值为0，当时，，且为R上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)，有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合二次函数的性质得出，进而由奇偶性得出函数的解析式； （2）可化为，即，再由对勾函数的单调性讨论即可. 【详解】（1）因为且的最小值为0，所以，解得 即. 当时，， 即. 故 （2）因为，所以. 所以可化为. 即. 令，构造函数，由对勾函数的单调性可知 该函数在上单调递减，在上单调递增，. 即的最小值为. 当时，函数在上单调递增，此时，不合题意； 当时，函数在上单调递增，此时，不合题意； 当时，令，构造函数， ①若，由对勾函数的单调性可知，该函数在上单调递增，即，，解得，不合题意； ②若，由对勾函数的单调性可知，该函数在上单调递减， 在上单调递增. （i）当，即时，， 由，解得，不合题意； （ii）当，即时，， 由，解得，即，满足题意； ③若，该函数在上单调递减，即，由，解得，即满足题意； 综上， 【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于利用对勾函数的单调性得出，同时也将不等式的能成立问题转化为函数的最值问题进行解决. 题型7 任意-存在型等式成立问题 【例7】已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可判断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可. 【详解】由题意知； 当时，， 故需同时满足以下两点： ①对时， ∴恒成立， 由于当时，为增函数， ∴； ②对时，， ∴恒成立， 由于，当且仅当，即时取得等号， ∴， ∴， 故答案为： 【变式1】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求，的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，分别是偶函数和奇函数列方程组求解； （2）将问题转化为的值域是在区间上值域的子集，求出各自的值域，然后列不等式求解. 【详解】（1）因为，分别是偶函数和奇函数， ①， 所以，即② ①-②可得，即， ①+②可得，即. 所以，； （2）由（1）可知，图象开口向上，对称轴为， 又容易得在区间上的值域为 由题可知，的值域是在区间上值域的子集. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 所以，得. 当时，在区间上单调递减， 所以，. 所以，得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】已知函数（）． (1)若的定义域和值域均是，求实数a的值； (2)若在区间上是减函数，且对任意的，都有．求实数a的取值范围； (3)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）先确定单调性，根据单调性列方程组求解； （2）根据函数单调性求出在区间上的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题列不等式求解； （3）求出函数和的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，进而可列不等式求解. 【详解】（1） 在上单调递减，又， 在上单调递减， ，即， 解得； （2）在区间上是减函数， ， ， ， 时，， 又对任意的，都有， ， ； （3）∵，明显其在上单调递增， 当时， 又在上单调递减， ∵对任意的，都存在，使得成立 ∴ ∴ ∴ 即. 【变式3】已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围 . 【答案】 【分析】即求的值域是值域的子集 【详解】当时， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的值域为，在上的值域为， 所以在上的值域为， 当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得：, 当时，为减函数，在上的值域为，解得：, 当时，为常数函数，值域为，不符合题意； 综上：的取值范围是, 故答案为： $$