微专题9　中点常见问题及辅助线作法 课件 2025年中考数学总复习人教版（山东）

微专题9　中点常见问题及辅助线作法 类型1　直角三角形+斜边中点,作斜边上的中线 特点 在直角三角形中,有斜边上的中点 示例 结论 在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB的中点,作斜边上的中线CD,则有CD=AD=BD=AB 思路 作用 (1)有时有中点无直角,要寻找直角,可简记为“直角+中点,等腰必呈现”. (2)作用:①证明线段相等或求线段长; ②构造角相等进行等量代换 ‹#› 【针对训练】 1.(2024·巴中中考)如图,在△ABC中,D是AC的中点,CE⊥AB,BD与CE交于点O, 且BE=CD.下列说法错误的是 ( ) A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC=3∠ABD C.当E为AB中点时,△ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时,= D ‹#› 类型2　等腰三角形+底边中点,作底边上的中线 特点 在等腰三角形中,底边有中点 示例 结论 在△ABC中,AB=AC,D为BC边中点,连接AD.则有BD=CD,∠BAD=∠CAD, AD⊥BC 作用 利用“三线合一”的性质,可用来解决线段相等、平行问题及角度之间的数量关系 ‹#› 【针对训练】 2.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2,D为BC的中点,AE=AB,则△EBD的面积 为( ) A. B. C. D. B ‹#› 类型3　边的垂线+中点,构造等腰三角形 特点 经过线段的中点,出现线段的垂线 示例 结论 点D是BC中点,DE⊥BC,连接BE,根据垂直平分线的性质可以得到: BE=CE ‹#› 【针对训练】 3.(2024·临沂郯城县二模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=BC=2AD=8, 边CD的垂直平分线分别交AB,CD于点E,F,则AE的长为 ( ) A.6　 B.4　 C.7　 D.2 C ‹#› 4.(2024·烟台蓬莱区二模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点O为对角线BD的中点,过点O的直线l分别与AD,BC所在的直线相交于点E,F.(点E不与点D重合) (1)求证:△DOE≌△BOF; (2)当直线l⊥BD时,连接BE,DF,试判断四边形EBFD的形状,并说明理由. ‹#› 【解析】(1)∵AD∥BC, ∴∠ODE=∠OBF, ∵点O为对角线BD的中点,∴OD=OB, 在△DOE和△BOF中, , ∴△DOE≌△BOF(ASA). ‹#› (2)四边形EBFD是菱形,理由如下: ∵OD=OB,直线l经过点O且l⊥BD, ∴直线l是线段BD的垂直平分线, ∴DE=BE,DF=BF, ∵△DOE≌△BOF, ∴DE=BF, ∵DE=BE=DF=BF, ∴四边形EBFD是菱形. ‹#› 类型4　任意三角形+中点,构造三角形中位线 特点 多个中点出现或平行+中点(中点在平行线上) 示例 结论 如图①,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,连接DE.则有DE∥BC,DE=BC 如图②,在△ABC中,点D为AB的中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则有AE=EC,DE=BC ‹#› 【针对训练】 5.(2024·淄博张店区一模)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,E,F分别为边AC,BC上 的点,M,N分别为EF,AB的中点.若AE=BF=2,则MN的长为_______.   　 ‹#› 类型5　任意三角形+中线,倍长中线法得全等 特点 三角形中出现中线或类中线(与中点有关的线段),要求证明线段间的数量关系 示例 结论 如图①,在△ABC中,点D为BC的中点,延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE.则有:△ADC≌△EDB 如图②,在△ABC中,点D为BC的中点,延长ED到点F,使DF=ED,连接CF.则有:△BED≌△CFD ‹#› 【针对训练】 6.(2023·德州平原县模拟)如图,在△ABC中,AB=7,AC=9,AD是BC边上的中线,则AD 的取值范围是 ( ) A.2<AD<16 B.0<AD<16 C.1<AD<8 D.7<AD<9 C ‹#› 本课结束 ‹#› $$