二、解答重难题型突破 题型5　圆的综合 课件 2025年中考数学总复习人教版（山东）

题型5 圆的综合 类型1　与圆的性质有关的计算及证明 【例1】(2024·济南模拟)如图,△ABC为☉O的内接三角形,AD⊥BC,垂足为D,直径AE平分∠BAD,交BC于点F,连接BE. (1)求证:∠AEB=∠AFD; (2)若AB=10,BF=5,求DF的长. ‹#› 【自主解答】(1)∵AE为☉O的直径, ∴∠ABE=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°. ∵AD⊥BC, ∴∠ADF=90°, ∴∠AFD+∠FAD=90°. ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠FAD, ∴∠AEB=∠AFD. ‹#› (2)如图,过点F作FM⊥AB于点M,则∠AMF=90°. ∵∠AFD=∠BFE,∠AFD=∠AEB, ∴∠BFE=∠AEB, ∴BF=BE=5. ∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF, ∴△AMF∽△ABE, ∴=,即===2. 设MF=x,则AM=2x, ∴BM=10-2x. ‹#› ∵BM2+MF2=BF2, ∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3. ∵AE平分∠BAD,AD⊥BC, ∴DF=MF=3. ‹#› 【方法技巧】 利用圆的基本性质解决问题常见的辅助线 (1)有弦时,作弦心距,过弦的一个端点引半径,构造直角三角形,用垂径定理和勾股定理; (2)有直径时,作出这条直径所对圆周角、构造直角三角形求解. ‹#› 【变式训练】 1.(2024·菏泽二模)如图,AB为☉O的直径,AC和BD是☉O的弦,延长AC,BD交于点P,连接AD,CD. (1)若点C为AP的中点,且PC=PD,求∠B的度数; (2)若点C为的中点,PD=4,PC=2,求☉O的半径. ‹#› 【解析】(1)∵AB为☉O的直径, ∴∠ADB=90°. 在Rt△ADP中,点C为斜边AP的中点, ∴CD=AC=PC. ∵PC=PD,∴CD=PC=PD, ∴△PCD为等边三角形, ∴∠PCD=60°. ∵四边形ABDC内接于☉O, ∴∠B=∠PCD=60°. ‹#› (2)∵点C为的中点, ∴∠CAD=∠CDA,∴AC=CD. ∵∠ADB=90°, ∴∠CDA+∠CDP=90°. 在Rt△ADP中,∠CAD+∠P=90°, ∴∠CDP=∠P, ∴CD=PC=2, ∴AC=CD=PC=2, ∴AP=AC+PC=4. ‹#› ∵∠PCD=∠B,∠P=∠P, ∴∠PDC=∠PAB,△PCD∽△PBA, ∴PC∶PB=PD∶PA, 即PD·PB=PC·PA, ∴4PB=2×4, ∴PB=6. 又∵∠CDP=∠P,∴∠P=∠PAB, ∴AB=PB=6,∴☉O的半径为3. ‹#› 类型2　与圆的切线有关的计算及证明 【例2】(2024·济南三模)如图,四边形ABCD内接于☉O,=,对角线AC为☉O的直径,延长BC交过点D的切线于点E. (1)求证:DE⊥BE; (2)若☉O的半径为5,tan∠DAC=,求DE的长. ‹#› 【自主解答】(1)连接DO并延长交AB于F, ∵=,∴DF⊥AB. ∵DE是☉O的切线, ∴DF⊥DE,∴DE∥AB. ∵AC为☉O的直径, ∴BE⊥AB,∴DE⊥BE. ‹#› (2)∵AC为☉O的直径, ∴∠ADC=90°. ∵tan∠DAC==, ∴设CD=3k,AD=4k, ∴AC==5k=10, ∴k=2,∴AD=8,CD=6. ∵∠ODE=90°,∴∠CDE+∠ODC=∠ADO+∠ODC=90°, ∴∠CDE=∠ADO. ‹#› ∵AO=OD, ∴∠DAC=∠ADO, ∴∠DAC=∠CDE. ∵∠ADC=∠E=90°, ∴△ADC∽△DEC, ∴=, ∴=, ∴DE=. ‹#› 【方法技巧】 证明某条直线是圆的切线的方法 当切点已知时,常连接圆心与切点,证所连半径与直线垂直. (1)当图中有90°角时:①利用等角代换得垂直;②利用平行线得垂直;③利用三角形全等证得垂直. (2)当图中没有90°角时,需要构造:①若图中有已知直径,则利用直径所对的圆周角是90°,构造直角;②若图中有等腰三角形,则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角. ‹#› 【变式训练】 2.(2024·济宁二模)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,∠ACB的平分线CD交直径AB于点E,交☉O于点D,过点D作DF∥AB,交CB的延长线于点F. (1)求证:DF与☉O相切于点D; (2)若AB=5,BC=3,求CE的长; (3)若DE·DC=4,求☉O半径的长. ‹#› 【解析】(1)连接OD, ∴OB=OD. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵CD是∠ACB的平分线, ∴∠ACD=∠BCD=45°. ∵=,∴∠OBD=∠ACD=45°, ∴∠BOD=90°. ∵AB∥DF,∴∠ODF=90°. ∵D点在☉O上,∴DF与☉O相切于点D. ‹#› (2)连接OC,过点C作CH⊥AB于点H, ∵AB=5,BC=3,∠ACB=90°, ∴AC=4. ∵CH·AB=AC·BC,∴CH=. ∵OC=, ∴在Rt△OHC中,OH==. ∵∠CEH=∠OED,∠EHC=∠EOD, ∴△CHE∽△DOE, ‹#› ∴=, ∴(OH-EH)=EH, 解得EH=. 在Rt△CHE中,CE==. ‹#› (3)连接BD, ∵=,∴∠ABD=45°,∴∠BCD=∠EBD. 又∵∠CDB=∠BDE, ∴△CDB∽△BDE,∴=, ∴BD2=CD·DE. ∵DE·DC=4,∴BD=2. ∵△BDO是等腰直角三角形, ∴BO=,∴☉O半径的长为. ‹#› 类型3　与圆有关的动点问题 【例3】(2024·济宁二模)【初步感知】 (1)如图1,点A,B,P均在☉O上,若∠AOB=90°,则锐角∠APB为　　　　度.  【深入探究】 (2)如图2,小明遇到这样一个问题:☉O是等边三角形ABC的外接圆,点P在上(点P不与点A,C重合),连接PA,PB,PC.求证:PB=PA+PC.小明发现,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC≌△EBA,可推得△PBE是等边三角形,进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程. ‹#› 【启发应用】 (3)如图3,☉O是△ABC的外接圆,∠ABC=90°,AB=BC,点P在☉O上,且点P与点B在AC的两侧,连接PA,PB,PC,若PB=2PA,则的值为　　　　.  ‹#› 【自主解答】【初步感知】(1)∵∠AOB=90°, ∴∠APB=∠AOB=45°. 答案:45 【深入探究】(2)∵四边形ABCP是☉O的内接四边形, ∴∠BAP+∠BCP=180°. ∵∠BAP+∠BAE=180°, ∴∠BCP=∠BAE. ∵△ABC是等边三角形, ∴BA=BC,∠ACB=60°. ‹#› 又∵AE=PC, ∴△PBC≌△EBA(SAS),∴PB=EB. ∵∠APB=∠ACB=60°, ∴△PBE为等边三角形, ∴PB=PE=AE+AP=PC+AP. ‹#› 【启发应用】(3)如图,延长PA至点G,使AG=PC,连接BG. ∵四边形ABCP是☉O的内接四边形, ∴∠BAP+∠BCP=180°. ∵∠BAP+∠BAG=180°, ∴∠BCP=∠BAG. ∵BA=BC,AG=PC, ∴△PBC≌△GBA(SAS), ∴PB=GB,∠PBC=∠GBA. ∵∠ABC=90°, ‹#› ∴∠PBG=∠GBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°, ∴PG=BP. ∵PG=PA+AG=PA+PC, ∴PC=PG-PA=×2PA-PA=3PA, ∴==. 答案: ‹#› 【变式训练】 3.(2024·烟台模拟)如图,在☉O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A,B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D. (1)如图1,求证:△PCD∽△ABC. (2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由. (3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数. ‹#› 【解析】(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵PD⊥CD,∴∠D=90°, ∴∠D=∠ACB. ∵∠A与∠P是所对的圆周角, ∴∠A=∠P,∴△PCD∽△ABC. ‹#› (2)当点P运动到OC所在直径交☉O的点上时,△PCD≌△ABC. 理由:∵AB,PC是☉O的直径, ∴∠PBC=∠ACB=90°,AB=PC. 在△PCD和△ABC中, , ∴△PCD≌△ABC(AAS). ‹#› (3)∵∠ACB=90°,AC=AB, ∴∠ABC=30°. ∵△PCD∽△ABC, ∴∠PCD=∠ABC=30°. ∵CP⊥AB,AB是☉O的直径, ∴=, ∴∠ACP=∠ABC=30°. ∵∠ACB=90°, ∴∠BCD=30°. ‹#› 本课结束 ‹#› $$