专题06 指数函数与对数函数-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题06 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：指数幂运算法则 考点二：对数运算法则 题型一：指数幂与对数运算※ 考点三：指数函数与对数函数 题型二：指数函数/对数函数的图像与性质 题型三：指数幂/对数比大小 考点、题型突破 考点一：指数幂运算法则 （1）同底数幂的乘法： （2）同底数幂的除法： （注意：不能计算结果） （3）幂的乘方： （4）积/商的乘方：；.（记忆：指数均分各一个） （5）0次幂：∵ ∴ 默认：（中的指数1通常省略不写） （6）负指数幂： （7）分数指数幂：， *常见指数幂记忆： 考点二：对数运算法则 1.指数式与对数式互化：若，则： 2.常用对数缩写：， 3. 对数的性质： （1）1的对数为0，即 （2）底数的对数为1，即 （3）零和负数没有对数. （4）对数恒等式：， 4. 对数的运算法则：若 那么： （1） （2） （3） （4） 题型一：指数幂运算与对数运算 例1．（    ） A．27 B．81 C．27 D．-81 例2．若，则（    ） A．3 B．2 C． D．8 例3．下列等式中，正确的是（      ） A． B． C． D． 例4．若，，则（    ） A．11 B．30 C．31 D．150 【突破训练】 1．若，则（    ） A．12 B． C． D． 2．等于（   ） A． B． C． D．无法确定 3．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，则的值为（    ） A．700 B．300 C．7 D．12 5．计算：（    ） A．6 B．7 C．8 D． 考点二：指数函数与对数函数 1. 指数函数的图象和性质 解析式 取值范围 图　象 性　　质 定义域 值域 过定点 点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 奇偶性 非奇非偶函数 2. 对数函数的图像和性质 函数 图象 的范围 性质 定义域 值域 过定点 点 单调性 在上是减函数 在上是增函数 奇偶性 非奇非偶函数 题型二：指数函数/对数函数的图像与性质※ 例1．指数函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2．若函数且的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 例3．已知函数 . (1)求的定义域； (2)若求的取值范围. 【突破训练】 1．函数在区间上的最大值是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 2．已知函数经过，则底数等于（   ） A． B． C． D． 3．已知函数（且）的图象过点. (1)求a的值； (2)求不等式的解集． 题型三：指数幂/对数比大小※ 例1．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．设，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 模拟演练 1．已知，则（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 2．已知函数，若其图象过点，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D．0 4．已知，则x的值为（    ） A． B．2 C． D． 5．的化简结果是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．若函数为上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．设函数，，则（      ） A．2 B． C．3 D． 10．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 11．函数在上的值域是 ． 12．已知指数函数的图象经过点，则 ． 13．计算下列各式的值. (1)； (2). 14．已知，求实数的取值范围. 15．已知函数（，且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. $$专题06 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：指数幂运算法则 考点二：对数运算法则 题型一：指数幂与对数运算※ 考点三：指数函数与对数函数 题型二：指数函数/对数函数的图像与性质 题型三：指数幂/对数比大小 考点、题型突破 考点一：指数幂运算法则 （1）同底数幂的乘法： （2）同底数幂的除法： （注意：不能计算结果） （3）幂的乘方： （4）积/商的乘方：；.（记忆：指数均分各一个） （5）0次幂：∵ ∴ 默认：（中的指数1通常省略不写） （6）负指数幂： （7）分数指数幂：， *常见指数幂记忆： 考点二：对数运算法则 1.指数式与对数式互化：若，则： 2.常用对数缩写：， 3. 对数的性质： （1）1的对数为0，即 （2）底数的对数为1，即 （3）零和负数没有对数. （4）对数恒等式：， 4. 对数的运算法则：若 那么： （1） （2） （3） （4） 题型一：指数幂运算与对数运算 例1．（    ） A．27 B．81 C．27 D．-81 【答案】B 【分析】根据有理数指数幂的运算即可求解. 【详解】因为， 故选：B. 例2．若，则（    ） A．3 B．2 C． D．8 【答案】D 【分析】利用对数式与指数式的互化求值即可. 【详解】，即，则； 故选：D. 例3．下列等式中，正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂，对数的运算即可求解. 【详解】对A，，故A错误. 对B，该式无意义，故B错误. 对C，，故C正确. 对D，，故D错误. 故选：C. 例4．若，，则（    ） A．11 B．30 C．31 D．150 【答案】D 【分析】逆用同底数幂相乘的乘法法则和幂的乘方法则即可. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 【突破训练】 1．若，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数与指数的互换，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．等于（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据对数式的运算法则即可求解. 【详解】， 故选：C． 3．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由实数指数幂的运算即可得解. 【详解】A选项，，故错误. B选项，，故错误. C选项， ，故正确. D选项， ，故错误. 故选：C. 4．若，，则的值为（    ） A．700 B．300 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：D. 5．计算：（    ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则求解. 【详解】. 故选：B. 考点二：指数函数与对数函数 1. 指数函数的图象和性质 解析式 取值范围 图　象 性　　质 定义域 值域 过定点 点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 奇偶性 非奇非偶函数 2. 对数函数的图像和性质 函数 图象 的范围 性质 定义域 值域 过定点 点 单调性 在上是减函数 在上是增函数 奇偶性 非奇非偶函数 题型二：指数函数/对数函数的图像与性质※ 例1．指数函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性列出不等式即可解得. 【详解】因为指数函数在上单调递减， 所以，得， 所以实数a的取值范围是， 故选：D． 例2．若函数且的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象过可求出的值，进而可得函数的解析式，再将代入到解析式里求解即可. 【详解】由函数且的图象过点， 得，解得， 所以函数， 所以． 故选：． 例3．已知函数 . (1)求的定义域； (2)若求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据对数函数成立的条件，结合一元二次不等式进行求解即可. （2）根据对数函数的单调性，建立不等关系进行求解即可. 【详解】（1）由题得：真数，解得：或， 所以定义域为：或. （2）由题得：， 则，即，解得：， 所以的取值范围. 【突破训练】 1．函数在区间上的最大值是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最大值. 故选：B． 2．已知函数经过，则底数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点直接代入到函数解析式，即可求得的值. 【详解】因为函数经过， 所以，解得， 又因为底数， 所以. 故选：． 3．已知函数（且）的图象过点. (1)求a的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，即可求解； （2）利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 代入得， 所以. （2）由题意，函数的定义域为，且在定义域上为增函数， 因为， 所以， 所以，即， 解得， 故不等式的解集为. 题型三：指数幂/对数比大小※ 例1．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】选项，因为为减函数，所以，故错误； 选项，因为为增函数，所以，故错误； 选项，因为为增函数，所以，故正确； 选项，因为为减函数，所以，故错误； 故选：. 例2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，令与比较大小即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，所以， 因为函数在上单调递减， 所以，所以， 因为函数在上单调递减， 所以，所以， 所以，即， 故选：C 【突破训练】 1．设，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的图像和性质即可判断. 【详解】因为在上单调递增，则， 因为在上单调递增，则， 因为在上单调递增，则， 所以. 故选：D． 2．已知，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的性质即可得解. 【详解】∵， ∴在定义域内单调递减， ∵， ∴， ∵， ∴， 故. 故选：D． 模拟演练 1．已知，则（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用指数幂的运算可得的值，再根据对数的运算可求解. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D 2．已知函数，若其图象过点，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数求出的值，得到函数解析式，再将求出即可. 【详解】将点代入函数得： ，即， 所以. 所以. 故选：B. 3．若，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】有对数的定义求出值，利用对数的运算性质即可得解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：. 4．已知，则x的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算的法则即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 5．的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可判断. 【详解】因为，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D错误. 故选：A． 7．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性进行求解. 【详解】由题意， ， 因此，. 故选：C. 8．若函数为上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数型函数的单调区间求解参数范围即可. 【详解】因为函数在上的单调递减函数. ∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 故选：B. 9．设函数，，则（      ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将代入解析式中求出，再将代入解析式中求值即可. 【详解】已知函数，且， 则，即，解得， 则，所以. 故选：C. 10．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分母不为零和对数函数的定义域即可求解. 【详解】因为函数 ， 所以，解得且， 即函数的定义域为. 故选：A. 11．函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性求解值域即可. 【详解】对数函数在上单调递增， 所以当时，函数取值最小值为， 当时，函数取值最大值为， 所以函数在上的值域是. 故答案为：. 12．已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】设出指数函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再计算函数值即可． 【详解】设指数函数，， 把点代入，得，解得， . 故答案为：． 13．计算下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质进行对数运算即可求解. （2）根据分数指数幂与根式的互化和对数的运算性质进行运算即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式. 14．已知，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可解得. 【详解】因为，且，所以在R上是减函数， 即， 故实数的取值范围为. 15．已知函数（，且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把已知点的坐标代入求解即可； （2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点. 则，解得，所以； （2）因为单调递增， 所以由，得，解得， 则不等式的解集是. $$