第五单元简易方程（讲义）-2024-2025学年五年级数学上册人教版

第五单元简易方程（讲义） 五年级数学上册人教版 知识梳理 专项练习 知识梳理 专项练习 答案详解 思维导图 ÷ 思维导图 知识梳理 知识点一、用字母表示数 字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间． 用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统． 注意： 1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示． 2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写． 3．出现除式时，用分数表示． 4．结果含加减运算的，单位前加“（　　）”． 5．系数是带分数时，带分数要化成假分数． 例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 乘法交换律：a×b＝b×a． 知识点二、整数方程求解 解方程的步骤 （1）去括号。 在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。 （2）移项。 通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。 （3）合并同类项。 对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。 （4）系数化为1. 合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。 知识点三、小数方程求解 一般把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。 解方程的步骤 （1）去分母。 当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。 （2）去括号。 在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。 （3）移项。 通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。 （4）合并同类项。 对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。 （5）系数化为1. 合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。 专项练习 一、选择题 1．下面各式，（　　）是方程． A．3χ B．24+1.6×2.5=28 C．3c﹣b=2 D．2χ×1.5＞6 2．今年小明的爸爸A岁，小明（A﹣26）岁，再过X年后，爸爸比小明大（    ）岁。 A．X B．X＋26 C．26 D．X﹣26 3．三角形中，其中两个角的和等于第三个角的2倍，则第三个角的大小（　　） A．50° B．60° C．70° D．90° 4．甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍。 如果甲取出80元 ，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等。问甲原来存款（    ）元。 A．150 B．100 C．80 D．90 5．下面说法中正确的有（    ）个。 ①无限小数一定比有限小数大。 ②等底等高的两个三角形不一定能拼成平行四边形。 ③含有未知数的式子就是方程。 A．0 B．1 C．2 D．3 6．在3.9x=4.1   87﹣69=18  35+9＜58   32x=96   a﹣3.4＞9.8  x÷3=75中等式有（　　）个，方程有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．苹果重x千克，西瓜的重量是苹果的4倍，那么4x表示( )，x+4x表示( )． 8．已知a＝b，在里填数，在里填运算符号。 a＋＝b＋5                a－8＝b at＝b＋            ＋a＝b＋e 9．某乒乓球厂生产了a个乒乓球，平均每盒装12个，m盒一共装了( )个，a－12m表示( )。 10．根据题意，写出下面每个式子表示的意义。 一辆货车开往北京，第一天以80.5千米/时的速度行驶，走了a小时，第二天以90.5千米/时的速度行驶，走了b小时。 1、80.5a表示( )； 2、90.5b表示( )； 3、a＋b表示( )； 4、80.5a＋90.5b表示( )。 11．甲乙两个人同时从两地相对走来，甲每分走30米，乙每分走20米，经X分钟两人相遇，甲乙两地相距( )米，甲比乙多行( )米． 12．一个两位数的十位数与个位数之和为7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是( )。 13．一个工地用卡车运土，每车运x吨，一天上午运25车，下午运20车，这个工地上午运土( )吨，这天一共运( )吨，上午比下午多运( )吨。 14．一箱橘子每天吃x千克，吃了3天后还剩10.2kg，这箱橘子有( )kg，当x＝1.4时，这箱橘子有( )kg。 15．人的身高早晚可能会相差2厘米，在早上最高，晚上最矮。一个人晚上身高a厘米，早上身高可能是( )厘米。 16．学校要购进20个篮球，每个a元，要购进b个足球，每个65元，一共需要( )元，其中购买足球需要( )元。 三、判断题 17．64＋3x＞72，这是一个方程。  ( ) 18．当a比15多b时，用等式表示是a＝15＋b。( ) 19．1×a简写成a．               ( ) 20．方程1.6x-x=3.6的解是x=6．    ( ) 21．x＋3.2＝8既是方程，又是等式．    ( ) 四、解答题 22．某学校五年级一共有220人，其中男生人数是女生的1.2倍。这所学校五年级男生和女生各有多少人？（用方程解） 23．小东、小英同时从某地相背而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45米，经过多少分钟两人相距285米． 等量关系： 方程： 24．水果店运来5箱苹果和8箱梨，共用去780元，已知苹果每箱68元，梨每箱多少元？（用方程解答） 25．两地间的距离是456千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行。甲车每小时行68千米，乙车每小时行84千米，经过几个小时两车相遇？ 26．小明家十月的天然气费用是九月的1.5倍，这两个月的天然气费用一共是200元。小明家九月和十月的天然气费用各是多少元？（列方程解决） 27．4只羊的重量等于一头牛的体重，而一头牛的重量比一只羊重84千克。这只羊和这头牛各重多少千克？（列方程解） 28．一艘轮船从甲港开往乙港，顺水航行每小时36千米，18小时到达。沿原路从乙港返回甲港，逆水航行平均每小时行30千米，多长时间能够返港？ 29．育新小学共有108人参加学校科技小组，其中男生人数是女生人数的1.4倍。参加科技小组的男、女生各有多少人？ 30．芳芳家和田田家相距720米。芳芳去给田田送书，为了节省时间两人同时家出发，6分钟后两人相遇时。芳芳每分钟走55米，田田每分钟走多少米？ 31．五年级同学参加兴趣小组，其中绘画组有36人，比书法组的2倍少4人，书法小组有多少人？（列方程求解） 32．甲、乙两个工程队合修一条公路，计划每天修80米，30天修完。实际每天多修20米，实际多少天可以修完？（用方程解） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B A B BC 1．C 【详解】试题分析：方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此逐项分析后再选择． 解：A、3x，含有未知数，但不是等式，不是方程； B、24+1.6×2.5=28，是等式，但不含未知数，不是方程； C、3c﹣b=2，是含有未知数的等式，是方程． D、2x×1.5＞6，含有未知数，但不是等式，不是方程； 故选C． 点评：此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程． 2．C 【分析】用爸爸的年龄减去小明的年龄求出今年的年龄差；又因为不管经过多长时间，爸爸与小明的年龄差是不变的，由此求出再过X年后爸爸比小明大的年龄。 【详解】A﹣（A﹣26） ＝A﹣A＋26 ＝26（岁） 答：爸爸比小明大26岁。 故答案为：C 【点睛】此题应抓住年龄差不变来求解，因为不管经过多长时间，二人增长的时间是一样的，故差不变。 3．B 【分析】此题考查了三角形内角和是180°的灵活应用．设三角形的第三个角是x，则另外两个角就是2x，根据三角形的内角和是180°，即可列出方程解决问题． 【详解】解：设三角形的第三个角是x，则另外两个角的和就是2x，根据题意可得方程： 2x+x=180， 3x=180， x=60， 所以第三个角是60°， 故选B． 4．A 【分析】以乙存款为基准量，可设乙存款x元，则甲存款3x元，根据题意可列方程：3x－80＝x＋20，解此方程可求得乙的存款数，进而求得甲的存款数。 【详解】解：可设乙存款x元，则甲存款3x元。 3x－80＝x＋20 2x＝100 x＝50 3x＝3×50＝150 故答案为：A 【点睛】找出甲取出80元后剩下的存款数与乙存入20元后存款数的等量关系是解答此题的关键。 5．B 【分析】无限小数中有的比有限小数大，有的比有限小数小，举例验证即可；根据三角形的面积公式，等底等高的两个三角形的面积相等，但形状可能不同；含有未知数的等式是方程。据此解答即可。 【详解】由分析可知： ①如8.7878…与9.8进行比较9.8＞8.7878…，所以无限小数不一定比有限小数大。故原题干说法错误。 ②等底等高的两个三角形的面积相等，但形状可能不同，所以不一定能拼成平行四边形。故原题干说法正确。 ③根据方程的定义，含有未知数的等式是方程。所以原题干说法错误。 故选：B 【点睛】本题考查小数的大小比较和方程的定义，明确小数的大小比较的方法和方程的定义是解题的关键。 6．BC 【详解】试题分析：等式是指用等号连接的算式；方程是指含有未知数的等式；由此进行判断． 解：3.9x=4.1，是含有未知数的等式，是等式也是方程； 87﹣69=18，没含有未知数，用等号连接，是等式，不是方程； 35+9＜58，不含有未知数，也不是等式，所以它既不是等式也不是方程； 32x=96，是含有未知数的等式，是等式也是方程； a﹣3.4＞9.8虽含有未知数，但既不是等式，也不是方程； x÷3=75是含有未知数的等式，是等式也是方程； 所以等式有4个，方程有3个． 故选C；B． 点评：此题考查方程和等式的辨识：只要是用等号连接的算式都是等式；在等式中含有未知数才是方程． 7． 西瓜的重量 苹果和西瓜的总重量 【详解】略 8．5；－；8；＋；t；e 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 【详解】已知a＝b，根据等式的性质1可得： a＋5＝b＋5 a－8＝b－8 a＋t＝b＋t e＋a＝b＋e 【点睛】本题考查等式的性质1的应用。 9． 12m 剩下的乒乓球的个数 【分析】用每盒装的个数乘盒数，就是一共装的个数，再用总数减去一共装的个数就是剩下的乒乓球的个数；据此解答即可。 【详解】由分析可知，m盒一共装了12m个，a－12m表示剩下的乒乓球的个数。 10． 第一天的路程 第二天的路程 两天行驶的总时间 两天行驶的总路程 【分析】80.5千米/时、90.5千米/时叫速度，a小时、b小时叫时间，根据速度×时间＝路程，第一天时间＋第二天时间＝总时间，第一天路程＋第一天路程＝总路程，进行分析。 【详解】1、80.5a表示第一天的路程； 2、90.5b表示第二天的路程； 3、a＋b表示两天行驶的总时间； 4、80.5a＋90.5b表示两天行驶的总路程。 【点睛】关键是理解速度、时间和路程之间的关系，理解字母可以表示数。 11．（30+20）x；（30﹣20）x 【详解】试题分析：甲每分走30米，乙每分走20米，则两人每分钟共行30+20米，经X分钟两人相遇，所以两地相距（30+20）x米，又甲每分钟比乙多行30﹣20米，所以甲比乙多行（30﹣20）x米． 解：根据题意可知， 甲乙两地相距 （30+20）x米， 甲比乙多行 （30﹣20）x米． 故答案为（30+20）x；（30﹣20）x． 点评：相遇问题基本关系式：速度和×相遇时间=路程；追及问题关系式：速度差×共行时间=路程差． 12．16 【分析】根据题目可知，这两位数的个位数和十位数之和是7，可以设个位数字是x，则十位数字是7－x，根据这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数，由此列出方程；注意十位数字是7－x，但是实际表示的数是10×（7－x），十位数字表示的是几十，用十位上的数字乘10再加上个位数字才是这个两位数。 【详解】解：设个位数字是x，则十位数字是（7－x） x＋10（7－x）＋45＝10x＋7－x x＋70－10x＋45＝9x＋7 115＝9x＋10x－x＋7 9x＋10x－x＋7＝115 18x＝115－7 18x＝108 x＝6 十位数字：7－6＝1 即这个两位数是16 【点睛】此题属于含有两个未知数的题目，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子表示，然后列方程解答。 13． 25x 45x 5x 【分析】根据“每辆车运的吨数×运了的车数＝共运的吨数”分别求出上午和下午各运的吨数，然后根据“上午运的吨数＋下午运的吨数＝一天共运的吨数”，“上午运的吨数﹣下午运的吨数＝上午比下午多运的吨数”解答即可。 【详解】上午运土吨数为：25×x＝25x（吨）， 下午运土吨数为：20×x＝20x（吨）， 所以，这天一共运土吨数为：25x＋20x＝45x（吨）； 上午比下午多运的吨数为：25x﹣20x＝5x（吨）。 故答案为25x；45x；5x 【点睛】本题重点考查了用字母表示数，应让学生注意计算结果书写的规范，数字放在前面，字母放在后面。 14． 14.4 【分析】每天吃x千克，3天共吃3×x千克，再加10.2千克就是橘子总质量；最后根据字母与数字相乘时，乘号省略不写，数字写在字母的前边化简式子。 把x替换成1.4，代入式子计算。 【详解】一箱橘子每天吃x千克，吃了3天后还剩10.2kg，这箱橘子有（）kg； x＝1.4时， ＝ ＝4.2＋10.2 ＝14.4（kg） 当x＝1.4时，这箱橘子有14.4kg。 【点睛】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。 15．a＋2 【分析】根据题意可知，晚上的高度＋2厘米＝早上的高度，把数据代入解答即可。 【详解】一个人晚上身高a厘米，早上身高可能是（a＋2）厘米。 【点睛】本题考查了用字母表示数，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 16． 20a＋65b 65b 【分析】（1）总钱数＝购买篮球的钱数＋购买足球的钱数； （2）购买足球的钱数＝足球的单价×足球的数量。 【详解】（1）总钱数：（20a＋65b）元 （2）购买足球的钱数：65b元 【点睛】掌握单价、总价、数量之间的关系是解答本题的关键。 17．× 【解析】略 18．√ 【分析】a比15多b，可以写成a－15＝b，也可以写成b＋15＝a（a＝15＋b），据此判断即可。 【详解】根据分析可知：当a比15多b时，用等式表示是a＝15＋b，原题说法正确。 故答案为：√ 19．√ 【解析】略 20．正确 【分析】根据题意可知，应用等式的性质2：等式的两边同时除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立，据此解方程． 【详解】1.6x-x=3.6 解：（1.6-1）x=3.6 0.6x=3.6 0.6x÷0.6=3.6÷0.6 x=6 原题说法正确． 故答案为正确． 21．√ 【详解】略 22．男生有120人，女生有100人。 【分析】根据题意数量间的相等关系为：女生人数的1.2倍＋女生人数＝220，设女生x人，男生1.2x人，列方程解答即可。 【详解】解：设女生x人，男生1.2x人。 x＋1.2x＝220 2.2x＝220 x＝220÷2.2 x＝100 100×1.2＝120（人） 答：这所学校五年级男生有120人，女生有100人。 23．等量关系： 小英的路程+小东的路程=相距的距离 方程：50x+45x=285 【详解】两人向背而行相距的距离就是两人的距离之和．所以等量关系式为小 英的路程+小东的路程=相距的距离．再根据路程=速度×时间，可以列方程为 50x+45x="285" ． 24．55元 【分析】设梨每箱为x元，根据单价×数量＝总价，分别表示出苹果和梨的总价，最后根据梨的总价＋苹果总价＝780元，据此列方程解答。 【详解】解：设梨每箱为x元。 68×5＋8x＝780 340＋8x＝780 8x＝780－340 8x＝440 x＝55 答：梨每箱55元。 【点睛】此题考查的是用方程解决问题，理解题意明确数量关系是解题关键。 25．3小时 【分析】等量关系式：（甲车速度＋乙车速度）×相遇时间＝总路程。 【详解】解：设经过x小时两车相遇。 （68＋84）x＝456 152x＝456 x＝456÷152 x＝3 答：经过3小时两车相遇。 【点睛】找出题目中的等量关系式是解答本题的关键。 26．80元；120元 【分析】假设九月天然气费用是x元，则十月的天然气费用是1.5x元，把两个月的天然气费用加起来，等于200元，据此列出方程，解方程即可分别求出小明家九月和十月的天然气费用各是多少元。 【详解】解：设九月天然气费用是x元，则十月的天然气费用是1.5x元， x＋1.5x＝200 （1＋1.5）x＝200 2.5x＝200 2.5x÷2.5＝200÷2.5 x＝80 80×1.5＝120（元） 答：小明家九月的天然气费用是80元，十月的天然气费用是120元。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把九月的天然气费用设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 27．羊重28千克，牛重112千克 【详解】解：设一只羊重X千克，那么一只牛重4X千克。 4X－X=84                           3X=84                            X=28                         4X=4×28=112                  答：一只羊重28千克，一只牛重112千克。 28．21.6小时 【分析】设x小时能够返港，根据路程＝速度×时间，分别求出顺水航行的路程、逆水航行的路程，等量关系式：逆水航行的路程＝顺水航行的路程，据此列方程解答。 【详解】解：设x小时能够返港。 30x＝36×18 x＝36×18÷30 x＝21.6 答：21.6小时能够返港。 【点睛】列方程是解决此题的一种有效方法，关键是找出等量关系式。 29．男生有63人，女生有45人 【分析】设女生有x人，那么男生就有1.4x人，根据男生人数＋女生人数＝108人可列方程：x＋1.4x＝108，依据等式的性质，求出x的值，最后代入1.4x即可解答。 【详解】解：设女生有x人，则男生有1.4x人。 x＋1.4x＝108 2.4x＝108 2.4x÷2.4＝108÷2.4 x＝45 45×1.4＝63（人） 答：男生有63人，女生有45人。 【点睛】本题还可以按照和倍应用题的解答方法解答：总人数应该是女生人数的1.4＋1＝2.4倍，依据除法意义，求出女生人数即可解答。 30．65米 【分析】设田田每分钟走x米，根据速度×时间＝路程，分别表示出两人的路程，再根据两人的总路程为720米找到等量关系列方程求解即可。 【详解】解：设田田每分钟走x米。 55×6＋6x＝720 330＋6x＝720 6x＝720－330 6x＝390 x＝65 答：田田每分钟走65米。 【点睛】本题重点考查相遇问题，掌握行程问题中的基本公式是解题的关键，该题也可以先用总路程除以相遇的时间，求出两人的速度和，再用速度和减去芳芳的速度即可求出田田的速度。 31．20人 【分析】根据题意可知，“书法组的人数×2－4＝绘画组的人数”，据此列方程解答即可。 【详解】解：设书法组有x人； 2x－4＝36 2x＝40 x＝20； 答：书法小组有20人。 【点睛】明确书法组和绘画组的人数关系是解答本题的关键。 32．24天 【分析】已知每天修80米，30天可以修完；现在每天多修20米，就是实际每天修（80＋20）米，假设x天可以修完，根据：每天修的米数×天数＝这条公路总长，可得方程：（80＋20）x＝80×30。 【详解】解：设实际x天可以修完。 （80＋20）x＝80×30 100x＝2400 x＝2400÷100 x＝24 答：实际24天可以修完。 【点睛】先找到题目中的等量关系，再结合题意假设未知数，带入数量关系就能得到合理的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $$