陕西省渭南市华州区咸林中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

咸林中学2024-2025学年度高二上学期期中考试 数学试题 （试卷共150分，时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。） 1. 抛物线y2=6x的焦点到准线的距离是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a等于(　　) A.12 B.8+ C.4 D.13 3. 过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 4. 直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于(　　) A. B.2 C.2 D.4 5. 已知直线l：x+y-3=0，椭圆+y2=1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 6.AB是过抛物线C：y2=4x焦点的弦，且|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为(　　) A. 3 B. 4 C.2 D.1 7.已知圆C：x2+y2-10y+21=0与双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A . B. C. D. 8. 已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是(　　) A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有= C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 10.椭圆+=1的焦距是2，则m的值可以是(　　) A.3 B.4 C.5 D.不存在 11. 已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是(　　) A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a-b|=　　　　.  13. 抛物线.x=ay2(a≠0)的焦点坐标为　　　　准线方程为　　　　 14.已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为　　　　　　 四.解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） 已知两圆C1：(x＋5)2＋y2＝4，C2：(x－5)2＋y2＝4，动圆C与圆C1外切，且与圆C2内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 16. （15分） 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点. (1)求〈，〉，〈，〉的大小； (2)求向量在向量方向上的投影数量. 17.（15分） 已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，且双曲线C过点(-2，3). (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y=kx+3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值. 18. （17分） 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程. 19. （17分） 已知动点P与平面上两定点A(-，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值 试求： ①动点P的轨迹C的方程； ②是否存在过点(0，1)与①中曲线C相交所得弦长|MN|=的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由。 第8页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 咸林中学2024-2025学年度高二上学期期中考试 数学试题 （试卷共150分，时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。） 1. 抛物线y2=6x的焦点到准线的距离是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　抛物线的焦点到准线的距离为p=3. 2. 已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a等于(　　) A.12 B.8+ C.4 D.13 答案　D 解析　(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|cos120°=2×4-2×5×=13. 3. 过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 答案　D 解析　如图，设P为满足条件的一点，显然点P到点A的距离等于到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，以y轴为准线的抛物线上，即所求圆心的轨迹为抛物线. 4. 直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　由题意，得圆心为(-1，0)，半径r=，弦心距d==， 所以所求的弦长为2=2. 5. 已知直线l：x+y-3=0，椭圆+y2=1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 答案C　 解析　把x+y-3=0代入+y2=1， 得+(3-x)2=1，即5x2-24x+32=0. ∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0， ∴直线与椭圆相离. 6.AB是过抛物线C：y2=4x焦点的弦，且|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为(　　) A. 3 B. 4 C.2 D.1 答案 B. 　解析　因为抛物线C：y2=4x，所以p=2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为直线AB过抛物线的焦点， 所以|AB|=x1+x2+2=10， 则x1+x2=8， 所以AB中点的横坐标为=4. 7.已知圆C：x2+y2-10y+21=0与双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A . B. C. D. 答案　A 解析　由双曲线-=1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y=x，即bx-ay=0， 又由圆C：x2+y2-10y+21=0，可得圆心为C(0，5)，半径r=2， 则圆心到渐近线的距离为d==，则=2，可得e==. 8. 已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D. 答案 C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是(　　) A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有= C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 答案　BC 解析　A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故=； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b=0时，a与c不一定平行. 10.椭圆+=1的焦距是2，则m的值可以是(　　) A.3 B.4 C.5 D.不存在 答案　AC 解析　∵2c=2，∴c=1. 当椭圆的焦点在x轴上时， a2=m，b2=4，c2=m-4. ∴m-4=1，m=5. 当椭圆的焦点在y轴上时， a2=4，b2=m， ∴c2=4-m=1，∴m=3. 11. 已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是(　　) A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 答案　AB 解析　若mn>0，则C为双曲线，所以A正确；若m>0且m+n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若m>0，n<0，当m=1，n=-1时，C是单位圆，所以C不正确；若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a-b|=　　　　.  答案　1 解析　∵|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=1. ∴|a-b|=1. 13. 抛物线.x=ay2(a≠0)的焦点坐标为　　　　准线方程为　　　　 答案 x=-. 解析： 当a≠0时，抛物线x=ay2的焦点坐标为，准线方程为x=-. 14.已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为　　　　　　 答案　x+2y-4=0 解析： 设点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵M(2，1)为AB的中点， ∴x1+x2=4，y1+y2=2. 又A，B两点在椭圆上， 则+4=16，+4=16， 两式相减，得(-)+4(-)=0， 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∴=-=-=-， 即kAB=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 经检验，所求直线满足题意. 四.解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） 已知两圆C1：(x＋5)2＋y2＝4，C2：(x－5)2＋y2＝4，动圆C与圆C1外切，且与圆C2内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 解析：有|CC1|＝rc＋2，|CC2|＝rc－2. 故|CC1|－|CC2|＝4. 由此得出C点是在以C1(－5，0)，C2(5，0)为焦点，2a＝4的双曲线的右支上． 这时可得a＝2, b2＝25－4＝21. 因而轨迹方程为－＝1(x≥2)． 16. （15分） 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点. (1)求〈，〉，〈，〉的大小； (2)求向量在向量方向上的投影数量. 解析：　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 因为DD1⊥BC， 所以〈，〉=90°， 因为=， 所以〈，〉=〈，〉=135°. (2)连接EC，如图，因为DC⊥平面BCC1B1， 所以DC⊥CB，DC⊥CC1，DC⊥C1E. 所以·=(+++)·=1， 所以向量在向量方向上的投影数量为==1. 17.（15分）已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，且双曲线C过点(-2，3). (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y=kx+3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值. 解　(1)由题意得 解得 所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)由 得(3-k2)x2-6kx-12=0， 当3-k2≠0时，由Δ=36k2+48(3-k2)=0， 解得k=±2. 当3-k2=0，即k=±时，直线l与双曲线C的渐近线y=±x平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，所以k=±2或k=±. 18. （17分） 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程. 解　(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3+=5， 所以p=4，所以抛物线C的方程是y2=8x. (2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)， 则即 而点P(x0，y0)在抛物线C上， 所以=8x0， 所以(2y)2=8(2x-2)， 即y2=4(x-1)， 所以点M的轨迹方程是y2=4(x-1). 19. （17分） 已知动点P与平面上两定点A(-，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值- 试求： ①动点P的轨迹C的方程； ②是否存在过点(0，1)与①中曲线C相交所得弦长|MN|=的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由。 解　①设动点P的坐标是(x，y)， 由题意得kPA·kPB=-， ∴·=-， 化简整理得+y2=1. 故点P的轨迹C的方程是+y2=1(x≠±). ②设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 得(1+2k2)x2+4kx=0. Δ=16k2>0， ∴x1+x2=，x1x2=0. ∴|MN|=·=， 整理得k4+k2-2=0， 解得k2=1或k2=-2(舍去). 经检验k=±1符合题意， ∴直线l的方程为y=±x+1， 即x-y+1=0或x+y-1=0. 第8页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$