重难题型三　几何图形的相关计算 课件 2025年中考数学人教版一轮复习（广西）

重难题型三　几何图形的相关计算 2025版 数学 广西专版 类型一：与折叠有关的计算 (2024T18，2023T11，2018T12，2017T16) 2025版 数学 广西专版 (2024•兴宁区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，M为AD上一点，且DM＝2，将矩形沿EF折叠，使点C与点M重合，连接AE，则AE的长为 . 2025版 数学 广西专版 【思路点拨】根据矩形的性质得AD＝BC＝，CD＝AB＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°，求得AM＝AD－DM＝ ，设CF＝x，则DF＝ ，根据折叠的性质得FM＝CF＝x，∠EMF＝∠C＝90°，在Rt△DFM中，DM2＋DF2＝FM2，∴ ＝x2，解得x＝ ，DF＝ ，过E作EH⊥AD于H，则△EHM∽△MDF，∴＝，代入数值解得HM＝ ，∴AH＝AD－HM－DM＝ ，∴AE＝＝ . 3－x 22＋(3－x)2 2 2025版 数学 广西专版 解决与折叠问题有关的方法 1．首先掌握因折叠出现的全等：即折叠前后的两部分图形全等，对应线段、角和面积相等． 2．关注折痕：(1)折痕可以看作角平分线：即折痕平分对应线段形成的角，如例题FE平分∠CEM； (2)折痕可以看作垂直平分线：即折痕垂直平分对应点所连线段，如例题FE垂直平分CM； (3)折叠可以构造中点，如例题CM与EF的交点即为CM的中点． 2025版 数学 广西专版 3．平行四边形折叠⇒等腰三角形． 4．运用三角形全等、勾股定理、相似三角形、三角函数等知识及方程思想，设出恰当的未知数，列方程求解得出线段长． 5．拓展：折叠常用2倍角公式：tan 2α＝. 2025版 数学 广西专版 1．(2024•北部湾第18题2分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O.E是AC上一点，连接BE，过点E作 EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′.若F为CD的中点，则△EGH′的周长是 . 5＋ 2025版 数学 广西专版 【解析】作H′M⊥EF于点M，易得∠FBC＝∠EBO＝∠GH′M＝∠OEG＝∠FEH′，由BC＝4，CF＝2，得EG，由△CEF∽△FEH′及CE，EF的长，求得EH′，GH′的长，即得△EGH′的周长． 2025版 数学 广西专版 1．(2024•桂林模拟)如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA′，折痕为DM，连接A′M，CM；第二次将△MBC沿着MC折叠，MB恰好落在MD边上．则该矩形纸片ABCD的长宽比的值为( ) A. B. C. D. D 2025版 数学 广西专版 【解析】由第一次折叠可知∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，则四边AMA′D为正方形，AM＝A′M＝AD，DM＝AD，由第二次折叠可知∠BMC＝∠B′MC，利用平行线的性质得∠DCM＝∠BMC，于是可得∠B′MC＝∠DCM，由等边对等角得CD＝DM＝AD，以此即可求解． 2025版 数学 广西专版 2．(2024•自贡)如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD，BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H.若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（ ） A. B. C. D．5 A 【解析】由AD∥BC，推出＝，＝，推出＝，推出＝，再证明FG＝AG，利用勾股定理求出CF，再利用平行线分线段成比例求出BF. 2025版 数学 广西专版 3．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝，∠ABC＝120°，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，若点A′恰好在线段CE上，则AE的长为 . －3 【解析】过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，在Rt△CDG中，求得DG＝2，CG＝2.依据∠CBE＝∠CEB，可得CE＝CB＝.设DE＝x，则GE＝x＋2，在Rt△CEG中，CG2＋EG2＝CE2，列方程求解，即可得到DE的长，进而得出AE的长． 2025版 数学 广西专版 4．(2024•南充)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为 . 【解析】过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥CD于点N，∠CMF＝∠CNF＝90°，由四边形ABCD是矩形，得∠DCM＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝2，证得四边形CMFN是矩形，通过角平分线的性质证得四边形CMFN是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 2025版 数学 广西专版 5．(2024•威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E.若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝ . 1.5 【解析】先根据勾股定理求出 C′M＝CM＝5，然后证明△BC′M≌△AEC′，得到 BC′＝AE＝4，MC′＝C′E＝5，即可得到DE＝4，D′E＝2，然后在Rt△D′EN 中，利用 NE2＝D′E2＋D′N2 解题即可． 2025版 数学 广西专版 6．(2023•襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点， 将△BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE.若DE⊥AB于点F， BC＝10，则AF的长为 . 2 【解析】取BC中点H，连接AH，取CH中点G，连接DG，作DM⊥BE于点M.设EF＝a，AD＝CD＝DE＝x，则DF＝x－a，得到cos∠ABC＝cos∠BED，从而推导出a＝，由三角形中位线定理得到BG＝，从而推导出△EMD≌ △CGD(AAS)，得到四边形MBGD是正方形，DG＝，AH＝15，最后利用勾股定理解答即可． 2025版 数学 广西专版 7．(2024•连云港)如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF.再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG.若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 . 【解析】设BG＝a，则BC＝5a，证△ABG∽△BCF，∴＝，∴＝， ∴a＝，∴BC＝5a＝2. 2 2025版 数学 广西专版 类型二：与旋转有关的计算 (2024T11) 2025版 数学 广西专版 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，D是AC的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 . 【思路点拨】由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝ ，∵D是AC边的中点，∴CD＝ ，当 时，DQ的长最小，此时∠CDQ＝30°，∴CQ＝ CD＝ ，∴DQ＝＝ ，∴DQ的最小值是 . 120° 3 DQ⊥CQ 2025版 数学 广西专版 旋转问题中利用旋转的性质，注意全等三角形与等腰三角形，直角三角形的灵活运用，涉及旋转求最值时注意动点的路径是弧还是直线，是解决问题的关键 2025版 数学 广西专版 2．(2023•桂林第18题3分)如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长是 . ＋ 【解析】连接OB，过点O作OE⊥C′B于点E，则∠OEC′＝OEB＝90°，由正方形OABC绕点O逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到正方形OA′B′C′，所以∠OC′E＝45°，OA＝OC′＝AB＝2，∠A＝90°，根据勾股定理得到BE的长，从而得到BC′. 2025版 数学 广西专版 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，M是CA上的一点，过点M作MN∥AB交CB于点N，将△CMN绕点C逆时针方向旋转 α(0＜α＜180°)得到△CDE，连接AD，BE.若AD＝，则BE＝ . 2025版 数学 广西专版 9．(2024•柳州)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 . 2－2 【解析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于点H，利用SAS证明△EDG≌△FDM，得MF＝EG＝2，再证明△DGC≌△MDH(AAS)，得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案． 2025版 数学 广西专版 10．(2024•盐城)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF.连接CF，当CF∥AB时，CF＝ . 【解析】根据旋转的性质可知△DCB≌△FEB，根据勾股定理可以求得BD的值，过点B作BG⊥CF于点G，然后再根据平行线的性质和勾股定理、锐角三角函数，可以求得CG和GF的值，从而可以求得CF的值；还有一种情况就是点F在点C的左侧时，同理可以求得CF的值． 2＋或－2 2025版 数学 广西专版 11．(2023•柳州模拟)如图，在正方形ABCD中，边长AB＝2，对角线AC，BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与 BC，CD交于E，F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为 . 【解析】由“ASA”可证△OEC≌△OFD，可得OE＝OF，可得EF＝OE，则 OE取最小值，EF有最小值，当OE⊥BC时，OE有最小值，由等腰三角形的性质可求解． 2025版 数学 广西专版 类型三：与动点有关的计算(含最值与运动路径) (2023T18，2023T18，2024T12) 2025版 数学 广西专版 (2024•南宁模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，E是AC的中点，F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 . 4＋－ 2025版 数学 广西专版 【思路点拨】△BDF周长为DF＋FB＋BD＝AF＋FB＋BD＝AB＋BD，△BDF周长的最小值就是 最小，如图，点D的路径是以点 为圆心， 为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，此时BD长度最小．∵E是AC的中点，过点E作EM⊥AB于点M，EM＝ AE＝，由勾股定理可得AM＝＝ ，BM＝AB－AM＝ ，由勾股定理可得BE＝＝ ， BD′＝BE－ED′＝ ，∴△BDF周长最小为 . BD＋4 E AE － 4＋－ 2025版 数学 广西专版 动点问题常发现运动的规律，其路径是弧或者直线，再找到运动的特殊状态来解决问题，广西考法有二：求路径长或求最值，属中考压轴题． 2025版 数学 广西专版 3．(2023•广西第18题2分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 . 【解析】连接AE，易证MN是△AEF的中位线，得到MN＝ AE＝ ，当点E和点C重合时，BE最大，此时MN最大，代入求解即可． 2025版 数学 广西专版 12．如图，等边三角形ABC的边长为6，点E在AC边上从点A向点C运动，同时点F在BC边上从点C向点B运动，速度相同，连接AF，BE相交于点P.当点E 从点A运动到点C时，则点P 经过的路径长为 . π 【解析】由SAS证明△AEB≌△CFA可以得出AE＝CF，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，由弧线长公式就可以得出结论． 2025版 数学 广西专版 13．(2024•成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为 . 5 【解析】作点A关于直线l的对称点A′，连接OA′交直线l于点P′，连接AP′，则PO＋PA的最小值为OA′，即可求解． 2025版 数学 广西专版 14．如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 . 1＋ 【解析】取AB的中点D，连接OD，CD，易求OD＝BD＝1，∴CD＝ ＝3，∵OC≤OD＋CD，∴当O，C，D三点共线时，OC有最大值，为OD＋CD. 2025版 数学 广西专版 类型四：与图形构造有关的计算 (2023T12，2024T18) 2025版 数学 广西专版 如图，正方形ABCD的边长为6，P为对角线AC上一点，且CP＝42，PE⊥PB交CD于点E，则PE的长为( ) A. B．2 C．3 D．5 B 【思路点拨】过P作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N，易证△PBM≌ ，从而PB＝ ，△PCM中，CP＝4，∠PCN＝ ，可得CM＝PM＝ ，∴BM＝ ，PB＝＝ ，∴PE＝ . △PEN PE 45° 4 2 2 2 2025版 数学 广西专版 方法归纳：此类题以基本几何模型为依托，通过作辅助线构造几何模型求解，广西对几何构造解题要求较低，难度不大． 2025版 数学 广西专版 4．(2023•北部湾Ⅱ卷第12题3分)如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H.已知DH＝，∠ABC＝120°，则AB＋BC的值为( ) A. B. C．2 D. C 【解析】延长BA到点E，使AE＝BC，连接DE，证△DCB≌△DAE，则AB＋BC＝AB＋AE＝BD，在Rt△BDH中，根据三角函数即可求解． 2025版 数学 广西专版 15．如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB，DC延长线于E，F两点，且∠EAF＝45°，若BE＝1，DF＝7，则EF＝ . 6 【解析】把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF－BE＝6. 2025版 数学 广西专版 16．如图，在△ABC和△DCE中，AB＝AC＝DC＝DE＝10，AC⊥CD，点B，C，E在同一条直线上．若BC＝12，则CE的长为 . 16 【解析】过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥CE于N，根据等腰三角形的性质可得BM＝CM＝ BC＝6，利用勾股定理求出AM＝8，证明△AMC≌ △CND，可得CN＝AM＝8，根据等腰三角形的性质即可得CE＝2CN＝16. 2025版 数学 广西专版 17．(2024•富川县模拟)如图，P为等边三角形ABC外一点，连接PA，PB，PC，若PA＝7，PB＝9，∠APB＝30°，则PC的长是 . 【解析】把PB绕点B顺时针旋转60°得QB，连接PQ，AQ，则PB＝QB，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴∠QPB＝60°，PQ＝PB，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°，∴∠PBC＝∠QBA＝60°＋∠PBA，∴△PBC≌△QBA(SAS)，∴PC＝QA，∵∠QPB＝60°，∴∠APQ＝90°，又AP＝7，PB＝PQ＝9，∴PC＝AQ＝＝. 2025版 数学 广西专版 18．(2024•桂平模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，连接CH，若AB＝CH，AH＝6，则CH的长为 . 6 【解析】延长BD至点E，使BD＝DE，作CF⊥DE，易证△ABD≌△CED， ∴CH＝CE＝AB，∵CF⊥HE，∴HF＝EF.易证△AHD≌△CFD，∴HD＝DF，AH＝CF＝6，设DF＝m，则EF＝HF＝2m，易证Rt△FEC∽Rt△FCD， ∴＝，∴CF2＝DF•EF，即36＝m×2m，解得m＝3，在Rt△ECF中，CE＝＝6.即CH＝CE＝6. 2025版 数学 广西专版 2025版 数学 广西专版 $$