第3章 3.1.2 表示函数的方法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第3章 函数的概念与性质 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 3．1．2　表示函数的方法 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(十五) 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．理解函数图象的作用． 知识点　函数的表示方法 　 [点拨]　函数三种表示法的优缺点比较 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解析法可以表示任意的函数．(　　) (2)列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　　) (3)在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．(　　) (4)任何一个函数都可以用列表法表示．(　　) (5)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．函数y＝f(x)的关系如下表，则f(11)＝(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A．2 B．3 C．4 D．5 C　[由题表可知f(11)＝4，故选C．] 3．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) D　[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D．] 4．已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为______________． 解析：　因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， 所以f(x)＝x2－4(x≥2)． 答案：　f(x)＝x2－4(x≥2) 探究点一　函数的三种表示方法 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解析：　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． eq \a\vs4\al(方法技巧) 函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．　　 即时练1.2018年以来，我国的年度GDP数据如下表： 时间(年) 2018 2019 2020 2021 2022 GDP (万亿元) 91.93 98.65 101.36 114.92 121.02 设时间为n，与其对应的年度GDP为f(n)，那么f(2021)＝(　　) A．91.93 B．98.65 C．101.36 D．114.92 D　[由题意可得f(2021)＝114.92，故选D.] 探究点二　函数图象的作法及应用 作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]． 解析：　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1，8]． eq \a\vs4\al(方法技巧) 画函数图象的两种常见方法 (1)描点法 一般步骤： ①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；　　 ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 即时练2．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解析：　(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]． 探究点三　求函数的解析式 求下列函数的解析式： (1)若f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)的解析式． 解析：　(1)方法一(换元法) 设t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)． ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二(配凑法) ∵x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x))2＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1， ∴f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2－1(eq \r(x)＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以有3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 因此应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7.)) 故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7． (3)(解方程组法或消元法) 因为2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，① 将x用eq \f(1,x)替换，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x)，② 由①②解得f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． [提醒]　应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 即时练3．求下列函数的解析式： (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)； (2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)； (3)已知f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x(x≠0)，求f(x)． 解析：　(1)方法一(换元法)　令x＋1＝t，∴x＝t－1， ∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1， ∴f(x)＝3x－1． 方法二(配凑法)　f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1， ∴f(x)＝3x－1． (2)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(2)＋2， ∴f(x)＝x2＋2(x≠0)． (3)∵f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x， 用eq \f(1,x)代替x得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq \f(1,x)， 两式联立消去feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))得f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)， ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)． 1．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f[f(0)]＝(　　) A．2 B．4 C．0 D．3 C　[结合题图可得f(0)＝3，则f[f(0)]＝f(3)＝0．] 2．已知f(x－1)＝eq \f(1,x＋1)，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝eq \f(1,1＋x) B．f(x)＝eq \f(1＋x,x) C．f(x)＝eq \f(1,x＋2) D．f(x)＝1＋x C　[令x－1＝t，则x＝t＋1， ∴f(t)＝eq \f(1,t＋1＋1)＝eq \f(1,2＋t)， ∴f(x)＝eq \f(1,x＋2)．] 3．(2021·河南省实验中学高一检测)已知函数f(x)满足f(x)＋2f(eq \f(1,x))＝eq \f(1,x)＋2，则函数f(x)的解析式为________________________________． 解析：　已知f(x)＋2f(eq \f(1,x))＝eq \f(1,x)＋2， 将原式中的x替换为eq \f(1,x)， 得f(eq \f(1,x))＋2f(x)＝x＋2， 于是得关于f(x)与f(eq \f(1,x))的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋2f（\f(1,x)）＝\f(1,x)＋2，,f（\f(1,x)）＋2f（x）＝x＋2，)) 解得f(x)＝eq \f(2,3)x－eq \f(1,3x)＋eq \f(2,3)(x≠0)． 答案：　f(x)＝eq \f(2,3)x－eq \f(1,3x)＋eq \f(2,3)(x≠0) 4．已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式． 解析：　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2,2b＝－4,2a＋2c＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－2，,c＝－1)) 所以f(x)＝x2－2x－1． $$