第2章 2.2 从函数观点看一元二次方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 2．2　从函数观点看一元二次方程 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 实数x 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(十一) 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　1．从实例中得出零点的概念．2．理解一元二次方程与二次函数的关系． 知识点一　一元二次方程与二次函数的关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实根 知识点二　二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的______叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． [点拨]　函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根． 1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　) A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0) C．－5 D．1 A　[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．] 2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________________． 解析：　由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0．所以函数零点的个数为2． 答案：　2 3．若函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)上，则n的取值集合为________________． 解析：　由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－eq \r(2)，x2＝－1＋eq \r(2)，因为－1－eq \r(2)∈(－3，－2)，－1＋eq \r(2)∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}． 答案：　{－3，0} 探究点一　求函数的零点 求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解析：　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－eq \f(1,3)，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－eq \f(1,3)． (2)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． 当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0，得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝eq \f(a＋1,a)，x2＝－1． 又eq \f(a＋1,a)－(－1)＝eq \f(2a＋1,a)， ①当a＝－eq \f(1,2)时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1． ②当a≠－eq \f(1,2)且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和eq \f(a＋1,a)． 综上，当a＝0或a＝－eq \f(1,2)时，函数有唯一的零点为－1． 当a≠－eq \f(1,2)且a≠0时，函数有两个零点－1和eq \f(a＋1,a)． (3)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3． eq \a\vs4\al(方法技巧) 求函数零点的一般方法 (1)求函数的零点就是解相应的方程，相应方程的实数根就是函数的零点． (2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． (3)求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤： ①若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； ②若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点； ③若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．　　 即时练1．求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解析：　(1)由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－eq \f(1,2)，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－eq \f(1,2)． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ<0，即a<－eq \f(1,4)时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－eq \f(1,4)时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2． 当Δ>0时，即a>－eq \f(1,4)且a≠0，x1＝eq \f(1＋\r(1＋4a),2a)，x2＝eq \f(1－\r(1＋4a),2a)，函数有两个零点， (3)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－3，1，所以该函数的零点为－3，1． 探究点二　函数的零点个数的论证与探究 若a>2，求证：(1)函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． (2)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． 解析：　(1)证明：∵a>2，∴a－2>0， 对于一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 即函数有两个零点． (2)必要性：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，当a＝2时，y＝－4，函数无零点． 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)·(a＋2)≥0， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≥0,a＋2≥0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤0,a＋2≤0))，解得a≥2或a≤－2， 又a≠2，所以a>2或a≤－2， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点， 则a>2或a≤－2． 充分性：当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点． 综上，a>2或a≤－2．故函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2． eq \a\vs4\al(方法技巧) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的论证 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac． (1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点． (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点． (3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．　　 即时练2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 解析：　当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0； 当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点． 综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 探究点三　二次函数的零点分布探究 (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点． (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围． 解析：　(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋eq \r(2)，x2＝－1－eq \r(2)，因为－3<－1－eq \r(2)<－2， 所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上存在零点． (2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根，显然a≠2． 由一元二次方程的根与系数的关系得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4（a－2）（a＋2）>0，,x1＋x2＝－\f(－2（a－2）,a－2)＝2>0，,x1x2＝\f(－4,a－2)>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>2或a<－2，,a<2，)) 所以a<－2． 即实数a的取值范围为(－∞，－2)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究 结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理． ①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0,x1＋x2>0,x1x2>0))⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．　　 ②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0,x1＋x2<0,x1x2>0))⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点． ③x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点． 即时练3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)． (1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围． 解析：　由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a， (1)因为该函数有两个正的零点，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,1－a>0，,a≠1－a))解得0<a<eq \f(1,2)或eq \f(1,2)<a<1． 所以a的取值范围为0<a<eq \f(1,2)或eq \f(1,2)<a<1． (2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠1－a,a>1,1－a<1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠1－a,1－a>1,a<1))，解得a>1或a<0． 所以a的取值范围是a>1或a<0． 1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b．其中正确的结论是(　　) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ B　[因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－eq \f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确，故选B．] 2．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 C　[由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．] 3．已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的________________________条件． 解析：　因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根⇔x1x2＝eq \f(c,a)<0⇔ac<0，所以p是q的必要不充分条件． 答案：　必要不充分 4．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，求实数m的取值范围． 解析：　作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0， 则有当x＝m时，y<0，且当x＝m＋1时，y<0． 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m2－1<0，,（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，))解得－eq \f(\r(2),2)<m<0． 所以实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))． $$