第1章 课时作业(六) 含有量词的命题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

课时作业(六)　含有量词的命题 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2021·安徽定远县高一期末)下列命题中，既是真命题又是全称命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x∈R，＝x D．所有的等边三角形都相似 D　[A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题．B在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题．故选D．] 2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q B　[∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图， ∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．] 3．下列命题为真命题的是(　　) A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解 B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数 C　[A．x－2＝0⇔x＝∉Q，故A错误；B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴不存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0，故B错误；C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数，故C正确；D．2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C．] 4．(多选)已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B．0 C．3 D．－3 AC　[因为p为真命题，即方程x2＋2x＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4－4(2－a)≥0，即a≥1．即实数a的取值范围为[1，＋∞)．因此所有选项中只有AC满足题意．故选AC．] 5．(多选)(2021·全国高一课前预习)下列命题中为特称命题的是(　　) A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．∃x∈R，x2＋x≤2 ACD　[选项A、C、D是特称命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称命题．故选ACD．] 6．(2021·广西南宁高一期末)下列命题是全称命题的有 ；是特称命题的有 ．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数． 解析：　①中量词“任意一个”省略，是全称命题；②的含义是“任何有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形”，含有全称量词，是全称命题；③中量词“任意一个”省略，是全称命题；④中含有存在量词“至少”，是特称命题． 答案：　①②③　④ 7．下列命题： ①存在x＜0，x2－2x－3＝0； ②对一切实数x＜0，都有|x|＞x； ③∀x∈R, ＝x； ④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm，其中，所有真命题的序号为 ． 解析：　①因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1＜0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题； ②显然为真命题； ③＝|x|＝故③为假命题； ④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题． 答案：　①② 8．(2021·河北迁安高一期末)已知命题p：∀1≤x≤2，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2＝0．若p和q都是真命题，则实数a的取值范围为 ． 解析：　若p为真命题，则a≤x2对于1≤x≤2恒成立，所以a≤1．若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2＝0有实数根，所以Δ＝4a2－8≥0，则a≥或a≤－．综上，实数a的取值范围为{a|a≤－}． 答案：　{a|a≤－} 9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (2)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (3)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． 解析：　(1)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解；假命题． (2)∃x，y∈Z，3x－2y＝10；真命题． (3)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题． 10．若方程ax2＋3x＋2＝0至多有一个根，求实数a的取值范围． 解析：　假设方程ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实根， 则 解得a＜且a≠0． 在全集R中， 的补集是， ∴满足题意的实数a的取值范围是． [能力提升] 11．已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2(a＞0)，若∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1|－1≤y1≤3}，由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2，－1≤x2≤2的取值范围是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}．因为∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，所以解得a≥3．] 12．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解析：　假设存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题． 因为当x≥－时，x＋1≥， 所以－5＜3－4m＜，解得＜m＜2， 又m为整数，所以m＝1， 故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－， －5＜3－4m＜x＋1”是真命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$