第1章 课时作业(五) 命题 充分条件和必要条件-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

课时作业(五)　命题　充分条件和必要条件 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．下列p是q的必要条件的是(　　) A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：－1＜a＜1，q：a＜1 C．p：a＜b，q：a＜b＋1 D．p：a＞b，q：a＞b＋1 D　[要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a＞b＋1⇒q：a－b＞1⇒p：a＞b，故选D．] 2．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若a＝1，则N＝{1}，故N⊆M．若N⊆M，则a2＝1或2，故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选A．] 3．(多选)(2021·甘肃会宁高一期中)下列四个命题中，属于真命题的是(　　 ) A．平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C．所有质数平方都不是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是偶数 BD　[对A，平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形，故A是假命题； 对B，根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故B是真命题； 对C，2是质数，但22＝4为偶数，故C是假命题； 对D，任何奇数的立方都为奇数，故D是真命题．故选BD．] 4．(2021·吉林白城高一期末)唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年，今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，其中设p：“是仙”，q：“到蓬莱”，则(　　) A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．即是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 A　[由题得，“是仙”一定是“到蓬莱”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分条件；“到蓬莱”不一定“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的非必要条件，故选A．] 5．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中)关于x的方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有实数根的一个充分不必要条件是(　　 ) A．a>1 B．a>－2 C．a≥－ D．a≥－4 A　[若方程有实数根，则Δ＝(2a＋1)2－4a2＝4a＋1≥0，可得a≥－， ∴其充分不必要条件只需包含于但不等于即可，只有A符合要求．故选A．] 6．设命题p：k＞4，b＜5，命题q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的 条件；q是p的 条件．(用“充分”“必要”填空) 解析：　当k＞4，b＜5时，k－4＞0，b－5＜0， 令x＝0，则y＝b－5＜0，令y＝0，则x＝＞0， ∴一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象与y轴的交点在负半轴上；与x轴的交点在正半轴，故p⇒q， 反之，当一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，k－4＞0，b－5＜0，即k＞4，b＜5，故q⇒p． 答案：　充分　必要 7．(2021·新疆新源县高一期末)已知p：x＞0，y＜0，q：x＞y，＞，则p是q的 条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析：　当x＞0，y＜0时，x＞y且＞成立． 当x＞y且＞时，得⇒ 所以p是q的充要条件． 答案：　充要 8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ． 解析：　p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇏p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1． 答案：　{a|a<1} 9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (3)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等． 解析：　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． (3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． 10．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°． 证明：　必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0． 两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°． 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2．① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0． 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0． 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0． 故两方程有公共根x＝－(a＋c)． ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°． [能力提升] 11．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的 条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析：　若φ(a，b)＝0，则＝a＋b，平方得ab＝0，当a＝0时，＝b，所以b≥0；当b＝0时，＝a，所以a≥0，故a与b互补；若a与b互补，易得φ(a，b)＝0．故“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的充要条件． 答案：　充要 12．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1；⑤x>－1．其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为 ；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为 ． 解析：　由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0}{x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件，因为{x|－1<x<1}{x|x<1}，{x|－1<x<1}{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件． 答案：　②③　①⑤ 学科网（北京）股份有限公司 $$