第三章 函数 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

章末综合提升 　 第三章　函数 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 探究点一　求函数的定义域 √ 例1 (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(1－3x)的定义域为 √ 由y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，得x－1∈[－2，1]，即f(x)的定义域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0，1]．故选C. 规律方法 求函数定义域的方法 1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． 2．实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，又要考虑使实际问题有意义． √ 探究点二　分段函数及应用 √ 例2 A．2 B．4 C．6 D．8 3 规律方法 解决分段函数问题的方法 对于分段函数求值问题，首先判断自变量所在区间，然后代入对应解析式求值，对于“嵌套”求值问题，要从内往外逐层计算． 1．解分段方程(不等式)：若方程(不等式)一边含有自变量，则按自变量在不同区间讨论求解，最后求并集；若方程(不等式)两边都含有自变量，则可以画出分段函数图象，利用数形结合法求解，也可以利用分段函数的单调性转化求解． 2．由分段方程(不等式)求参数：与分段函数求值类似，讨论参数所在区间，代入相应解析式求解． √ 4 因为f(9)＝ －1＝2，所以f(f(9))＝f(2)＝|2－4|＋m＝6，所以m＝4. 探究点三　函数的性质及应用 　已知函数f(x)＝2x2－3x＋1. (1)函数h(x)是奇函数，当x>0时，h(x)＝f(x)，求h(x)在R上的解析式； 解：设x<0，则－x>0. 因为函数h(x)是奇函数，所以h(x)＝－h(－x)＝－(2x2＋3x＋1)＝－2x2－3x－1， 例3 (2)若g(x)＝－f(x)＋mx＋1，当x∈[1，2]时，g(x)的最大值为2，求m的值． 解：当x∈[1，2]时，g(x)＝－2x2＋(3＋m)x， 综上，m＝1. 规律方法 函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响． 对点练3.已知函数f(x)＝ 是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(1)＝1. (1)求实数m，n的值； (2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数； 任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上是增函数． (3)解关于t的不等式f(2t－1)＋f(t)<0. 解：由f(2t－1)＋f(t)<0得f(t)<－f(2t－1)＝f(1－2t)， 因为f(x)在(－1，1)上是增函数， 探究点四　函数的图象及应用 例4 √ (2)在平面直角坐标系中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个 交点，则a的值为________． 函数y＝|x－a|－1的大致图象如图所示， 因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，所以2a＝－1，解得a＝－ . 规律方法 作函数图象的方法 1．描点法：求定义域；化简；列表；描点；连线． 2．变换法：熟知函数图象的平移、对称、翻折． 规律方法 (3)翻折：去掉y轴左侧的y＝f(x)的图象，将右侧图象沿y轴翻折到左侧就得到y＝f(|x|)的图象；将x轴下方的y＝f(x)的图象沿x轴翻折到x轴上方就得到y＝|f(x)|的图象． 注意　要利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图． 对点练4.当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝ ＋m的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围． 解：当0<m≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝(mx－1)2与y＝ ＋m的图象，如图①. 易知此时两函数图象在[0，1]上有且只有一个交点． 当m>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝(mx－1)2与y＝ ＋m的图象，如图②. 要满足题意，需(m－1)2≥1＋m，解得m≥3或m≤0(舍去)，所以m≥3.综上，正实数m的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)． 返回 教考衔接 明确考向 返回 √ 真题 1 (2021·北京卷)已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的________条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 √ 真题 2 2 真题 3 0(答案不唯一) 1 返回 真题 4 单元检测卷 返回 1．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 √ 由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．下列各组函数是同一个函数的是 √ 选项A、B、D中两函数定义域不同，只有C项符合． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是 √ 在选项A中y可等于零，选项B中y显然大于1，选项C中x∈N，值域不是(0，＋∞)，选项D中|x＋1|>0，即y>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．如果奇函数f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是 A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3 C．减函数且最小值为－3 D．减函数且最大值为－3 √ 当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3.又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]是减函数．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．2 B．4 C．6 D．8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C．(1，＋∞) D．(－∞，1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，若在区间[－2，3]上，方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为R C．f(x)为奇函数 D．f(x)为增函数 √ √ √ 根据分段函数的解析式可知，f(x)的定义域为R，故选项A正确；f(x)的值域为(－∞，－1)∪{0}∪(1，＋∞)，故选项B不正确；画出函数图象(图略)可知，故选项C、D正确．故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝ x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是 A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B．该单位每月最低可获利20 000元 C．该单位每月不获利也不亏损 D．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数．下列结论正确的是 A．函数y＝x是闭函数 B．函数y＝x2＋1是闭函数 C．函数y＝－x2(x≤0)是闭函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为 _________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．在R上定义运算a※b＝(a＋1)b，若1≤x≤2时，存在x值使不等式(m－x)※(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为________． (－3，2) 当1≤x≤2时，存在x值使不等式(m－x)※(m＋x)<4成立，即使不等式(m－x＋1)(m＋x)<4成立，即使不等式x2－x＋4>m2＋m成立．因为1≤x≤2，所以函数y＝x2－x＋4的最大值为22－2＋4＝6.所以6>m2＋m，所以－3<m<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明；(5分) 解：函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x2>x1>1， 因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求f(x)在[2，6]上的最大值和最小值．(8分) 解：由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数， 所以f(x)在[2，6]上是减函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ax2＋mx＋m－1(a≠0)． (1)若f(－1)＝0，判断函数f(x)的零点个数；(5分) 解：因为f(－1)＝0， 所以a－m＋m－1＝0， 所以a＝1. 所以f(x)＝x2＋mx＋m－1. Δ＝m2－4(m－1)＝(m－2)2. 当m＝2时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点； 当m≠2时，Δ>0，函数f(x)有两个零点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若对任意实数m，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围．(10分) 解：已知a≠0，由f(x)恒有两个相异的零点，则Δ1＝m2－4a(m－1)>0对于m∈R恒成立，即m2－4am＋4a>0恒成立， 所以Δ2＝16a2－16a<0，解得0<a<1. 即实数a的取值范围为(0，1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)试写出2025年利润L(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数解析式；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：根据题意，L(x)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当2025年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．(10分) 解：当x∈(0，40)时，L(x)＝600x－10x2－250＝－10(x－30)2＋8 750， 当x＝30时，L(x)max＝8 750(万元)； 所以当x＝100时，L(x)max＝9 000(万元)， 综上，当2025年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润为9 000万元． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)求函数f(x)的解析式；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.(10分) 解：因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数， 由f(t－1)＋f(2t)<0， 得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(7分) 19．(本小题满分17分)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上． 解：作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米， 又△EPQ∽△EDF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求矩形BNPM面积的最大值．(10分) 解：设矩形BNPM的面积为S(x)， 可知：S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10， 所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增， 所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 函 数 返回 　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为 A． B． C． D．∪ 由题意知解得x＜1，且x≠，即f(x)的定义域是∪.故选D. A． B． C．[0，1] D． 对点练1.已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是 A．(－∞，－2)∪(－2，3] B．(－8，－2)∪(－2，1] C．∪(－2，0] D． 由题意得解得－≤x≤0，且x≠－2.所以g(x)的定义域为∪(－2，0]．故选C. 　(1)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f ＝ 当0<x<1时，f(x)＝是增函数，当x≥1时，f(x)＝2(x－1)也是增函数，所以要满足f(a)＝f(a＋1)，只有＝2(a＋1－1)，此时0<a<1，解得a＝，所以f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.故选C. (2)若函数f(x)＝则f(f(－2))＝_____． 因为f(－2)＝(－2)2＝4，所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋－＝3. 对点练2.(1)已知f(x)＝是R上的单调函数，则a的取值范围是 A． B． C． D． 当1<x≤4时，f(x)＝单调递减，故f(x)＝是R上的单调减函数，则解得2<a≤，即a的取值范围是.故选D. (2)已知函数f(x)＝若f(f(9))＝6，则m＝____． 又h(0)＝0，所以h(x)＝ 函数g(x)的图象开口向下，其对称轴方程为x＝， ①当≤1，即m≤1时，g(x)max＝g(1)＝－2＋3＋m＝2，解得m＝1； ②当1<<2，即1<m<5时，g(x)max＝g＝＝2，解得m＝1(舍去)或m＝－7(舍去)； ③当≥2，即m≥5时，g(x)max＝g(2)＝－8＋2m＋6＝2，解得m＝2(舍去)． 解：因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以n＝0， 因为f(1)＝1，即＝1，所以m＝2. 解：证明：由(1)得f(x)＝. 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝， 因为－1<x1<x2<1，所以x1－x2<0，1－x1x2>0，1＋x>0，1＋x>0， 所以解得0<t<，即不等式的解集为. 　(1)函数y＝的图象大致为 设y＝f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选项C、D不符合题意；f(1)＝＝2>0，选项B不符合题意．故选A. － (1)平移：y＝f(x)的图象y＝f(x±h)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(x)±k的图象(其中h>0，k>0)． (2)对称：y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象． (2022·天津卷)函数y＝的图象大致为 记f(x)＝，则对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝＝＝－f(x)，故f(x)是奇函数，所以y＝f(x)的图象关于原点对称，故排除选项C，D；因为|x2－1|≥0，所以当x>0时，f(x)≥0，当x<0时，f(x)≤0，故排除选项B.故选A. 若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，若f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，比如f(x)＝，但f(x)＝在为减函数，在为增函数，故f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0，1]上单调递增，故“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件．故选A. (2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f ＝3，则a＝___. f ＝f(6－4)＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，故a＝2. (2022·北京卷)设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为______________；a的最大值为____． 若a＝0时，f(x)＝所以f(x)min＝0；若a<0时，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递增，当x→－∞时，f(x)→－∞，故f(x)没有最小值，不符合题目要求；若a>0时，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递减，f(x)>f(a)＝－a2＋1，当x>a时，f(x)min＝所以－a2＋1≥0或－a2＋1≥(a－2)2，解得0<a≤1，综上可得0≤a≤1.所以a的最大值为1. 2．函数f(x)＝－的定义域是 要使函数有意义，x的取值需满足解得x≥－1，且x≠0，则函数的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞)． A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝1，g(x)＝x0 C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ A．y＝ B．y＝(x∈(0，＋∞)) C．y＝(x∈N) D．y＝ 6．函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f ＝ 根据题意，f(x)＝其定义域为(－1，＋∞)，则函数f(x)在(－1，0)和区间[0，＋∞)上都是增函数，若实数a满足f(a)＝f(a－1)，必有a>0， 当0<a<1时，有2a＝，解得a＝，则f ＝f(4)＝8，当a≥1时，有2a＝2(a－1)，无解，故f ＝8.故选D. 7．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1，若对一切x∈，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为 A． B． 因为对一切x∈，f(x)>0都成立，所以a>＝－＝－＋1.又－＋1≤1，所以a>1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)． A． B． C． D． 将方程转化为a(x＋2)＝f(x)，于是问题转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)＝a(x＋2)的图象的交点问题．在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝g(x)＝a(x＋2)的图象，如图所示，y＝a(x＋2)为过(－2，0)的直线，此直线在[－2，3]上与函数y＝f(x)有4个不同的交点，只需满足解得<a<.故选B. 9．已知函数f(x)＝则下列说法正确的是 由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为＝＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－＝－(x－300)2－35 000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000元．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．故选AD. D．函数f(x)＝(x＞－1)是闭函数 对于选项A，因为y＝x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确；对于选项B，若函数是闭函数，则可设x∈[a，b]，y∈[a，b]，假设函数单调递增，则显然无解，若单调递减，则解得a＝b，显然不成立，所以B错误；对于选项C，函数是开口向下的二次函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，令f(x)＝－x2，若是闭函数，则一定有即解得满足新定义的闭区间是[－1，0]，此时a＝－1，b＝0，所以C正确； 对于选项D，f(x)＝＝1－，函数在(－1，＋∞)上单调递增，若满足新定义则有即解得a＝b，又a＜b，所以不存在区间满足新定义，所以D错误．故选AC. f(x)＝ 当x∈[－1，0]时，y＝x＋1；当x∈(0，2]时，y＝－x，故f(x)的解析式为f(x)＝ 14．已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝x|x－2|，若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有<2成立，则t的最大值为____． 因为f(x)＝2x＋1，所以不等式<2可化为－4<0，故<0，由已知可得函数y＝g(x)－4x在[0，t]上单调递减，又g(x)＝x|x－2|，所以y＝x(|x－2|－4)在[0，t]上单调递减，设h(x)＝x(|x－2|－4)，则h(x)＝x(|x－2|－4)＝函数h(x)在(0，2)上单调递减，在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以t的最大值为3. 15．(本小题满分13分)已知f(x)＝. 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝， 即f(x)min＝，f(x)max＝1. 17．(本小题满分15分)国内某企业计划在2025年投资新技术、生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝经市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． 整理得L(x)＝ 当x∈[40，＋∞)时，L(x)max＝－x－＋9 200≤－2＋9 200＝ 9 000(万元)， 当且仅当x＝，即x＝100时，等号成立， 18．(本小题满分17分)已知定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f ＝. 解：因为f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝0. 又因为f ＝，所以＝⇒a＝1， 所以f(x)＝. 所以有即 解得0<t<. 故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为. 所以＝ ，即＝， 所以y＝－x＋10，其定义域为{x|4≤x≤8}． 则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50， $$