2.2.3 一元二次不等式的解法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

2.2.3　一元二次不等式的解法 　 第二章　2.2　不等式 知识目标 1．理解一元二次不等式的定义． 2．能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式． 3．了解简单的分式不等式，并会求其解集. 素养目标 借助一元二次不等式的概念，培养数学抽象素养；通过学习一元二次不等式的解法，提升数学运算素养；借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 1．给出下面四个不等式： (1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0； (3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5<0. 问题1.以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：每个不等式含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 问题导思 2．下表是二次函数y＝x2－x－6的一些对应值表，抛物线是其图象． x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 问题2.根据图表，你能说出一元二次方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出一元二次不等式x2－x－6>0与x2－x－6≤0的解集吗？ 提示：x1＝－2或x2＝3；{x|x<－2或x>3}，{x|－2≤x≤3}． 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如______________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是_____________ _______等． 新知构建 ax2＋bx＋c>0 “<”“≥” “≤” 一元二次不等式的二次项系数a有a>0和a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式． 微提醒 知识点二　一元二次不等式的解法 1．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是__________，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是____________________． (x1，x2) (－∞，x1)∪(x2，＋∞) 1．这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”． 2．因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来 求解． 微提醒 2．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为____________或_________的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到不等式的解集． (x－h)2>k (x－h)2<k 1．因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集． 2．用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方 技巧． 微提醒 知识点三　简单分式不等式的解法 分式不等式的概念 ______中含有未知数的不等式称为分式不等式． 分母 当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意． 微提醒 1．(多选)下列不等式中是一元二次不等式的是 A．a2x2＋2≥0(a≠0) B． <3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 √ √ 选项A中，a2≠0符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；选项C符合． 自主检测 2．不等式x2－2x－5>2x的解集是 A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1} C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5} √ 原不等式等价于：x2－4x－5>0，即(x＋1)(x－5)>0，解得x<－1或x>5.故原不等式解集为{x|x>5或x<－1}．故选B. 3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 √ y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故选C. 4．不等式x2－2x－3<0的解集是__________． (－1，3) x2－2x－3＝0的两个根分别为－1，3，所以不等式x2－2x－3<0的解集为(－1，3)． 返回 合作探究 返回 题型一　解不含参数的一元二次不等式 　求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3<0； 点拨：利用因式分解法或配方法求解． 解：原不等式可化为(2x－1)(x＋3)<0， 例1 (2)－3x2＋6x≤2； 解：原不等式可化为3x2－6x＋2≥0. (3)4x2－4x＋1>0； 解：原不等式可化为(2x－1)2>0， (4)－x2＋6x－10>0. 解：原不等式可化为x2－6x＋10<0， 配方得(x－3)2<－1.因为(x－3)2≥0， 所以原不等式的解集为∅. 规律方法 我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程： 对点练1.解下列不等式： (1)x2＋x－12≤0； 解：解方程x2＋x－12＝0， 其中a＝1，b＝1，c＝－12， Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－12)＝49， 所以不等式x2＋x－12≤0的解集为{x|－4≤x≤3}. (2)－4x2＋4x－1<0； 解：不等式两边同乘－1得4x2－4x＋1>0， 解方程4x2－4x＋1＝0， 其中a＝4，b＝－4，c＝1， Δ＝b2－4ac＝16－4×4×1＝0， (3)5x2－7x＋3≤0. 解：解方程5x2－7x＋3＝0， 其中a＝5，b＝－7，c＝3， 且Δ＝b2－4ac＝－11<0， 所以不等式5x2－7x＋3≤0的解集为∅. 题型二　三个“二次”之间的关系 　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 点拨：由给定不等式的解集形式 → 确定a<0及关于a，b，c的方程组 ―→用a表示b，c ―→ 代入所求不等式 ―→ 求解cx2＋bx＋a<0的解集 例2 规律方法 1．一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． 2．若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． 对点练2.已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集 为B. (1)求A∩B； 解：由x2－2x－3<0得－1<x<3， 所以A＝{x|－1<x<3}． 由x2＋x－6<0得－3<x<2， 所以B＝{x|－3<x<2}， 所以A∩B＝{x|－1<x<2}． (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集． 解：因为不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B＝{x|－1<x<2}, 所以－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的解， 代入ax2＋x＋b<0得－x2＋x－2<0， 所以不等式的解集为R. 题型三　简单的分式不等式的解法 　解下列不等式： 例3 点拨：把分式不等式转化为一元二次不等式求解，注意分母不等于0. 方法二　原不等式可化为 点拨：把分式不等式转化为一元二次不等式求解，注意分母不等于0. 方法三　原不等式可化为(2－x)(x＋3)>(x＋3)2， 规律方法 1．解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母． 2．当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化． √ 题型四　含参数的一元二次不等式的解法 　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 点拨：不等式左边分解因式 → 讨论a的范围 → 比较a与a2的大小 → 写出不等式的解集 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}； 当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}． 例4 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}． 规律方法 含参数的一元二次不等式求解步骤 第一步：讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口 方向； 第二步：讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的 个数； 第三步：当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小； 第四步：最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 对点练4.解关于x的不等式：x2－(2＋a)x＋2a<0. 解：x2－(2＋a)x＋2a＝(x－a)(x－2)<0， 因为y＝x2－(2＋a)x＋2a的图象开口向上， 所以当a<2时，原不等式的解集是{x|a<x<2}， 当a＝2时，原不等式的解集是∅， 当a>2时，原不等式的解集是{x|2<x<a}． 返回 随堂演练 返回 1．下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 √ 根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．故选D. 2．不等式3x2－2x＋1>0的解集为 C．∅ D．R √ 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.故选D. A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0，或x≥1} D．{x|x<0，或x≥1} √ 返回 课时测评 返回 1．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1－x≥0}，则A∩B＝ A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0<x≤1} D．{x|1≤x<2} √ 因为A＝{x|x2－2x<0}＝(0，2)，B＝{x|1－x≥0}＝(－∞，1]，所以A∩B＝{x|0<x≤1}．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．若关于x的不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是(－7，－1)，那么a的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．不等式x(x－2)<0成立的一个充分不必要条件是 A．0<x≤2 B．0<x<2 C．0<x<1 D．x≤0 √ 由x(x－2)<0，解得0<x<2，即不等式x(x－2)<0的解集为{x|0<x<2}．由题意可得不等式x(x－2)<0成立的一个充分不必要条件应为{x|0<x<2}的真子集．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若不等式x2＋mx＋ >0的解集为R，则实数m的取值范围是 A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0，2) √ 由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1× <0，即m2－2m<0，解得0<m<2，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．解不等式x2－5x＋6>0的解集为_______________． {x|x<2或x>3} 因为x2－5x＋6>0＝(x－2)(x－3)>0，解得x<2或x>3，所以不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2或x>3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．不等式 <2的解集为____________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？若“能”，当长＝______m；宽＝______m时，所围成的矩形的面积最大． 25 25 设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，0<x<50.由题意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0，解得20<x<30.所以，当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．用S表示矩形的面积，则S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625(0<x<50)．当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25.即当矩形的长、宽都为25 m时，所围成的矩形的面积最大． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0；(4分) 解：－x2＋8x－3>0可化为x2－8x＋3<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)(x－2)(1－3x)>2.(6分) 解：原不等式可化为3x2－7x＋4<0， 即(3x－4)(x－1)<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0. 解：对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)． ①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为 所以原不等式的解集为 ②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1， 所以原不等式的解集为{x|x≠－1}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1， 所以原不等式的解集为{x|x≠1}． ④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根， 所以原不等式的解集为R. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，则实数a的取值范围是 A．a≤2 B．－2<a≤2 C．－2<a<2 D．a<2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)不等式x2＋2x－3<0的解集为_____________． {x|－3<x<1} 由x2＋2x－3<0得：(x－1)(x＋3)<0，解得－3<x<1，所以不等式的解集为{x|－3<x<1}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立． (1)求a的取值范围；(4分) 解：因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立， ①当a＝0时，1≥0恒成立； 解得0<a≤1. 综上，a的取值范围为{a|0≤a≤1}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.(6分) 解：由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0. 因为0≤a≤1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为R＝5x－ x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为产量的函数；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)．(10分) 解：要使企业不亏本，则y≥0. 即年产量在11台到4 800台之间时，企业不亏本． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 等 式 与 不 等 式 返回 依据是：ab>0当且仅当或； ab<0当且仅当或 5．不等式≥0的解集是__________． 因为不等式≥0可转化为解得：－≤x<，所以原不等式的解集为. 所以原不等式的解集为. 所以原不等式的解集为. 配方得3(x－1)2－1≥0，即(x－1)2≥. 两边开平方得，|x－1|≥. 所以x－1≤－或x－1≥， 所以x≤1－或x≥1＋. 所以原不等式的解集为. 所以x1＝＝3，x2＝＝－4， 所以x1＝x2＝－＝； 所以不等式－4x2＋4x－1<0的解集为； 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>.所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 解：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0， 方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a(x－)<0.又a<0，故原不等式的解集为. 因此 解得 即为x2－x＋2>0，x2－x＋2＝(x－)2＋>0恒成立， (1)≥0； 解：方法一　因为≥0， 所以 所以原不等式的解集为. 所以即x<－或x≥. 所以原不等式的解集为. 或 解得x≥或x<－， 所以－3<x<－. 所以原不等式的解集为. (2)>1. 解：方法一　原不等式可化为－1>0，即<0， 所以或 解得或 即(2x＋1)(x＋3)<0，所以－3<x<－， 所以原不等式的解集为. 方法二　原不等式可化为>0， 即<0， 所以(2x＋1)(x＋3)<0，所以－3<x<－. 所以原不等式的解集为. 对点练3.不等式≤0的解集为 A． B． C．∪[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) 不等式≤0等价于 解得－<x≤1，故不等式的解集为.故选A. A． B． 3．不等式≥0的解集为 原不等式可化为解得故其解集为{x|0<x≤1}．故选B. 4．若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为____________． 因为0<m<1，所以>1>m，故原不等式的解集为. 不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是(－7，－1)，则方程ax2＋8ax＋21＝0的两根是－7和－1，且a>0，则解得a＝3，故选C. 5．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 A． B． C． D． 由题设不等式ax2＋bx＋c>0的解集，即ax2＋bx＋c＝0的两根为－，3，且a<0.所以b＝－a，c＝－a，a<0，所以cx2＋bx＋a<0变形为－ax2－ax＋a<0，由a<0，化简得3x2＋11x－4<0，解得－4<x<.故选C. (－∞，0)∪ 根据题意，<2⇒<0⇒x(1－2x)<0，解得x<0或x>，即不等式的解集为(－∞，0)∪. 对应方程x2－8x＋3＝0的两个根为x＝4±， 所以原不等式的解集为(4－，4＋)． 解得1<x<， 所以原不等式的解集为(1，)． x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)． . 因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x<4的解集为R，①当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0恒成立，故a＝2符合题意；②当a－2≠0，即a≠2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x<4的解集为R，即不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，则解得－2<a<2，故－2<a<2符合题意．综合①②可得，实数a的取值范围为－2<a≤2.故选B. ②当a≠0时，则 所以①当1－a>a，即0≤a<时，a<x<1－a； ②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解； 当a＝时，解集为∅； 当<a≤1时，解集为{x|1－a＜x＜a}. ③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a. 综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a＜x＜1－a}； 14．(5分)若不等式>ax＋的解集是(4，b)，则实数a＝_____，b＝_____． 设＝t，则x＝t2.由题意易知不等式at2－t＋<0的解集为(2，)，所以2，是方程at2－t＋＝0的两根，即解得 解：设利润为y万元，当0≤x≤5时，y＝5x－x2－0.25x－0.5＝－x2＋x－， 当x>5时，y＝5×5－×52－0.25x－0.5＝12－x， 故y＝ 即或解得0.11≤x≤5或5<x≤48，即0.11≤x≤48. $$