2.2.2 不等式的解集-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

2.2.2　不等式的解集 　 第二章　2.2　不等式 知识目标 1．了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集． 2．了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含有绝对值的不等式． 3．掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式. 素养目标 通过求一元一次不等式(组)的解集，培养数学运算素养；借助解绝对值不等式，提升数学抽象、数学运算素养；通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学习，培养直观想象核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1　方程的解与方程的解集是一样吗？ 提示：不一样．方程的解集是方程的解构成的集合． 问题2　如何由方程的解集与不等式的解定义不等式的解集？ 提示：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． 问题导思 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1．一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的________组成的集合称为不等式的解集． 2．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的______称为不等式组的解集． 新知构建 所有解 交集 1．不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质． 2．注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集． 微提醒 知识点二　绝对值不等式 1．绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，|x|>3，|x－1|≤2都是绝对值不等式． 1．数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|. 2．绝对值不等式|x|>m(m>0)的几何意义为数轴上与原点的距离大于m 的点． 微提醒 2．绝对值不等式的解集 (1)当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<－m，因此解集为_______________________； (2)关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为__________． (－∞，－m)∪(m，＋∞) [－m，m] 知识点三　数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 1．一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝_____，这就是数轴上两点之间的距离公式． 2．如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM＝MB可知|a－x|＝|x－b|， 因此：当a<b时，有a<x<b，从而x－a＝b－x，所以x＝______． 当a≥b时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式． |a－b| 1．不等式－2x＋1>3的解集为 A．{x|x>－2} B．{x|x<－2} C．{x|x>－1} D．{x|x<－1} √ 解不等式－2x＋1>3得x<－1.所以不等式－2x＋1>3的解集为{x|x<－1}．故选D. 自主检测 2．不等式|x＋1|>1的解集为 A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞) √ 原不等式去绝对值符号有x＋1>1或－(x＋1)>1，解得x>0或x<－2，不等式|x＋1|>1的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．故选D. A．{x|x>3} B．{x|x<3} C．{x|x<2} D．{x|x>2} √ 4．设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为__________． {x|2<x<4} 因为x∈R，不等式|x－3|<1，所以－1<x－3<1，解得2<x<4.所以不等式|x－3|<1的解集为{x|2<x<4}. 5．数轴上，A(－2)关于原点O的对称点是B(x)，点O与点C(y)的中点是B.则x＝____，y＝____． 2 4 返回 合作探究 返回 题型一　一元一次不等式(组)的解法 √ 例1 A．(－3，2) B．(－3，－2) C．(－∞，2] D．[－3，＋∞) 点拨：分别解出不等式的解集，然后求交集即为不等式组的解集． 解不等式x－2<0，得x<2，解不等式3x<4x＋3，得x>－3，则不等式组的解集为(－3，2)，故选A. 规律方法 1．解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3时不等号的方向是否改变． 2．解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定它们的交集，最后写出不等式组的解集． 去分母，得3(2x＋4)≥6－2(1－x)， 去括号，得6x＋12≥6－2＋2x， 移项合并，得4x≥－8， 系数化为1，得解集为{x|x≥－2}， 因为已知的不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同， 所以b＝－2. 题型二　绝对值不等式的解法 　解不等式1<|2－x|≤7. 点拨：(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值的符号，其基本思想是把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式． (2)本例题是绝对值不等式的一种常见题，方法二要比方法一更为简单．也可根据绝对值的意义解题． 例2 所以－5≤x<1或3<x≤9. 所以原不等式解集为[－5，1)∪(3，9]． 方法二　原不等式可转化为 －7≤x－2<－1或1<x－2≤7， 所以－5≤x<1或3<x≤9， 所以原不等式解集为[－5，1)∪(3，9]． 规律方法 1．如果c>0，那么|x|<c⇔－c<x<c，|x|>c⇔x<－c或x>c. 2．如果c>0，那么|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c，|ax＋b|>c⇔ax＋b<－c或ax＋b>c. 4．对于形如|x－a|＋|x－b|>c和|x－a|＋|x－b|<c的不等式，一般以x＝a，x＝b为分界点，将数轴分为几个部分，利用零点分段讨论法或者绝对值的几何意义求解．零点分段讨论法适用于解含有多个绝对值的不等式． 对点练2.(1)不等式|4－x|≥1的解集为 A．[3，5] B．(－∞，3]∪[5，＋∞) C．[－4，4] D．R √ (2)不等式|x－1|>4的解集为______________． {x|x<－3或x>5} |x－1|>4⇒x－1>4或x－1<－4⇒x>5或x<－3，故不等式的解集为{x|x<－3或x>5}． 题型三　数轴上的距离问题 　已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)． (1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； 例3 所以实数m的值为－18或－3或12. (2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围． 所以实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)． 规律方法 1．当P(x)中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P(x)中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x. 2．由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方． 对点练3.已知数轴上点H是以P(－3)，Q(11)为端点的线段的中点，若MH＞5，求点M坐标的取值范围． 设M(x)，则|x－4|＞5. 所以x－4＞5或x－4＜－5， 所以x＞9或x＜－1， 即点M坐标的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞). 返回 随堂演练 返回 1．不等式3x＞4x－6的解集为 A．{x|x＞6} B．{x|x＜6} C．[6，＋∞) D．(－∞，6] √ 原不等式移项、合并得－x＞－6，两边同时乘以－1得x＜6.故选B. √ 3．不等式|x＋1|＞3的解集是 A．{x|x＜－4或x＞2} B．{x|－4＜x＜2} C．{x|x＜－4或x≥2} D．{x|－4≤x＜2} √ 由|x＋1|＞3，得x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.故选A. 4．已知点B(x)到原点的距离不大于4，则x的取值范围为__________． [－4，4] 由题意，|x|≤4，所以－4≤x≤4. 返回 课时测评 返回 1．不等式3x－1<x＋3的解集在数轴上表示正确的是 √ 解不等式3x－1<x＋3得，x<2，在数轴上表示为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知数轴上两点A，B的坐标分别为－5，4，则A与B的距离为 A．1 B．－1 C．9 D．－9 √ AB＝|4－(－5)|＝9.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．4 B．3 C．2 D．1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若不等式|x＋a|≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，则实数a的值为 A．－2 B．－3 C．2 D．3 √ 由题意可得|x＋a|≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，而由|x＋a|≤3，可得－3≤ x＋a≤3，即－3－a≤x≤3－a，故有－3－a＝－1，且3－a＝5，得a＝－2，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知数轴上，A(1)，B(x)，C(－3)，若A与B关于点C对称，则x的值为 A．－1 B．－7 C．5 D．3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．关于x的不等式|3－2x|≥5的解集为______________________． (－∞，－1]∪[4，＋∞) 因为|3－2x|≥5，所以3－2x≤－5或3－2x≥5，解得x≥4或x≤－1，所以不等式|3－2x|≥5的解集为(－∞，－1]∪[4，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知数轴上，A(x)，B(1)，且AB＝ ，则x的值为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)解不等式3<|2x－3|<5. 解：由题显然2x－3≠0， 因为3<|2x－3|<5，所以3<2x－3<5， 所以3<x<4， 因为3<|2x－3|<5，所以3<－2x＋3<5， 所以－1<x<0， 故原不等式的解集为(－1，0)∪(3，4)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)求不等式|x－4|＋|x－1|≤7的解集． 解：方法一(分类讨论法) 当x≤1时，原不等式可化为4－x＋1－x≤7，解得x≥－1，所以－1≤x ≤1； 当1＜x≤4时，原不等式可化为4－x＋x－1≤7，即3≤7，显然成立，所以1＜x≤4； 当x＞4时，原不等式可化为x－4＋x－1≤7，解得x≤6，所以4＜x≤6. 综上，原不等式的解集为[－1，6]． 方法二(几何法)根据绝对值的几何意义知，在数轴上，表示x的点应满足与表示4，1的点的距离之和不大于7，利用数轴可得不等式的解集为[－1，6]． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)不等式|2x＋3|<a的解集为(－2，－1)，则方程x2＋(2a＋1)x＋2＝0的两根之和为 A．－3 B．－2 C．2 D．3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)当m＝－11时，求不等式组的解集；(4分) 解：当m＝－11时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当m取何值时，该不等式组的解集是∅？(6分) 因为不等式组的解集为∅， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)若关于x的不等式|x－1|<2a成立的充分条件为{x|0<x<4}，则实数a的取值范围可以是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m. (1)若不等式有解；(4分) 解：方法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差． 即|x＋2|－|x＋3|＝PA－PB. 由图象知(PA－PB)max＝1， (PA－PB)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. 若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的范围为(－∞，1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. 若不等式有解，则m∈(－∞，1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若不等式解集为R；(4分) 解：方法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差． 即|x＋2|－|x＋3|＝PA－PB. 由图象知(PA－PB)max＝1， (PA－PB)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. 若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)． 方法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. 若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若不等式解集为∅.(7分) 分别求出m的取值范围． 解：方法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差． 即|x＋2|－|x＋3|＝PA－PB. 由图象知(PA－PB)max＝1， (PA－PB)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. 若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. 若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 等 式 与 不 等 式 返回 3．不等式组的解集是 解①得x>2，解②得x>3，所以不等式组的解集为{x|x>3}．故选A. 由题意知0＝，所以x＝2，x＝2＝，所以y＝4. 　不等式组的解集为 对点练1.已知关于x的不等式≥1－(a为常数)．当a＝4时，已知的不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同，求b的值． 解：当a＝4时，不等式为≥1－， 所以b<0，＝－2， 解：方法一　原不等式可转化为 所以即 3．形如n<|ax＋b|<m(m>n>0)的不等式等价于⇔n<ax＋b<m或－m<ax＋b<－n. 由|4－x|≥1可得或解得x≤3或x≥5.故不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B. 解：若P是线段QR的中点，则－8＝，所以m＝－18； 若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3； 若R是线段PQ的中点，则2＝，所以m＝12. 解：由题意，知＞1， 即＞1， 所以－1＞1或－1＜－1，解得m＞4或m＜0， 解：点H的坐标为＝4， 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是 由不等式组得即－1≤x＜2，数轴表示正确的为B. 3．不等式组的整数解的个数为 解不等式组得－3<x≤，故整数解有－2，－1，0.故选择B项． 因为数轴上，A(1)，B(x)，C(－3)，且A与B关于点C对称，所以＝－3，解得x＝－7.故选B. 6．不等式组的解集_________． 由①得，x>－.由②得，x≤4.故此不等式组的解集为. 或－ 由题意|x－1|＝，所以x－1＝±，所以x＝或x＝－. 当2x－3>0时，即x>时，|2x－3|＝2x－3， 当2x－3<0时，即x<时，|2x－3|＝－(2x－3)＝－2x＋3， 解不等式|2x＋3|<a，得－a<2x＋3<a，<x<，因为不等式|2x＋3|<a的解集为(－2，－1)，所以解得a＝1，所以方程x2＋(2a＋1)x＋2＝0，即为x2＋3x＋2＝0，根据根与系数的关系得方程x2＋3x＋2＝0的两根之和为－＝－3.故选A. 12．(5分)若不等式组无解，则实数m的取值范围是 由①得，x<m.由②得，x>2.又因为不等式组无解，所以m≤2.故选A. 13．(10分)已知关于x的不等式组 解该不等式组的解集为. 解：解不等式m－2x＜x－1，得x＞. 所以≥－，所以m≥－. A． B． C． D． 因为不等式|x－1|<2a成立的充分条件是0<x<4，设不等式的解集为A，则(0，4)⊆A，当a≤0时，A＝∅，不满足要求；当a>0时，A＝(1－2a，1＋2a)，若(0，4)⊆A，则解得a≥.故选B. $$