2.1.1 等式的性质与方程的解集-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

2.1.1　等式的性质与方程的解集 　 第二章　2.1　等式 知识目标 1．能够从具体实例中探索等式的性质． 2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形． 3．会求方程的解集. 素养目标 借助等式的性质，培养逻辑推理素养；通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 我们已经学习过等式的性质： (1)等式的两边同时加上同一数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 如何用符号语言和量词表示上述等式的性质？ 提示：(1)如果a＝b，则对任意的c，都有a＋c＝b＋c. (2)如果a＝b，则对任意的不为零的c，都有ac＝bc. 问题导思 知识点一　等式的性质 新知构建   文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立. 如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝______. 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立. 如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝____. b＋c bc 1．因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立． 2．等式性质的延伸： (1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a； (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换)． 微提醒 知识点二　恒等式 1．恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 恒等式是进行代数变形的依据之一． 平方差公式、两数和(差)的平方公式都是恒等式． 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 2．“十字相乘法” 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝______________． (x＋a)(x＋b) 1．运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件： (1)分解因式的多项式是二次三项式； (2)二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． 2．对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 微提醒 知识点三　方程的解集 1．方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫方程. 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解. 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 解方程 求方程的解的过程叫解方程. 2．一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程. 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 表示形式 ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0). 1．已知等式a＝b，c为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是 A．a－c＝b－c B．a＋c＝b＋c C．2－3a＝2－3b D． √ 对于A，根据等式性质，等式两边都减c，即可得到a－c＝b－c，故这个选项不符合题意；对于B，根据等式性质，等式两边都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故这个选项不符合题意；对于C，根据等式性质，等式两边都乘以－3，根据等式性质，等式两边都加2，即可得到2－3a＝2－3b，故这个选项不符合题意；对于D，根据等式性质，等式两边都除以c时，应加条件c≠0，等式不一定成立，故这个选项符合题意．故选D. 自主检测 2．化简(a＋1)2－(a－1)2等于 A．2 B．4 C．4a D．4a2＋2 √ (a＋1)2－(a－1)2＝[(a＋1)－(a－1)][(a＋1)＋(a－1)]＝2×2a＝4a.故选C. 3．(多选)下列等式中是恒等式的是 A．a＋b＝b＋a B．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C．(x＋2y)2＝x2＋4y2 √ √ √ 由等式的性质知A、B选项正确；由(x＋2y)2＝x2＋4xy＋4y2知C选项错误；由平方差公式知D选项正确．故选ABD. A．{－17} B．{17} C．{4} D．{1} √ 5．(十字相乘法)分解因式：2x2－x－15＝_____________． (x－3)(2x＋5) 2x2－x－15＝(x－3)(2x＋5). 返回 合作探究 返回 题型一　等式的性质与恒等式 　(1)下列说法正确的是 A．若a＝b，则a－c＝c－b B．若a2＝ab，则a＝b √ 例1 点拨：利用等式的性质判断． A中，由等式的性质1可得a－c＝b－c，而不是a－c＝c－b，故A错误；B中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等式两边才能同时除以a，从而得到a＝b，故B错误；C中，根据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时除以c，从而得到 ，故C错误；D中，由分式的分母不为0可知c≠0，根据等式的性质2，等式两边同时乘以c，可得a＝b，故D正确． (2)先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)，其中x＝1，y＝ －1. 点拨：先化简，再把x＝1，y＝－1代入求值． 答案：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy. 当x＝1，y＝－1时，原式＝9xy＝－9. 规律方法 1．等式的性质是等式的变形依据．在运用性质1时，必须是在等式的两边同时加上(或减去)“同一个数”或“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一边． 2．恒等式成立的条件是等号两端式子中对应项的系数相等，这也是我们根据恒等式求值的依据． 对点练1.若多项式x2＋mx＋36因式分解的结果是(x－2)(x－18)，则m的 值是 A．－20 B．－16 C．16 D．20 √ x2＋mx＋36＝(x－2)(x－18)＝x2－20x＋36，可得m＝－20.故选A. 题型二　用“十字相乘法”分解因式 　分解因式： (1)x2＋x－2； 点拨：分解x2＋(a＋b)x＋ab型的式子时，有时需要经过多次尝试，才能使交叉相乘后再相加所得的和等于一次项系数． 解： 例2 x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)． 解： (3)2x2＋11x＋12； 解： 2x2＋11x＋12＝(x＋4)(2x＋3)． (4)5x2－7x－6. 解： 5x2－7x－6＝(x－2)(5x＋3)． 规律方法 用“十字相乘法”分解因式的步骤 第一步：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左 下角； 第二步：然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右 下角； 第三步：再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数； 第四步：写出最终结果． 对点练2.分解因式： (1)x2－2x－15； 解：x2－2x－15＝x2＋(3－5)x＋3×(－5)＝(x＋3)(x－5)． (2)(m2＋2m)2－7(m2＋2m)－8. 解：(m2＋2m)2－7(m2＋2m)－8＝(m2＋2m)2＋(－8＋1)(m2＋2m)＋(－8)×1＝(m2＋2m－8)(m2＋2m＋1)＝(m＋4)(m－2)(m＋1)2. 题型三　方程的解集 角度1　一元一次方程的解集 　求下列方程的解集： (1)2(x－1)＝5－x； 点拨：去括号 → 移项 → 合并同类项 → 未知数的系数化为1 → 解集 解：去括号，得2x－2＝5－x. 移项，得2x＋x＝5＋2. 合并同类项，得3x＝7. 例3 合并同类项，得x＝15. 因此方程的解集为{15}． 角度2　一元二次方程的解集 　求下列方程的解集： (1)x2－3x－4＝0； 点拨：因式分解法的前提是方程有解，其关键在于如何根据十字相乘法把二次项的系数与常数项进行数值分解，使得两组数值交叉乘积之和等于一次项的系数，所以在分解过程中应不断调试数值． 解：因为x2－3x－4＝(x＋1)(x－4)， 所以原方程可化为(x＋1)(x－4)＝0， 故x＋1＝0或x－4＝0， 解得x＝－1或x＝4. 因此原方程的解集为{－1，4}． 例4 (2)x＋2＝3x2； 解：因为3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)， 所以原方程可化为(3x＋2)(x－1)＝0， 故3x＋2＝0或x－1＝0， (3)6x(x＋1)＝5(x＋1)； 解：因为6x(x＋1)＝5(x＋1)， 所以(x＋1)(6x－5)＝0， 所以x＋1＝0或6x－5＝0. (4)(2x－1)2－(x＋1)2＝0. 解：因为(2x－1)2－(x＋1)2＝0， 所以4x2－4x＋1－x2－2x－1＝0. 所以3x2－6x＝0. 所以x(x－2)＝0. 所以x＝0或x＝2. 所以原方程的解集为{0，2}． 规律方法 用因式分解法解一元二次方程的步骤 第一步：将方程右边化为0； 第二步：将方程的左边分解为两个一次因式的积； 第三步：令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解． 注意　①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项使方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根．②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式． 对点练3.求下列一元二次方程的解集： (1)x2－x＝0； 解：x2－x＝0，分解因式得x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0， 解得x1＝0，x2＝1. 所以方程的解集为{0，1}． (2)x2＋5x－14＝0. 解：x2＋5x－14＝0， 分解因式得(x＋7)(x－2)＝0， x＋7＝0或x－2＝0， 解得x1＝－7，x2＝2. 所以方程的解集为{－7，2}. 返回 随堂演练 返回 1．(多选)若3a＝2b，下列各式进行的变形中，正确的是 A．3a＋2 024＝2b＋2 024 B．3a－2 025＝2b－2 025 C．9a＝4b √ √ √ 2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是 A．3n＋2m B．3n＋m C．3n－m D．3n－2m √ 原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n.故选C. 3．下列方程的解正确的是 A．x－3＝1的解集是{－2} √ 4．因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝___________________． (a－b＋4)(a－b＋7) 把a－b看作一个整体．因为4×7＝28，4＋7＝11，所以，原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)． 返回 课时测评 返回 1．(多选)下列属于恒等式的有 ①(a＋b)c＝ac＋bc； ②(a＋b)(a－b)＝a2－b2； ③4x＝2 024； ④(x－1)2＝0. A．① B．② C．③ D．④ √ √ ①②属于恒等式．只有当x＝506时，等式4x＝2 024才成立；只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以③④不是恒等式．故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．将x2－10x－24分解因式，其中正确的是 A．(x＋2)(x－12) B．(x＋4)(x－6) C．(x－4)(x－6) D．(x－2)(x＋12) √ x2－10x－24＝(x＋2)(x－12)．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如果{2}是方程 x＋a＝－1的解集，那么a的值是 A．0 B．2 C．－2 D．－6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为 A．{x|x＝2} B．{x|x＝1或x＝－2} C．{x|x＝1} D．{1，－2} √ 方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去，所以解集为{x|x＝1}．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．化简(x＋y)2－(x－y)(x＋y)的结果是_________． 2xy＋2y2 原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋y2＝2xy＋2y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知x＋y＝7，xy＝－8，则： (1)x2＋y2＝____； 65 x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝72－2×(－8)＝65. (2)(x－y)2＝____． 81 (x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×(－8)＝81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．方程ax2＋4x＋4＝0只有一个解，则a可能取值为______． 0或1 当a＝0时，方程为4x＋4＝0，解得x＝－1，满足题意；当a≠0时，则Δ＝42－4a×4＝0，解得a＝1，综上，a可能取值为0或1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(15分)将下列各式因式分解： (1)x2(m－2)＋y2(2－m)；(5分) 解：原式＝x2(m－2)－y2(m－2) ＝(m－2)(x＋y)(x－y)， (2)x2＋2x－15.(10分) 解：x2＋2x－15＝(x＋5)(x－3)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(15分)求下列方程的解集： (1)4－3(10－y)＝5y；(5分) 解：由4－3(10－y)＝5y得4－30＋3y＝5y， 移项整理得2y＝－26，解得y＝－13； 所以该方程的解集为{－13}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 移项整理得2x＋3＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)下列式子中变形正确的是 A．若3x－1＝2x＋1，则x＝0 B．若ac＝bc，则a＝b √ √ 对于A选项，两边同时减(2x－1)，得x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a(a≠0)，得到 ，故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确．故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是 A．2 B．－2 √ 把x＝m代入方程，得4m－3m＝2，解得m＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(5分)已知a2＋2a－2 025＝0，则(a＋1)2＝________． 2 026 由题可知a2＋2a＝2 025，所以(a＋1)2＝a2＋2a＋1＝2 025＋1＝2 026. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(7分)(新角度)小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 等 式 与 不 等 式 返回 ＝ D．x2－2y2＝(x－y)(x＋y) 4．方程－＝1的解集为 通分得，＝1，去分母，去括号得，3x－9－4x－2＝6，系数化为1得，x＝－17，即其解集为{－17}．故选A. C．若a＝b，则＝ D．若＝，则a＝b ＝ (2)x2－x＋1； x2－x＋1＝(x－2)． 系数化为1，得x＝. 因此方程的解集为. (2)2x－(5x－6)＝10－. 解：去括号，得2x－x＋2＝10－x＋7. 移项，得2x－x＋x＝10＋7－2. 解得x＝－或x＝1. 因此原方程的解集为. 所以x＝－1或x＝. 所以原方程的解集为{－1，}． D．－＝－ 对于A，因为3a＝2b，所以3a＋2 024＝2b＋2 024，故A正确；对于B，因为3a＝2b，所以3a－2 025＝2b－2 025，故B正确；对于C，因为3a＝2b，所以9a＝6b，故C错误；对于D，因为3a＝2b，所以－＝－，故D正确．故选ABD. B．x－2x＝6的解集是{－4} C．3x－4＝(x－3)的解集是{3} D．－x＝2的解集是 方程x－3＝1的解是x＝4，x－2x＝6的解是x＝－4，3x－4＝(x－3)的解是x＝－7，－x＝2的解是x＝－6.故选B. 由条件知x＝2满足方程x＋a＝－1，把x＝2代入到x＋a＝－1中得：1＋a＝－1，解得a＝－2.故选C. 由题意，得(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b＝x2－3x＋a，所以即故选D. 解得x＝－； 所以该方程的解集为. (2)＝－1.(10分) 解：由＝－1去分母，得2(2x－1)＝2x＋1－6， C．若＝，则＝ D．若＝，则y＝x ＝ C． D．－ 15．(8分)(新定义)我们将形如(其中a，b，c，d表示数或式子)的形式定义为行列式，并规定：＝ad－bc.若已知＝2，则x＝____． 由＝2，得－2x－(－7)×6＝2，即－2x＋42＝2.移项、合并同类项，得－2x＝－40，所以x＝20. $$