1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 　 第一章　1.2　常用逻辑用语 知识目标 1．能正确写出一个命题的否定，并能够判断其真假． 2．理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有一个量词的命题进行否定． 3．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 素养目标 通过对命题的否定的认识，提升数学抽象素养；通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 以上命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 问题导思 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 问题2.写出下列命题的否定： (1)所有的正比例函数都是一次函数； 提示：并非所有的正比例函数都是一次函数． (2)每一个有理数都能写成分数形式． 提示：并非每一个有理数都能写成分数形式． 问题3.能否用存在量词改写问题1中的两个命题的否定？如何改写？ 提示：能　①存在一个正比例函数不是一次函数． ②存在一个有理数不能写成分数形式． 问题4.问题3中的两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题． 知识点一　命题的否定 1．命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“_________”． 2．命题¬p的真假性 命题¬p的真假性可以用下表(真值表)表示： 新知构建 命题p 命题p的否定(¬p) 真 ____ 假 ____ 显然，¬p与p不能同真或同假，其中一个为真，另一个必定为假，它们是互为否定的，从而有¬(¬p)＝p. p的否定 假 真 命题的否定与集合运算的关系 1．已知全集为U，设命题p对应的集合为P，则命题的否定¬p对应的集合为∁UP＝{x|x∈U，且x∉P}，这样可以从集合的角度进一步认识命题的 否定． 2．已知全集为U，若“p是真命题”对应“a∈P”，则“p是假命题”对应“a∈∁UP”；若“¬p是真命题”对应“a∈∁UP”，则“¬p是假命题”对应“a∈P”． 微提醒 知识点二　存在量词命题的否定 一般地，对于存在量词命题的否定，有下列结论： 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)． 它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)． 1．要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立． 2．写存在量词命题的否定时，先否定量词，即把“∃”改为“∀”，再否定结论，所以存在量词命题的否定一定是全称量词命题． 3．存在量词命题p与它的否定¬p真假性相反，只需判断其中一个的真假，便知另一个的真假． 微提醒 知识点三　全称量词命题的否定 一般地，对于全称量词命题的否定，有下列结论： 全称量词命题q：∀x∈M，q(x)． 它的否定¬q：∃x∈M，¬q(x)． 1．要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立． 2．写全称量词命题的否定时，先否定量词，即把“∀”改为“∃”，再否定结论，所以全称量词命题的否定一定是存在量词命题． 3．全称量词命题q与它的否定¬q真假性相反，只需判断其中一个的真假，便知另一个的真假． 微提醒 1．若命题p：函数y＝1－x2的图象过点(－3，2)，则p与¬p的真假情况是 A．都是真命题 B．都是假命题 C．p真，¬p假 D．p假，¬p真 √ 因为p与¬p必一真一假，而本题中p显然是假命题，所以¬p必为真命题． 2．命题“∀x∈R，x2－x＋1＝0”的否定为 A．∀x∈R，x2－x＋1≠0 B．∃x∈R，x2－x＋1＝0 C．∃x∈R，x2－x＋1≠0 D．∃x∉R，x2－x＋1≠0 √ 命题为全称量词命题，则命题的否定为：∃x∈R，x2－x＋1≠0.故选C. 自主检测 3．命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是 A．∀x<0，x3＋x<0 B．∀x<0，x3＋x≥0 C．∃x≥0，x3＋x<0 D．∃x≥0，x3＋x≥0 √ 全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是∃x≥0，x3＋x<0.故选C. 4．命题：“∃x0∈R，x －1>0”的否定为 A．∃x∈R，x2－1≤0 B．∀x∈R，x2－1≤0 C．∃x∈R，x2－1<0 D．∀x∈R，x2－1<0 √ 命题：“∃x0∈R，x －1>0”的否定为“∀x∈R，x2－1≤0”．故选B. 5．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是______________________． 存在x0∈R，使得x <0 因为命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：“存在x0∈R，使得x <0”． 返回 合作探究 返回 题型一　命题的否定 　写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)圆周率π是无理数； 点拨：在写一个命题的否定时，一是要注意否定词的对应，如“是”对应“不是”，“或”对应“且”，“且”对应“或”等；二是要注意否定词添加的位置，否则容易得出错误的结论． 解：命题的否定：圆周率π不是无理数，是假命题． (2)空集∅是集合A的子集； 解：命题的否定：空集∅不是集合A的子集，是假命题． 例1 (3)2是质数且是偶数； 解：命题的否定：2不是质数或2不是偶数，是假命题． (4)6是2或3的倍数． 解：命题的否定：6不是2的倍数且不是3的倍数，是假命题． 规律方法 否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词．另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结论检查所写命题的否定是否正确． 对点练1.写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； 解：这一命题可以表述为p：“对所有实数m，方程x2＋x－m＝0有实 数根”， 其否定形式是“存在实数m，使得方程x2＋x－m＝0没有实数根”． 注意到当Δ＝1＋4m<0时，即m<－ 时， 一元二次方程没有实数根，所以命题p的否定是真命题． (2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0； 解：这一命题的否定形式是“对所有的实数x，都有x2＋x＋1>0”， 所以命题q的否定是真命题． (3)r：等圆的面积相等，周长相等． 解：这一命题的否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等或周长不 相等”， 由平面几何知识得等圆的面积相等，周长相等， 所以命题r的否定是假命题． 题型二　含有一个量词的命题的否定 　写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)p：每一个素数都是奇数； 例2 点拨： 确定所给命题是全称量词命题还是存在量词命题 针对量词和结论同时进行否定 命题的否定 判断真假 → → → 解：由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，¬p：存在一个素数不是奇数，是真命题． (2)q：有理数都能写成分数的形式； 解：q是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，¬q：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题． (3)t：某些平行四边形是菱形． 解：由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，¬t：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题． 规律方法 1．书写¬p的方法：存在量词命题的否定是把存在量词改为全称量词的同时，对命题的结论进行否定；全称量词命题的否定是把全称量词改为存在量词的同时，对命题的结论进行否定． 简记：否量词(或改量词)，否结论． 2．¬p的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假．当原命题为真时，命题的否定为假；当原命题为假时，命题的否定为真． 对点练2.(1)命题“存在x0∈R， ≤0”的否定是 √ (2)命题p：∃x>0，ex＝x＋1的否定形式¬p为 A．∀x≤0，ex≠x＋1 B．∀x>0，ex≠x＋1 C．∃x≤0，ex＝x＋1 D．∃x>0，ex≠x＋1 √ 命题p的否定形式¬p为：∀x>0，ex≠x＋1.故选B. 题型三　全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题 　已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围． 点拨：命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图象和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解． 解：方法一　¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题， 即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立． 设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知， 当x＝1时，y最大值＝1，所以m>y最大值＝1， 即实数m的取值范围为(1，＋∞)． 例3 方法二　¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题， 设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图象和性质知， 只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1， 即实数m的取值范围为(1，＋∞)． 规律方法 已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围． 1．存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)． 2．存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)． 对点练3.已知命题“∀x∈R，关于x的方程x2＋2x＋a＝0无解”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“∀x∈R，关于x的方程x2＋2x＋a＝0无解”是假命题， 所以“∃x0∈R，关于x的方程x ＋2x0＋a＝0有解”是真命题， 即Δ≥0，所以4－4a≥0，解得a≤1， 故实数a的取值范围为(－∞，1]. 返回 随堂演练 返回 1．命题“∀x∈R，x2－2x＋4<0”的否定为 A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋4≥0 C．∀x∉R，x2－2x＋4≥0 D．∃x∉R，x2－2x＋4≥0 √ 命题为全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，则命题的否定：∃x∈R，x2－2x＋4≥0.故选B. 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 √ 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选A. 3．(多选)下列四个命题中，其命题的否定是假命题的有 A．有理数是实数 B．有些四边形不是菱形 C．∀x∈R，x2－2x>0 D．∃x∈R，2x＋1为奇数 √ √ √ 由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题；有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题；∀x∈R，x2－2x>0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题；∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题．故选ABD. 4．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是_________． {a|a≤4} 因为命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，所以“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”是真命题，所以方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 返回 课时测评 返回 1．命题“存在x∈R，使得x2＋2x<1”的否定是 A．对任意x∈R，都有x2＋2x≥1 B．不存在x∈R，使得x2＋2x≥1 C．存在x∈R，使得x2＋2x>1 D．对任意x∈R，都有x2＋2x<1 √ 命题“存在x∈R，使得x2＋2x<1”为存在量词命题，该命题的否定为“对任意x∈R，都有x2＋2x≥1”．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．命题：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0的否定为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是 A．所有奇数都是2的倍数 B．存在一个偶数是2的倍数 C．所有偶数都不是2的倍数 D．存在一个偶数不是2的倍数 √ 根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是“存在一个偶数不是2的倍数”．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围为 A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1 √ 因为p为假命题，所以¬p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．命题p：∀x∈R，x2－x≥0的否定是__________________． 因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以，命题p：“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是“∃x0∈R，x －x0<0”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．“三角形的外角至少有两个钝角”的否定是_______________________ ________________． 存在一个三角形，其外角 最多有一个钝角 原命题省略了全称量词“任意”，“至少有两个”的否定词语是“最多有一个”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．若命题“∃x∈R，2x2＋3x＋a＝0”是假命题，则实数a的取值范围为 __________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋ ≥0；(2分) 解：¬p：∃x∈R，x2－x＋ <0，假命题． (2)q：所有的正方形都是矩形：(2分) 解：¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)r：有的实数没有平方根；(2分) 解：¬r：所有的实数都有平方根，假命题． (4)s：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除．(4分) 解：¬s：存在一个末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)写出下列命题的否定，并判断真假： (1)二次函数的图象是抛物线；(2分) 解：存在一个二次函数的图象不是抛物线．它是假命题． (2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(2分) 解：在直角坐标系中，存在一条直线不是一次函数的图象．它是真命题． (3)有些四边形存在外接圆；(2分) 解：任意的四边形不存在外接圆．它是假命题． (4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．(4分) 解：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)命题p：∀m∈R，一元二次方程x2＋mx＋1＝0有实根，则 A．¬p：∀m∈R，一元二次方程x2＋mx＋1＝0没有实根 B．¬p：∃m∈R，一元二次方程x2＋mx＋1＝0没有实根 C．¬p：∃m∈R，一元二次方程x2＋mx＋1＝0有实根 D．¬p：∀m∈R，一元二次方程x2＋mx＋1＝0有实根 √ 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：∀m∈R，一元二次方程x2＋mx＋1＝0有实根的否定是：¬p：∃m∈R，一元二次方程x2＋mx＋1＝0没有实根．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)若命题“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，则实数m的取值范 围为 A．[1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] √ 若命题“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，则命题的否定为“∃x∈R，|x|－1＋m≤0”是真命题；由|x|－1＋m≤0，解得m≤1－|x|；设f(x)＝1－|x|，则f(x)的最大值是f(x)max＝f(0)＝1；所以实数m的取值范围为(－∞，1]．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题q的否定为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1. 故实数m的取值范围是{m|m≥3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)静宁一中开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m的取值范围是否一致？____(填“是”或“否”)． 是 原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两位同学所出的题中m的取值范围是一致的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)命题p是“对任意实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是 常数． (1)写出命题p的否定；(5分) 解：命题p的否定：对某些实数x，有x－a≤0且x－b>0. (2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？(10分) 通过画数轴，如图，可看出，a，b应满足的条件是b<a. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 因为x2＋x＋1＝＋≥>0， ∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x) A．对任意的x∈R，2x≤0 B．存在x0∈R，2≥0 C．不存在x0∈R，2>0 D．对任意的x∈R，2x>0 因为命题“存在x0∈R，2≤0”是一个存在量词命题，所以命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x>0”．故选D. 2 A．不存在x0∈R，使得x－x＋1<0 B．存在x0∈R，使得x－x＋1<0 C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0 D．存在x0∈R，使得x－x＋1≥0 根据含有量词的命题的否定，其否定为：存在x0∈R，使得x－x＋1≥0.故选D. 4．命题“∀a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为 A．∀a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立 B．∀a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立 C．∃a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立 D．∃a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立 ∀a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立的否定为：∃a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立．故选D. ∃x0∈R，x－x0<0 因为命题“∃x∈R，2x2＋3x＋a＝0”是假命题，所以“∀x∈R，2x2＋3x＋a≠0”是真命题，即方程2x2＋3x＋a＝0无实数根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>；所以实数a的取值范围是. 因为命题p，q同时为真命题，所以解得m≥3， 解：要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集， $$