1.1.1 集合及其表示方法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

1.1.1　集合及其表示方法 　 第一章　1.1　集合 知识目标 1．通过实例了解集合与元素的含义，掌握集合中元素的三个 特性． 2．体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系，记住常用 数集的表示符号并会应用． 3．掌握集合的两种表示方法． 4．掌握区间的概念及表示方法. 素养目标 通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养；借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养；通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 1．看下面的几个例子： (1)平面内到定点O的距离等于2的所有的点； (2)方程x2－1＝0的所有实数根； (3)1～10之间的所-有偶数； (4)2023年杭州第19届亚运会上中国运动员金牌获得者； (5)地球上的四大洋． 问题导思 问题1.以上各语句中所研究的对象分别是什么？ 提示：以上各语句中所研究的对象分别为：平面内到定点O的距离等于2的所有的点的轨迹为圆、±1、2，4，6，8，10、2023年杭州第19届亚运会上中国运动员金牌获得者、太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋． 问题2.以上各语句中的研究对象确定吗？研究的对象有相同的吗？ 提示：研究对象确定．研究的对象没有相同的． 2．观察下面两个集合： (1)中国的“五岳”组成的集合M； (2)小于6的正整数构成的集合N. 问题3.上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？ 提示：能．集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5. 问题4.上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？ 提示：列举法．M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，N＝{1，2，3，4，5}． 知识点一　集合与元素的相关概念 1．集合的概念 在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象______________，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素． 集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，…表示． 新知构建 汇集在一起 集合的三个特性 1．描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． 2．整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． 3．广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 微提醒 2．元素与集合的关系 关系 语言表达 符合 读法 属于 a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A的元素 a∉A a不属于A 1．a∈A与a∉A取决于a是不是集合A的元素．元素a与集合A的关系在a∈A与a∉A这两种情况中必有一种且只有一种成立． 2．符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系． 微提醒 3．集合的分类 (1)一般地，我们把______________的集合称为空集，记作∅. (2)集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有________元素的集合称为有限集，含有________元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 4．集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素__________，就称这两个集合相等，记作A＝B. 不含任何元素 有限个 无限个 完全相同 知识点二　集合中元素的三个特性 特性 含义 示例 确定性 集合的元素必须是确定的．这就是说，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来. 集合A＝{1，2，3}，则1∈A，4∉A. 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．这就是说，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算作集合中的一个元素. 集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2. 无序性 集合中的元素可以任意排列. 集合{1，0}和集合{0，1}是同一个集合. 元素特性的主要作用 1．确定性的主要作用是判断一组对象能否组成集合，只有这组对象具有确定性时才能组成集合． 2．无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等． 3．互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 微提醒 知识点三　几种常见的数集及其记法 集合 意义 记法 自然数集 所有非负整数组成的集合. N 正整数集 在自然数集N中，去掉元素0之后的集合. N＋或N* 整数集 所有整数组成的集合. Z 有理数集 所有有理数组成的集合. Q 实数集 所有实数组成的集合. R 常用数集之间的关系 微提醒 知识点四　集合表示 1．自然语言 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法应注意叙述清楚，如由所有正方形组成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”；再如由全体实数组成的集合，或实数集等． 2．列举法 把集合中的元素__________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，以此来表示集合的方法称为________． 一一列举 列举法 列举法表示集合时的4个关注点 1．元素与元素之间必须用“，”隔开． 2．列举法表示集合，要分清是数集还是点集． 3．列元素时要做到不重复，不遗漏． 4．集合中的元素可以是任何事物． 微提醒 3．描述法 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质P(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质P(x)称为集合A的一个特征性质，此时，集合A可以用它的特征性质P(x)表示为{x|P(x)}，这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． 描述法表示集合时的3个关注点 1．写清楚集合中元素的符号，如数或点等． 2．说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图 形等． 3．不能出现未被说明的字母． 微提醒 知识点五　区间及其表示 1．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们作出规定： 定义 名称 符号 几何表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 这里的实数a，b分别称为区间的左、右端点，b－a称为区间的长度． 2．无穷大的概念 实数集R可表示为区间(－∞，＋∞)，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)，其定义、符号及几何表示如下表： 定义 符号 几何表示 {x|－∞<x<＋∞} (－∞，＋∞) {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 1．下列语句能构成集合的是 A．大于2且小于8的实数全体 B．某班中性格开朗的男生全体 C．所有接近1的数的全体 D．某校高个子女生全体 √ 自主检测 对于A，“大于2且小于8的实数全体”是确定的，能构成集合，所以该选项正确；对于B，“某班中性格开朗的男生全体”中，性格开朗是不确定的，不能构成集合，所以该选项错误；对于C，“所有接近1的数的全体”中，接近1的，是不确定的，不能构成集合，所以该选项错误；对于D，“某校高个子女生全体”中，高个子是不确定的，不能构成集合，所以该选项错误．故选A. 2．(多选)下面四个说法中错误的是 A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1，－1} D．0与{0}表示同一个集合 √ √ 10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确；方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误．故选CD. 3．下列关系中正确的个数是 √ A．1 B．2 C．3 D．4 4．用列举法表示集合{x|0≤x<5，x∈N}＝_________________． {0，1，2，3，4} {x|0≤x<5，x∈N}＝{0，1，2，3，4}． 5．用区间表示下列集合： (2){x|x<1或2<x≤3}＝_________________． (－∞，1)∪(2，3] 注意集合中的“或”对应区间中的“∪”，故{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3]． 返回 合作探究 返回 题型一　集合的概念 　(多选)下列每组对象，能构成集合的是 A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．一切很大的数 D．清华大学2024年入学的全体学生 √ 例1 √ 对于A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不能；对于C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不能；所以根据集合元素的确定性可知，B、D都能构成集合，故选BD. 对点练1.下列说法正确的是 A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合 C．集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合 √ 题型二　元素和集合的关系 　用符号“∈”或“∉”填空： 例2 ∉ ∈ 点拨：确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足代表元素所具有的属性来确定． (2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3____C，5____C； ∉ ∈ 因为n是正整数，所以任何一个n，都不能使n2＋1＝3，所以3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，所以5∈C. (3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)的集合，则－1____D，(－1，1)____D. ∉ ∈ 因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数，所以－1∉D；又(－1)2＝1，所以(－1，1)∈D. 规律方法 判断元素和集合关系的两种方法 1．直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． 2．推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性．即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件． 对点练2.设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是 A．(2，5) B．[2，5) C．(2，5] D．[2，5] √ 因为集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，所以3×1－1<m且3×2－1≥m；解得2<m≤5，故选C. 题型三　集合的表达 　用适当的方法表示下列集合： 例3 点拨：本例题要用一种适当方法表示集合，这就需要我们首先要弄清相应集合到底含有哪些元素，然后再确定用列举法或是描述法．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法． (2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； 解：小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}． (3)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合； 解：方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}． (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合． 解：二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． 规律方法 选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法． 对点练3.将不超过30的正整数分成A、B、C三个集合，分别表示可被3整除的数、被3除余1的数、被3除余2的数．请分别用两种方法表示集合A、B、C. 解：A＝{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}＝{x|x＝3k，k∈N，1≤k≤10}， B＝{1，4，7，10，13，16，19，22，25，28}＝{x|x＝3k－2，k∈N，1≤k≤10}， C＝{2，5，8，11，14，17，20，23，26，29}＝{x|x＝3k－1，k∈N，1≤k≤10}． 题型四　区间及其表示 　用区间表示下列集合： (1){x|x≥1}＝__________； 例4 点拨：进行几何表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． [1，＋∞) {x|x≥1}＝[1，＋∞)． (－∞，－1)∪[2，＋∞) (3){x|x＝1或2≤x≤8}＝____________． {1}∪[2，8] {x|x＝1或2≤x≤8}＝{1}∪[2，8]． 规律方法 理解区间概念的注意点 1．一般地，区间的左端点的值小于右端点的值． 2．区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开． 3．左、右端点a，b都能取到的叫闭区间；左、右端点a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半开半闭区间；左、右端点a，b都不能取到的叫开区间． 对点练4.将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1){x|x<2}； 解：{x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，数轴表示如图①. (2){x|x＝0或1≤x≤5}； 解：{x|x＝0或1≤x≤5}用区间表示为{0}∪[1，5]，数轴表示如图②. (3){x|x＝3或4≤x≤8}； 解：{x|x＝3或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]，数轴表示如图③. (4){x|2≤x≤8且x≠5}； 解：{x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，数轴表示如图④. (5){x|3<x<5}． 解：{x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，数轴表示如图⑤. 易错一　忽略集合元素的互异性 1．方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为_______________________________． {1}(当a＝1时)，或{1，a}(当a≠1时)． 正解：　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a. 因此，若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}． 易错探因　本题易错的地方是忽略元素互异性，没有考虑参数a的不确定性，从而得到错误的答案“方程的解集为{1，a}”． 误区警示　当集合中元素含有参数时，求出参数的值后一定要代回检验，确保满足集合中元素的互异性． 易错精析 易错二　忽略元素形式 2．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为________ ________________． {(0，6)， (1，5)，(2，2)} 正解：x，y满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N， 易错探因　本题易错的地方是忽略元素的形式，从而得到错误答案{0，6，1，5，2，2}. 返回 随堂演练 返回 1．(多选)下列各组对象能构成集合的有 A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．(2 024，1)与(1，2 024) D．未来世界的高科技产品 √ √ A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 024，1)与(1，2 024)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．故选BC. 2．下列表示正确的是 A．0∈N B． ∈N C．－3∉Z D．π∈Q √ 3．集合{x∈N|x－2<2}用列举法表示是 A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3} √ 集合{x∈N|x－2<2}＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}．故选D. 4．若由a， ，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 024＋b2 024的值为___． 1 由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以 ＝0，所以b＝0，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1.所以a2 024＋b2 024＝1. 返回 课时测评 返回 1．下列各项中，不能组成集合的是 A．所有正数 B．所有老人 C．不等于0的数 D．我国古代四大发明 √ 选项A、C、D均符合集合定义，正确，而B项老人标准不确定，错误．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．区间[8，＋∞)表示的集合是 A．{x|x≤8或x>8} B．{x|－8<x≤8} C．{x|x≥8} D．{x∈N|－1<x<4} √ 区间[8，＋∞)表示的集合是{x|x≥8}．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．集合{x∈N＋|x<3}的另一种表示法是 A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．{1，2} √ 因为集合{x∈N＋|x<3}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，即{x∈N＋|x<3}＝{1，2}．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为 A．2 B．2或4 C．4 D．0 √ 集合A含有三个元素2，4，6，当a∈A，有6－a∈A.因为a＝2∈A时，6－a＝4∈A，所以a＝2；或者a＝4∈A时，6－a＝2∈A，所以a＝4.综上所述，a＝2或4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A，B相等，则实数a＝____． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若集合{x|ax2＋x＋2＝0}有且只有一个元素，则实数a的取值集合为 ________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．用符号“∈”和“∉”填空． (1)设A是正整数组成的集合，则0____A， ____A； ∉ ∉ 正整数是不包含0的自然数，如：1，2，3，…，所以0和 都不属于A. ∉ ∈ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值． 解：由题意，分别令集合A中三个元素分别为1时，得到的a的值，验证集合中元素是否互异，从而得到结果． A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，1∈A， 因为当a＋2＝1时，则a＝－1， 所以(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1， 所以A中有两个元素相同，不符合题意； 因为当(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 若a＝0，则a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，符合题意； 若a＝－2，则a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，不符合题意； 因为当a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，均不符合题意，所以综上可得a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)用适当的方法表示下列集合． (1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(4分) 解：因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}． (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.(6分) 解：平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．2 B．3 C．4 D．5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是__________． 0≤a<4 当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然无解， 当a≠0时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0无解， 则需Δ＝a2－4a<0，即a(a－4)<0，解得0<a<4，综上0≤a<4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)(开放题)集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值；若不能，则说明 理由． 解：因为9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)我们一般称b－a(b>a)为{x|a≤x≤b}所表示的区间长度，则{x|－2≤x≤4}所表示的区间长度为____． 6 由题意得，所求区间长度为4－(－2)＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)若2∈A，则集合A中至少还有几个元素？求出这几个元素．(5分) (2)集合A中能否只含有一个元素？请说明理由．(10分) 故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 实数集R ①∈Q　②∉R　③0∈N*　④π∈Z 是有理数，是实数，0不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选为A. (1)＝____________； 注意包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，故＝. D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 选项A，不满足确定性，故A错误；选项B，不大于3的自然数组成的集合是{0，1，2，3}，故B错误；选项C，由集合的无序性知，故C正确；选项D，数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素，故错误．故选C. (1)设集合B是小于的所有实数的集合，则2___B，1＋___B； 因为2＝>，所以2∉B；因为(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，所以1＋<，所以1＋∈B. (1)方程组的解集； 解：解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)＝______________________； ＝{x|x<－1或x≥2}＝(－∞，－1)∪[2，＋∞)． 则有所以A＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． 对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，是不可约分数，即有∉N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错误；对于D，π是无理数，即有π∉Q，故D错误． 2．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为 对于①，因为是实数，用符号表示为：∈R，故①正确；对于②，因为是无理数，用符号表示为：∉Q，故②错误；对于③，因为－3是整数，用符号表示为：－3∈Z，故③错误；对于④，因为－是无理数，－∉N，故④正确．正确命题是①④，共2个．故选B. 由集合相等的概念得解得a＝1. 当a＝0时，A＝{－2}；当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－8a＝0，得a＝.综上，当a＝0或a＝时，集合A只有一个元素．故答案为. 因为2＝>，所以2不属于B；1＋<，所以1＋属 于B. (2)设B是小于的所有实数组成的集合，则2____B，1＋____B. 11．(5分)由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中，其含有元素的个数最多为 因为＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x.故集合中的元素最多为2个． 15．(15分)设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1，且1∉A. 解：因为2∈A，所以＝－1∈A，＝∈A，＝2∈A， 因此A中至少还有两个元素－1和. 解：不能．如果集合A中只含有一个元素，则a＝，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解， $$