5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 　 第五章　5.4　三角函数的图象与性质 学习目标 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法．　 2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象．　 3.会用正弦函数、余弦函数的图象解简单问题，培养直观想象 核心素养． 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 问题1.绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)? 提示：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)． 问题导思 问题2.我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？ 提示：如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的 图象． 1．正弦函数的图象 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． (2)在精确度要求不高时，作y＝sin x，x∈[0，2π]的图象常常先找出五个关 键点(0，0)， ，_________， ，__________，再用光滑的曲\ 线将它们连接起来． 新知构建 (π，0) (2π，0) 2．余弦函数的图象 (1)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线． (2)确定余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是(0，1)， _________，(π，－1)，__________，(2π，1)． (1)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移 个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．(2)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象．若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象． 微提醒 (1)(多选)对于余弦函数y＝cos x的图象有以下描述，其中正确的描 述有 A．将[0，2π]内的图象向左、向右不断平移2π个单位得到y＝cos x的图象 B．与y＝sin x图象完全相同 C．与y轴只有一个交点 D．关于x轴对称 例1 √ √ 根据余弦函数的图象可以判断A、C正确，B、D错误． (2)已知函数f(x)＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象如图所示． 点A的坐标为_________；点E的坐标为_________；|BD|＝_____；|BE|＝ ________． (－2π，0) 2π 规律方法 解决正弦、余弦函数图象问题的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 对点练1.(多选)下列说法正确的是 A．作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致 B．y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)对称 C．y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π不对称 D．正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围 分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察知A、B、D正确，C错误． √ √ √ 返回 综合应用 返回 应用一　用“五点(画图)法”画函数的图象 (链教材P199例1)用“五点法”画下列函数的图象： (1)y＝1－2sin x，x∈[0，2π]； 例2 解：列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－2sin x 1 －1 1 3 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，画图如下． (2)y＝cos x＋ ，x∈[－π，π]． 解：列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，画图如下． 规律方法 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个 步骤 对点练2.用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的 图象： (1)y＝－sin x；(2)y＝2－cos x. 解：列表： x －π － 0 π －sin x 0 1 0 －1 0 2－cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们分别用光滑的曲线连接起来，如图所示： 应用二　正弦、余弦函数图象的应用 角度1　与函数图象有关的交点问题 已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________． 例3 (1，3) f(x)＝sin x＋2|sin x|＝ 画出函数的 图象，如图．由图象可知，当1<k<3时，函数f(x)的图象 与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，故实数k的取值范围为(1，3)． 3sin x，x∈[0，π) －sin x，x∈[π，2π] 规律方法 处理与函数图象有关的交点问题 关键是准确作出函数图象，由图象可得两函数图象的交点个数，或不同交点个数所需满足的参数范围，对于一些求方程根的问题，也可转化为求两函数图象的交点个数问题． 提醒　注意临界值的取舍． 角度2　利用函数图象解不等式 例4 [－4，－π)∪(0，π) 作出y＝sin x的图象，如图所示． 结合图象得－4≤x<－π或0<x<π. 所以f(x)的定义域是[－4，－π)∪(0，π)． (2)不等式2cos x－1≥0的解集是_______________________． 由2cos x－1≥0得cos x≥ ， 画出y＝cos x的图象和直线y＝ . 规律方法 用三角函数图象解三角不等式的方法 1．作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象． 2．写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集． 3．写出不等式的解集． 对点练3.(1)方程sin x＝lg x的实根个数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 √ 在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)是方程sin x＝lg x的解. √ 返回 课堂小结 知识 (1)正弦函数、余弦函数的图象．(2)“五点法”作图．(3)函数图象的应用 方法 数形结合 易错误区 五点的选取；正弦函数平移得余弦函数的图象 随堂演练 返回 1．下列图象是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是 由y＝sin x在[0，2π]上的图象，作其关于x轴的对称图形，得y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象为选项D中的图象． √ 2．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点． √ 3．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点 的横坐标是___________________． 4．不等式sin x<－ ，x∈[0，2π]的解集为____________． 返回 课时测评 返回 1．观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是 A．过原点 B．与y＝cos x的图象形状相 同，只是位置不同 C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称 观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称．故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．利用“五点法”画y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象时，五点中的第三个点为 √ 令x＝π，得y＝sin π－1＝－1.所以五点中的第三个点为(π，－1)．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．函数y＝－cos x(x＞0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为 A． B．(π，1) C．(0，1) D．(2π，1) √ 用五点作图法作出函数y＝－cos x(x＞0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．函数y＝sin |x|的图象是 因为函数y＝sin |x|是偶函数，且x≥0时，sin |x|＝sin x．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)下列对y＝2cos x的图象描述正确的是 A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝2与直线y＝－2之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 由y＝2cos x的图象可知A、B、D项正确，y＝2cos x图象的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z，故C项错误．故选ABD. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)下列在(0，2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是 √ √ 在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，在(0，2π) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点 ，则b＝_____． 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．在[0，2π]上，函数y＝ 的定义域是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)画出下列函数的简图： (1)y＝1－sin x，x∈[0，2π]；(4分) 解：列表： x 0 π 2π 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，画图如下． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)y＝3cos x＋1，x∈[0，2π]．(6分) 解：列表： x 0 π 2π 3cos x＋1 4 1 －2 1 4 描点连线，画图如下． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(多选)下列命题中，是真命题的是 A．y＝sin |x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称 B．y＝cos(－x)的图象与y＝cos |x|的图象相同 C．y＝|sin x|的图象与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称 D．y＝cos x的图象与y＝cos(－x)的图象相同 √ √ 对于B，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对于D，y＝cos(－x)＝cos x，故这两个函数图象相同，作图(图略)可知A、C均是假命题．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．关于函数f(x)＝1＋cos x，x∈ 的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是 A．当t<0或t≥2时，有0个交点 B．当t＝0或 ≤t≤2时，有1个交点 C．当0<t≤ 时，有2个交点 D．当0<t<2时，有2个交点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．若函数y＝sin x，x∈ 的图象与直线y＝1围成一个平面图形， 则这个封闭图形的面积是________． 2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)作出该函数的图象；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)＝ ，求x的值．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)已知f(x)是定义在(0，3)上的函数，图象如图所示，则不等式 f(x)cos x<0的解集是________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数． 解：由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0，得sin x＋2|sin x|＝|log2x|. 令f(x)＝sin x＋2|sin x| g(x)＝|log2x|， 在同一平面直角坐标系内，作出f(x)＝sin x＋ 2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示， 易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 三 角 函 数 返回 x －π － 0 π cos x －1 0 1 0 －1 cos x＋ － － (1)函数f(x)＝lg(sin x)＋的定义域为_________________． (k∈Z) 0，，，，π A．(0，－1) B． C．(π，－1) D． A． B． C． D．∪ 9．设0≤x≤2π，使sin x≥且cos x＜同时成立的x的取值范围是 ________． (0，1)∪ $$