2.2 第1课时 基本不等式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [学习目标]　1.理解基本不等式≤(a>0，b>0)．　2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，培养数学抽象和数学运算核心素养． 知识点一　基本不等式 问题1.在a>0，b>0的条件下，把a2＋b2≥2ab中a，b分别由，代换，可得到一个什么样的不等式？ 提示：可得a＋b≥2，即≤. 问题2.你在问题1中所得不等式中的“a>0，b>0”是否可以去掉？不等式中“＝”成立的条件是什么？ 提示：不能；“＝”成立的条件是a＝b. 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [微思考]“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b⇒＝；另一方面是仅当a＝b时取等号，即＝⇒a＝b. [微提醒]　基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2.(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)． (1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b (2)若实数a，b满足0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A． B．a2＋b2 C．2ab D．a 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)法一：因为0<a<b，所以a<<b，排除A、C两项． 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项．故选B. 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a<<<b.故选B. (2)由题设知0<a<b，且a＋b＝1， 所以0<a<，<b<1，排除D. 又>＝，故a2＋b2>，知排除A. 由a2＋b2>2ab，所以a2＋b2最大． 学生用书↓第36页 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立． 对点练1.(多选)若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　) A．> B．< C．> D．> 答案：ABD 解析：由a>b>0，得<，即>，所以<1，即<，故选项A、B、D均成立． 知识点二　基本不等式与最值 问题3.已知x>0，求x＋的最小值．本题中求最小值的“代数式”有什么特点？是否可以利用基本不等式求x＋的最小值，是否必须说明“当且仅当x＝时，等号成立”？ 提示：代数式是“x与和”的形式，且x·＝1(定值)，x＋≥2 ＝2. 必须说明等号成立，这才表明“2”是“x＋”的一个取值． 问题4.你能尝试说明满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？ 提示：关键看代数式是否具备：(1)转化为两个正数的和或积的形式；(2)和或积是否是一个定值；(3)不等式中的等号是否能取到． 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 简记为：积定和最小，和定积最大． [微提醒]　利用基本不等式求最值的三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (链教材P45例1、例2)(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解：(1)因为x>0，所以>0，4x>0， 所以＋4x≥2 ＝8， 当且仅当＝4x，即x＝时，取等号， 所以当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)因为x<0，所以－x>0， 则＋(－4x)≥2 ＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号， 所以＋4x≤－8. 所以当x<0时，＋4x的最大值为－8. (3)因为x>0，a>0，所以4x>0，>0， 4x＋≥2 ＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， 所以a＝36. 利用基本不等式求最值时要注意三点 1．各项均为正． 2．寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)． 3．考虑等号成立的条件是否具备． 对点练2.(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 (2)已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.故选C. (2)由题意知1－2x>0，则y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．所以y的最大值为. 学生用书↓第37页 变形应用基本不等式求最值 方法 一　配凑法求最值 (1)已知x>3，求y＝2x＋的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． 解：(1)因为x>3，所以2x－6>0， 所以y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号． 所以y＝2x＋的最小值是10. (2)因为0<x<，所以1－3x>0， 所以y＝×3x(1－3x)≤×＝×＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． 所以y＝x(1－3x)的最大值为. 配凑法的应用技巧 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 对点练3.若0<x<4，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 答案：8 解析：因为0<x<4，所以8－2x>0，所以y＝x(8－2x)＝·2x(8－2x)≤·＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号．所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 方法二　拆裂项求最值 若x>1，求函数y＝的最小值． 解：因为x>1，即x－1>0，所以y＝＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，所以y＝的最小值为4. 拆项与裂项的应用技巧 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值． 对点练4.已知t>0，则y＝的最小值为________________________________________ ________________________________． 答案：－2 解析：依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时须t＝，即t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2. 方法三　常数代换法求最值 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解：因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋. 因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6， 当且仅当＝，即y＝3x时，取等号． 因为＋＝1， 所以当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 常数代换法的应用技巧 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 对点练5.正实数x，y满足xy＝4x＋y，则x＋y的最小值为________． 答案：9 解析：由已知可得＝＋＝1，且x，y为正实数，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当y＝2x，即x＝3，y＝6时，等号成立，因此x＋y的最小值为9. 知识 (1)基本不等式的推导与证明．(2)求简单代数式的最值．(3)最值定理 方法 配凑法、折裂项法、常数代换法 常见误区 利用基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”缺一不可 学生用书↓第38页 1．(多选)下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) 答案：BC 解析：对于A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；对于B，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以B一定成立；对于C，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；对于D，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．故选BC. 2．已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B. 3．若a，b都是正数，则的最小值为________． 答案：9 解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号． 4．函数f(x)＝x＋(x>1)的最小值为________． 答案：3 解析：因为x>1，所以x－1>0，由基本不等式可得f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取得最小值3. 课时测评12　基本不等式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 答案：D 解析：若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确．故选D. 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝40，则xy的最大值是(　　) A．200 B．300 C．400 D．600 答案：C 解析：因为≤(x>0，y>0)，所以xy≤＝＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立．故选C. 3．3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 答案：D 解析：3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立．故选D. 4．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案：B 解析：(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.故选B. 5．(多选)下列说法中，正确的为(　　) A．因为a，b为正实数，所以＋≥2 ＝2 B．因为x∈R＋，所以>1 C．因为a<0，所以＋a≥2 ＝4 D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2 答案：AD 解析：对于A，因为a，b为正实数，所以>0，>0，故＋≥2 ＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选项A正确．对于B，因为x∈R＋，x2>0，所以x2＋1>1，则0<<1，故选项B错误．对于C，当a<0时，＋a<0，故选项C错误．对于D，因为xy<0，所以－>0，－>0，所以＋＝－≤－2 ＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时取等号，D正确．故选AD. 6．(多选)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的有(　　) A．ab≤1 B．＋≤ C．a2＋b2≥2 D．＋≥2 答案：ACD 解析：因为ab≤＝1，所以A正确．因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，所以B不正确．a2＋b2≥＝2，所以C正确.＋＝＝≥2，所以D正确．故选ACD. 7．已知m，n>0，且m＋n＝16，则mn的最大值为________． 答案：32 解析：因为m，n>0，且m＋n＝16，所以mn≤＝＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.所以mn的最大值为32. 8．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________． 答案：x<y 解析：x2＝，y2＝a＋b＝.因为a＋b>2(a≠b)，所以x2<y2，因为x，y>0，所以x<y. 9．若0<x<1，则 的最大值为________． 答案： 解析：由0<x<1知3－2x>0，故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，等号成立．所以的最大值为. 10．(10分)(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值；(4分) (2)已知x<，求y＝2x－1＋的最大值．(6分) 解：(1)因为x>0，所以x＋≥2＝4， 所以y＝2－≤2－4＝－2. 当且仅当x＝(x>0)，即x＝2时取等号，所以ymax＝－2. (2)因为x<，所以2x－5<0， 所以y＝2x－1＋＝2x－5＋＋4＝－＋4≤－2＋4＝2， 当且仅当5－2x＝，即x＝2时等号成立． 所以y＝2x－1＋的最大值为2. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为(　　) A．16 B．9 C．4 D．36 答案：B 解析：(1＋x)(1＋2y)≤＝＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，故所求最大值为9.故选B. 12．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．＋的最小值为4 B．的最小值为 C．＋的最大值为 D．a2＋b2的最大值为 答案：AC 解析：对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0<≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，所以0<＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D错误．故选AC. 13．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为________． 答案：4 解析：实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立． 14．(10分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(4分) (2)x＋y的最小值．(6分) 解：(1)由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1，又x>0，y>0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 15．(5分)已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为________． 答案：2 解析：因为x，y为正实数，3x＋2y＝10，所以W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立，所以W≤2，即W的最大值为2. 16．(15分)(开放题)是否存在正实数a和b，同时满足下列条件： ①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． 解：因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18. 由得或 故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$