精品解析：云南省2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学期中考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 5. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，，则（ ） A. B. 直线AB的一个方向向量为 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 的单调递增区间为， C. 在上的值域为 D. 将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则 11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆与圆外切，则或 B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C. 若圆与圆关于点对称，则 D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为__________. 13. 已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________. 14. 如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. （1）求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； （2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A； （2）若，求的面积的最大值 18. 已知直线，圆. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 19. 如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，. （1）求异面直线EB与DF所成角的余弦值 （2）证明：平面平面BDF. （3）若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且（），点N满足，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合，根据交集定义可得结果. 【详解】由得：，即； 由得：，即，. 故选：A. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简复数，由复数几何意义可得结果. 【详解】， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程可得斜率，再由斜率的定义计算倾斜角即可. 【详解】由得， 所以直线的斜率，即， 又，所以倾斜角. 故选：C. 4. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出命题，的真假，再结合命题的否定的概念可得结论． 【详解】对于p而言，，故p是假命题，是真命题. 对于q而言，，，故q是真命题，是假命题. 综上，和q都是真命题. 故选：B. 5. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，所以圆的标准方程为. 故选：D 6. 已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，即可求解. 【详解】因为正方体的内切球半径为，所以正方体的棱长为． 设外接球的半径为R，则，所以，故外接球的体积为． 故选：B. 7. 已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，函数在个区间上递减，且左边函数在右端点值大于右边函数的左端点值，建立不等式组，求得范围. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是. 故选：D 8. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别设出两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点的坐标可得结果. 【详解】设，，则，，即，①. 因为点A在圆上运动，所以满足②. 把①代入②，得，即. 故线段OA的中点P的轨迹方程为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，，则（ ） A. B. 直线AB的一个方向向量为 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】用空间点的距离公式求得向量的模长，直线上两点的得到向量即为直线的一个方向向量；向量共线即可判断点共面；直线上一点和直线外的点组成的向量的模长即该向量在直线上的投影与该点到直线的距离满足勾股定理，由此算出点到直线的距离. 【详解】，A正确； ，B错误； 由题意得，则，所以四点共面，C正确； ，，，则点到直线的距离为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 的单调递增区间为， C. 在上的值域为 D. 将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则 【答案】AC 【解析】 【分析】已知函数的解析式，根据函数图像及其形式即可得到ABC选项的判断，D选项由函数的变换诱导公式即可判断. 【详解】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确； 令（），则（）， 故的单调递增区间为（），B错误； 因为，所以，故在上的值域为，C正确； 将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误. 故选：AC 11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆与圆外切，则或 B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C. 若圆与圆关于点对称，则 D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据两圆外切得圆心距等于半径之和，即可列式求解； 对于B，两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程； 对于C，由两圆关于点对称得两圆心关于点对称，根据中点坐标公式，即可求解； 对于D，根据过两圆交点的圆系方程即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确． 当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确． 若圆与圆关于点对称，则解得，C错误． 当时，圆：，圆：， 则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为__________. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据题意写出样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可. 【详解】根据题意知样本空间， 所以， 事件为这2个数的乘积为奇数，所以，则， 所以， 故答案为：. 13. 已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共面向量基本定理可设，求解即可. 【详解】由题可知，，，因为A，B，C，D四点共面，所以（m，），， 即，解得，，所以. 故答案为：. 14. 如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解即可. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，设平面的法向量为， 则，则平面的一个法向量， 所以，即直线平面， 故直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 由，可知， 故所求直线的方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 则所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为， 即. 16. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. （1）求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； （2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 【答案】（1），2.4h （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得m，再利用中位数的计算公式直接计算； （2）根据分层抽样等比例的性质直接计算人数，再根据古典概型公式计算即可. 【小问1详解】 由，解得. 因为，所以中位数在内， 设中位数为x，则，得， 即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h. 【小问2详解】 由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.25，0.05， 则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人. 记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个， 2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个， 所以这2人来自不同分组的概率为. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A； （2）若，求的面积的最大值 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式可得，即可求得的值； （2）利用余弦定理和重要不等式可求最值. 【小问1详解】 由，可得，即， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 因为，所以，则， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立. 故的面积的最大值为. 18. 已知直线，圆. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆心和半径，再根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. （2）当为等边三角形时，根据等边三角形的性质可知圆心到直线的距离与半径的关系，同样根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. 【小问1详解】 由圆的方程可知圆心，半径. 直线，即. 因为直线与圆相切，则，解得或. 【小问2详解】 因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离. 同样根据点到直线距离公式得. 化简得. 解得. 19. 如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，. （1）求异面直线EB与DF所成角的余弦值 （2）证明：平面平面BDF. （3）若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且（），点N满足，，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明：取BD的中点O，连接OE，OF，则， 所以，，，， 所以，，，则， 所以. ，，则，又为中点， 所以，， 所以平面BDF. 因为平面EBD， 所以平面平面BDF. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线线角的空间向量计算公式求解即可； （2）取BD的中点O，连接OE，OF，先利用勾股定理的逆定理证明，，从而得平面，进而可证得平面平面； （3）根据题意可得M在线段OE上，N在平面BDF上，结合数量积的定义可得，进而求得最值. 【小问1详解】 以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ，，，，则，， ， 故异面直线EB与DF所成角的余弦值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为（）， 所以M在线段OE上. 因为， 所以，故N在平面BDF上. ； 设G为MN的中点， 所以， 因为，所以， 故，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $