2.2.3 第2课时 函数的单调性和最值的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第2课时　函数的单调性和最值的应用 　 第二章　§3　函数的单调性和最值 知识目标 1. 掌握用函数单调性的定义证明或判断单调性．　 2. 会利用函数的单调性解决求最值、解不等式、比较大小等题. 素养目标 通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养；通过函数单调性的应用，培养数学运算和逻辑推理素养. 课时测评 2 内容索引 随堂演练 1 题型一　判断(证明)函数的单调性 (链教材P64例5)试用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 例1 证明：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 因为x1<x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)< f(x2)． 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 因为0<x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)> f(x2)． 规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤 证明：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 因为x1<x2，所以x2－x1>0. 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 题型二　利用函数的单调性求最值 例2 (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； 解：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x1<x2， 因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． 解：由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增， 规律方法 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 第一步：判断函数的单调性； 第二步：利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．　　 注意　(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． 解：设1≤x1<x2<2， 因为1≤x1<x2<2，所以x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在[1，2)上是减函数． 同理f(x)在[2，4]上是增函数． 所以当x＝2时，f(x)取得最小值4； 当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5． 题型三　函数单调性的应用 角度1　利用函数的单调性比较大小 已知对f(x)定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2) >0恒成立，设a＝f ，b＝f(3)，c＝f(5)，则 A．b<a<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<b<c 例3 √ 角度2　利用函数的单调性求参数的范围 若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则实数 a的取值范围是____________． 例4 变式探究 (变条件)在本例中，若将定义域“R”改为“(－1，1)”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ 因为f(x)在(－1，1)上是增函数，且f(1－a)<f(2a－1)， 规律方法 1．利用单调性比较大小或解不等式的方法 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围． (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　　 A．a>b B．a＝b C．a<b D．a，b大小关系不能确定 √ (2)已知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－1)<f(1－x)的解集为 √ 返回 课堂小结 知识 1.定义法证明、判断函数的单调性． 2．利用函数的单调性求最值． 3．利用函数的单调性比较大小、解不等式 方法 定义法和数形结合法 易错误区 1.用定义证明单调性时化简不彻底． 2．利用函数单调性解决问题时忽略定义域 随堂演练 返回 √ 2．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为 A．[0，3] B．[－1，0] C．[－1，＋∞) D．[－1，3] 因为函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]．故选D. √ 3．函数y＝f(x)在R上为减函数，且f(2m)> f(－m＋9)，则实数m的取值范围是 A．(－∞，3) B．(0，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 因为函数y＝f(x)在R上是减函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m<－m＋9，解得m<3.故选A. √ 4．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝____． 1 若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1. 返回 课时测评 返回 1．下列函数在[1，4]上最大值为3的是 A．y＝ ＋2 B．y＝3x－2 C．y＝x2 D．y＝1－x 选项B、C在[1，4]上均为增函数，选项A、D在[1，4]上均为减函数，代入端点值，可知A正确．故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．函数y＝f(x)为定义在R上的单调递增函数，若t≠0，则 A．f(t)>f(2t) B．f(t2)>f(t) C．f(t2＋t)>f(t) D．f(t2＋t)>f(t＋1) √ f(x)是增函数，t>0时，t<2t，f(t)<f(2t)；t＝1时，t2＝t，f(t2)＝f(t)；t≠0，因此t2＋t>t，f(t2＋t)>f(t)；0<t<1时，t2＋t<t＋1，f(t2＋t)<f(t＋1)．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知f(x)为R上的增函数，则满足f > f(1)的实数x的取值范围是 A．(－∞，1) B．(－1，0)∪(0，1) C．(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．f(3)<f(2)<f(1) B．f(1)<f(2)<f(3) C．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1，4) D．(－∞，1) 由一次函数和二次函数的性质可知，函数f(x)的图象连 续，在R上单调递减，如图所示，若f(x－4)>f(2x－3)， 则x－4<2x－3，解得x>－1.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．[多选题]若函数f(x)＝x2－4x＋1在定义域A上的值域为[－3，1]，则区间A可能为 A．[0，4] B．[2，4] C．[1，4] D．[－3，5] √ √ √ 因为函数f(x)＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，所以函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．A项，当x∈[0，4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(0)＝f(4)＝1，得函数的值 域为[－3，1]，符合题意；B项，当x∈[2，4]时，函数的最小值为f(2) ＝－3，最大值为f(4)＝1，得函数的值域为[－3，1]，符合题意；C项， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当x∈[1，4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，因为f(1)＝－2<f(4)＝1，所以最大值为f(4)＝1，得函数的值域为[－3，1]，符合题意；D项，当x∈[－3，5]时，最小值为f(2)＝－3，因为f(－3)＝22>f(5)＝6，所以最大值为f(－3)＝22，得函数的值域为[－3，22]，不符合题意．故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．(2024·广东茂名高一期末监测)已知函数f(x)是R上的减函数，A(－1，1)，B(3，－1)是其图象上的两点，那么 >1的解集是____________ __________． (－∞，0)∪ (4，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(开放题)定义在R上的函数f(x)，给出下列三个论断：①f(x)在R上单调递增；②x>1；③f(x)>f(1)．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________推出__________________．(把序号写在横线上) ①②推出③；证明：当f(x)在R上单调递增且当x>1时，有f(x)>f(1)，得证．①③推出②；证明：当f(x)在R上单调递增且当f(x)>f(1)时，有x>1，得证．②③无法推出①；取f(x)＝(x－1)2，此时满足x>1且f(x)>f(1)，但不满足f(x)在R上单调递增． ①② ③(或①③　②) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：由题意，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)判断f(x)在(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．(6分) 解：f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 由x2>x1>－1，得x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)． 故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新定义)在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当a≥b时，a*b＝a；当a<b时，a*b＝b2.设函数f(x)＝(－2*x)－(2*x)＋2x，x∈(－2，2]，则函数f(x)的值域为 A．[－2，6] B．[－3，－2] C．[－2，－6] D．[－3，6] √ 依题意f(x)＝(－2*x)－(2*x)＋2x＝x2－2＋2x＝(x＋1)2－3，x∈(－2，2]，故函数f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，2]上单调递增，又f(－1)＝－3，f(2)＝6，所以函数f(x)的值域为[－3，6]．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且∀x∈(0，＋∞)，f(f(x)－ )＝6，则f(100)＝_______． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以a＝1，b＝0. (1)求a，b的值；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)用单调性定义证明：函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增；(4分) 任取x1，x2∈(－2，2)，且x1<x2，则 由于－2<x1<x2<2，所以x2－x1>0，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) <f(x2)， 所以函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若f(a＋1)－f(2a－1)>0，求实数a的取值范围．(7分) 解：由f(a＋1)－ f(2a－1)>0， 得f(a＋1)> f(2a－1)， 又函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－ . (1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；(5分) 解：证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2， 则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0， 所以f(x2－x1)<0， 又因为x2＝(x2－x1)＋x1， 所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， 所以f(x2)<f(x1)． 所以f(x)是R上的单调递减函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求f(x)在[－3，3]上的最小值．(10分) 解：由(1)可知f(x)在R上是减函数， 所以f(x)在[－3，3]上也是减函数， 所以f(x)在[－3，3]上的最小值为f(3)． 所以函数f(x)在[－3，3]上的最小值是－2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 函 数 返回 f(x1)－f(x2)＝－＝ f(x1)－f(x2)＝. f(x1)－f(x2)＝－ (2024·山东枣庄高一期中)已知函数f(x)＝. 由[ f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0可得函数f(x)在R上是增函数，所以f < f(3)< f(5)．故选D. y＝＋1在[3，4]上是减函数，所以当x＝3时，取得最大值为＋1＝2.故选A. f(x1)－f(x2)＝－ 14．(5分)[多选题]已知函数f(x)＝(x≥0)，则下列判断正确的有 A．f(x)的最小值为 B．f(x)在区间[0，1]上是增函数 C．f(x)的最大值为1 D．f(x)无最大值 由题意，得f(x)＝＝＝1－.当x＝0时，f(0)＝1，当x≠0时，f(x)＝1－，因为y＝x＋在(0，1]上单调递减，所以f(x)在(0，1]上单调递减， $$