2.2.2 函数的表示法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

2.2　函数的表示法 　 第二章　§2　函数 知识目标 1. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象 法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.　 2. 掌握求函数解析式的常见方法.　 3. 尝试作图并从图象上获取有用的信息. 素养目标 通过学习图象法表示函数，培养直观想象素养；通过求函数解析式，培养数学运算素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 问题1.结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？ 提示：三种表示方法：解析法、列表法和图象法. 问题导思 问题2.中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用几种方法表示x与y的关系？如何表示？ 提示：三种方法，函数的定义域是数集{1，2，3，4，5，6}，用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1，2，3，4，5，6}.列表法可将函数表示为 图象法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 函数的表示方法 新知构建 函数的三种表示法各有什么优缺点？ 提示：函数的三种表示法的优缺点： 微思考 角度1　函数的表示方法 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 例1 解：(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}. 规律方法 1.解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示. 2.在用三种方法表示函数时，要注意： (1)解析法要注明函数的定义域. (2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征. (3)图象法要注意图象是散点还是连续的曲线.　　 对点练1.某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系. 解：(1)该函数关系用列表法表示为 x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 (2)该函数关系用图象法表示，如图. (3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5}). 角度2　函数的图像 (链教材P56例3、P57例4)画出下列函数的图象，并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； 例2 解：当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1，5]. (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 解：当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图③， 由图可得函数的值域是[－1，8]. 规律方法 函数y＝f(x)图象的画法 1.若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有时需要根据定义域进行取舍. 2.若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：(1)列表；(2)描点；(3)连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象.　 对点练2.画出下列函数的图象： (1)f(x)＝x2－4|x|； 其图象如右： (2)y＝x－[x](其中y＝[x]为取整函数). 解：由题意知y＝x－[x]＝x－(k－1)， 其中k－1≤x<k(k∈Z)， 其图象如右： 返回 综合应用 返回 应用一　函数解析式的求法 (1)已知f(x)＝x2，求f(2x＋1)的解析式； 例3 解：因为f(x)＝x2，所以f(2x＋1)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1. 所以f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，所以f(x)＝x2－4(x≥2). (3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求函数f(x)的解析式； 解：(待定系数法)：因为f(x)是二次函数， 所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1. 由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝ax2＋bx＋1＋2x， 整理得(2a－2)x＋(a＋b)＝0， 所以f(x)＝x2－x＋1. (4)已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，求f(x)的解析式. 解：(方程组法)：用－x替换f(x)＋2f(－x)＝2x＋3中的x，得f(－x)＋2f(x)＝－2x＋3， 解得f(x)＝－2x＋1. 规律方法 求函数解析式的四种常用方法 1.换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可. 2.配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. 3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可. 4.方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.　　 对点练3.(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； 解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. 所以f(x)＝3x＋1，或f(x)＝－3x－2. 所以f(x)＝x2＋2. 应用二　分段函数的图象及应用 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； 例4 解：在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 (2)求函数φ(x)的定义域，值域. 解：由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， 所以φ(x)的值域为(－∞，1]. 规律方法 分段函数图象的画法 1.作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证函数图象的正确性. 2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.　　 因为－1<0，所以f(－1)＝－3＋5＝2. (2)画出这个函数的图象； 解：这个函数的图象如图. 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0<x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象. (3)求f(x)的最大值. 解：由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 返回 课堂小结 知识 1.函数的表示法.2.函数的图象与应用.3.函数解析式的求法 方法 待定系数法、换元法、配凑法、方程组法、数形结合法 易错误区 求函数解析式时易忽略函数的定义域 随堂演练 返回 1．已知函数y＝f(x)，用列表法表示如下： 则f(－1)＋f(2)＝ A．4 B．5 C．6 D．9 由列表可知f(－1)＋f(2)＝2＋3＝5.故选B. √ x －2 －1 0 2 3 y 5 2 1 3 4 2．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为 √ 3．若函数f(x＋1)＝x2－5，则f(x)＝ A．x2＋2x－6 B．x2＋2x－4 C．x2－2x－6 D．x2－2x－4 由f(x＋1)＝(x＋1－1)2－5，得f(x)＝(x－1)2－5＝x2－2x－4.故选D. √ 4．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是 由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.故选D. √ 返回 课时测评 返回 1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是 A．[2，5] B．{2，3，4，5} C．(0，20] D．N＋ 由题中列表表示的函数可知函数的值域为{2，3，4，5}.故选B. √ x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(9)＝ A．5 B．4 C．3 D．2 √ 由图象可知，当x＝9时，y＝3，故f(9)＝3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知函数f(x)满足f(2x)＝4x2＋2x，则 A．f(x)＝2x2＋x B．f(x)＝x2＋2x C．f(x)＝2x2＋2x D．f(x)＝x2＋x √ 令t＝2x，则由f(2x)＝(2x)2＋2x，可得f(t)＝t2＋t，即f(x)＝x2＋x.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5． [多选题]已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则 A．f(f(－3))＝1 B．f(－1)＝3.5 C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2，3] D．函数的值域是[1，5] 对于A，由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，故A正确；对于B，图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，故B错误；对于C，由图象可得函数的定义域为[－3，0]∪[2，3]，故C错误；对于D，由图象可得函数的值域为[1，5]，故D正确.故选AD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知函数f(x)由下表给出，若f(x0)＝f(1)＋f(3)·f(4)，则x0＝______. x 1 2 3 4 f(x) 1 3 1 2 2 f(x0)＝f(1)＋f(3)·f(4)＝1＋1×2＝3，则x0＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7． (开放题)已知函数f(x)的定义域是[2 023，2 024]，值域是[2 021，2 022]，则这样的函数可以是：f(x)＝__________________，x∈[2 023，2 024].(写出符合要求的一个函数解析式即可) x－2(答案不唯一) 根据函数的定义域与值域，函数可以是f(x)＝x－2.(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知等腰三角形的周长为1，把该三角形腰长y表示为底边长x的函数， 则该函数为y＝_______________.(要求：写出解析式和自变量的取值范围) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9． (10分)已知函数p＝f(m)的图象如图所示.求： (1)函数p＝f(m)的定义域，值域；(4分) 解：观察函数p＝f(m)的图象，可得－3≤m≤0或1≤m≤4，－2≤p≤2， 故函数的定义域为[－3，0]∪[1，4]，值域为[－2，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)p取何值时，有唯一的m值与之对应.(6分) 解：(由图知：p∈(0，2]时，有唯一的m值与之对应. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10． (新情境)老舍在《济南的冬天》中写到济南的冬天是没有风声的，济南的冬天是响晴的，济南真得算个宝地.济南市某一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意C(t)，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12． [多选题]下列函数中，满足f(3x)＝3f((x)的是 A．f(x)＝x－|x| B．f(x)＝x＋2 C．f(x)＝－2x D．f(x)＝|x| √ √ √ 对于A，f(3x)＝3x－|3x|＝3(x－|x|)＝3f(x)，故A正确；对于B，f(3x)＝3x＋2≠3f(x)＝3x＋6，故B错误；对于C，f(3x)＝－6x＝3(－2x)＝3f(x)，故C正确；对于D，f(3x)＝|3x|＝3|x|＝3f((x)，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)画出函数f(x)的图象；(4分) 解：函数f(x)的图象如图所示. (3)写出函数f(x)的值域.(7分) 解：由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15． (15分)某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋ .且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件. (1)写出函数y关于x的解析式；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)用列表法表示此函数，并画出图象.(10分) 解：当x∈{1，2，3，4，5，…，20}时，列表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8 依据上表，画出函数图象如图所示，是由20个点构成的点列. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 函 数 返回 4．函数y＝＋x的图象是 y＝＋x＝结合一次函数的图象可知A、B、C错误；D正确.故选D. y＝ 11．[多选题]若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则 A．f ＝15 B．f(2)＝－ C．f(x)＝－1(x≠0) D．f ＝－1(x≠0且x≠1) 令1－2x＝t(t≠1)，则x＝，所以f(t)＝＝－1，则f(x)＝－1(x≠1)，故C错误；f ＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误； f ＝－1＝－1(x≠0且x≠1)，故D正确.故选AD. 13．(15分) 已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(4分) 14．(5分)(新定义)[多选题]具有性质f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是 A．f(x)＝x－ B．f(x)＝x＋ C．f(x)＝ D．f(x)＝x2－ 对于A，f ＝－x，－f(x)＝－x，故满足“倒负”变换；对于B，f ＝＋x，－f(x)＝－－x，故不满足“倒负”变换；对于C，当0＜x＜1时，f ＝－x，－f(x)＝－x，当x＝1时，f(1)＝0，成立，当x＞1时，f ＝，－f(x)＝，故满足“倒负”变换；对于D，f ＝，－f (x)＝，故不满足“倒负”变换.故选AC. 所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N，0<x≤20). $$