1.3.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

3.2　基本不等式 　 第一章　§3　不等式 第2课时　基本不等式的应用 知识目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 素养目标 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题，提升数学建模 素养. 知识点　 利用基本不等式求最值念 1 课时测评 4 综合应用 2 内容索引 随堂演练 3 知识点　 利用基本不等式求最值念 返回 问题1.把一段长为32 cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，当矩形的长、宽分别是何值时，面积最大？ 提示：设矩形的长与宽分别是x cm和y cm，则x＋y＝16，由 ≥xy得xy≤64，当且仅当x＝y＝8时，等号成立，即这个矩形为正方形且边长为8 cm时，其面积最大． 问题2.类比上面的方法，用一段细铁丝弯成面积为64 cm2形状不同的矩形，当矩形的长、宽分别是何值时，周长最小？ 提示：设矩形的长与宽分别是x cm和y cm，则xy＝64，由x＋y≥2 得x＋y≥16，当且仅当x＝y＝8时等号成立，即这个矩形为正方形且边长为8 cm时，其周长最小． 问题导思 两个重要结论 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值____； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值______． 新知构建 (1)口诀：两个正数的和定积最大，积定和最小．(2)应用基本不等式求最值时的三个关键点：一正、二定、三相等．①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 微提醒 例1 故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18. 即y＝3，x＝12时，等号成立，x＋2y的最小值为18. 变式探究　 规律方法 利用基本不等式的变形求最值的策略 1．应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式以及使等号成立的条件． 2．特别注意“1”的代换．　　 对点练1.已知正实数a，b满足a＋b＝3ab，则a＋4b的最小值为 A．9 B．8 C．3 D． √ 返回 综合应用 返回 应用一　基本不等式在实际问题中的应用 (链教材P29例5)已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样． (1)若用48米长的栅栏围成小矩形花池(不考虑用料损耗)，则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？ 解：设每个小矩形花池的长、宽分别为x米、y米，则每个花池的面积为xy平方米．由题意可知4x＋6y＝48，所以2x＋3y＝24， 则2 ≤24，所以xy≤24， 当且仅当2x＝3y，即x＝6，y＝4时取得等号． 故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大． 例2 (2)若每个小矩形的面积为 ，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？ 规律方法 实际问题中求最值的一般思路 1．先读懂题意，理清思路，设出变量，列出函数的关系式． 2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．　　 3．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． 4．用基本不等式求函数的最大值或最小值． 对点练2.第19届亚运会于2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之前，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x万台(x>20)且全部售完．每万台的 年销售收入t(万元)与年产量x(万台)满足关系式：t＝70＋ 年利润为y(万元)，求年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大．并求最大利润． 所以当x＝29时，ymax＝1 360. 即年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，最大利润为1 360万元． 应用二　利用基本不等式求参数范围 例3 √ 规律方法 1．恒成立问题常采用分离参数的方法：若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax，从而将问题转化为求y的最值问题． 2．在利用基本不等式求最值时，要注意能否取到等号．　　 对点练3.已知不等式2x＋m＋ >0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为____________． {m|m>－10} 返回 课堂小结 知识 1.利用基本不等式的变形求最值. 2.利用常数代换求最值. 3.利用基本不等式解决实际问题 方法 配凑法、常数代换法以及转化的思想方法 易错误区 利用基本不等式时，忽略等号成立的条件 随堂演练 返回 1．已知x>0，y>0，且xy＝9，则x＋y的最小值是 A．10 B．9 C．12 D．6 根据题意利用基本不等式可得x＋y≥2 ＝6，当且仅当x＝y＝3时，等号成立．故选D． √ 2．(2024·河北邯郸高一质量检测)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则 的最小值为 A．7 B．8 C．9 D．10 √ 3．一种在恒温大棚里种植的蔬菜的株高y(单位：cm)与温度x(单位：℃，0<x≤30)满足关系式y＝111.54－ ，市场中一吨这种蔬菜的利润z(单位：百元)与x，y的关系为z＝10y－x，则z的最大值为 A．1 095.4 B．995.4 C．990.4 D．895.4 √ 返回 16 课时测评 返回 1．已知x>0，y>0，且满足x＋6y＝6，则xy有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年，t∈N＋)满足二次函数关系：s＝－2t2＋30t－98，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 A．5 B．6 C．7 D．8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若两个正实数x，y满足 ＝1，且不等式x＋ <m有解，则实数m的取值范围是 A．m<4 B．m>4 C．m<2 D．m>2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．[多选题]已知x，y为正数，且xy＝1，m＝x＋y，n＝ ，下列选项中正确的有 A．m的最小值为2 B．n的最小值为10 C．mn的最小值为16 D．m＋n的最小值为4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．若当x＞－1时，x＋ (t＞0)的最小值为3，则实数t的值为____． 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 m<6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)货车以x千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规则限制50≤x≤100(单位：千米/时)，假设汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油 升，司机的工资是每小时50元． (1)求这次行车总费用y(元)关于x(千米/时)的表达式；(4分) 解：由题意汽车行驶的时间t＝ 小时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当x为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值．(所有结果精确到1)(6分) 所以当x为66 km/h时，这次行车的总费用y最低，最低费用约为750元． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．1 B．4 C．9 D．16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．已知a>0，b>0， ，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为 A．8 B．7 C．6 D．5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝4－ (k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按 来计算)． (1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：由题意知，当m＝0时，x＝2(万件)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？(10分) 解：因为当m≥0时，m＋1>0， 所以 ＋m＋1≥2 ＝8， 当且仅当 ＝m＋1，即m＝3时等号成立． 所以y≤－8＋37＝29， 即m＝3万元时，ymax＝29(万元)， 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．3 B．4 C．9 D．16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为x>0，y>0，x＋y＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 预 备 知 识 返回 2 已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．　　 (变条件，变结论)若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值． －， 当x>1时，不等式x＋≥a＋1恒成立，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． ＋ ＋ ＋ 7．已知2a＋b＝3(a>0，b>0)，则＋的最小值为________． ＋＝ 对于A，当t＝2时，＋＝1，x＋2y＝(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即x＝y＝3时等号成立，所以x＝y＝3时，x＋2y有最小值，故A错误；对于B，当t＝8时，＋＝1，x＋2y＝(x＋2y)＝17＋＋≥17＋2＝25，当且仅当即时等号成立，所以时，x＋2y有最小值25，故B正确； 15．(15分)(新设问)问题：正实数a，b满足a＋b＝1，求＋的最小值．其中一种解法是：＋＝(a＋b)＝1＋＋＋2≥3＋2，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝－1，且b＝2－时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值；(5分) 所以＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝，x＋y＝1，即x＝－2，y＝3－时取等号， $$