1.1.1 集合的概念与表示-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.1　集合的概念与表示 　 第一章　§1　集合 知识目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个 特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系． 2.初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、区间，感 受集合语言的意义和作用. 素养目标 通过集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养；借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养. 知识点一　元素与集合的概念 1 知识点二　元素与集合的关系 2 知识点三　集合的表示 3 课时测评 7 综合应用 5 内容索引 随堂演练 6 知识点四　区间及其表示 4 知识点一　元素与集合的概念 返回 问题1.阅读下面的例子，并回答提出的问题： ①方程x2－2 024x－2 025＝0的所有实数根； ②在平面直角坐标系中，第一象限的点的全体； ③某中学2024年入学的全体高一学生； ④所有的正方形； ⑤地球上的四大洋； ⑥中国著名的高等院校． (1)以上各例子中要研究的对象分别是什么？哪个例子的对象不确定，为什么？ 提示：分别为实数根、点、学生、正方形、大洋、高等院校．其中⑥的对象不确定，因为“著名”没有明确的划分标准． (2)观察并讨论①－⑤中各例有什么共同特点？ 提示：①－⑤中各例指的都是“所有的”，即某些研究对象的全体． 问题导思 1．集合与元素的含义及符号表示 新知构建 集合 一般地，我们把________________的全体称为集合 元素 集合中的__________叫作这个集合的元素 符号 表示 集合通常用大写英文字母A，B，C，…表示， 元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示 2.集合中元素的性质 一个集合中的任何两个元素都________，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：________，________，________． 指定的某些对象 每个对象 不相同 确定性 互异性 无序性 (1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． (2)“中国各地最美的乡村”能否构成一个集合？ 提示：不能．因为“最美”没有明确的划分标准． (3)“唐宋散文八大家”能否构成一个集合？ 提示：能．因为标准确定． 微思考 [多选题]下列各组对象能构成集合的是 A．2023年参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2024年高考数学难题 D．直角坐标系中横、纵坐标互为相反数的点 例1 对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合；对于B，小于 的正整数是确定的，可以构成集合；对于C，2024年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合；对于D，直角坐标系中横、纵坐标互为相反数的点都是确定的，能构成集合．故选ABD． √ √ √ 规律方法 判断所描述的对象能否构成集合的标准 判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．　 对点练1.(1)[多选题]下列对象能组成集合的是 A．不超过 20的素数 B．π的近似值 C．方程x＝1的实数根 D．最小的正整数 √ √ √ 对于A，不超过20的素数是确定的，可以组成集合；对于B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合；对于C，方程x＝1的实数根是确定的，就是1，可以组成集合；对于D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合．故选ACD． (2)[多选题]若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是 A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 √ √ √ 因为集合中的元素具有互异性，所以a≠b≠c≠d，所以可以构成四边都不相等的梯形，但是不可能构成平行四边形，菱形和矩形．故选BCD． 返回 知识点二　元素与集合的关系 返回 问题2.在体育课上，如果体育老师说“男同学踢足球，女同学打羽毛球”，你会去踢足球吗？ 提示：是男生就去，不是男生就不去． 问题导思 1．元素与集合的关系 新知构建 关系 语言描述 符号描述 读法 属于 如果元素a在集合A中，就说_______ __________ _______ a属于集合A 不属于 如果元素a不在集合A中，就说______ ____________ _______ a不属于集合A 元素a属 于集合A 元素a 不属于集合A a∈A a∉A 2.常用的数集及表示符号 数集 自然 数集 正整 数集 ________ 有理 数集 ________ 正实 数集 符号 ____ N＋或N* Z Q R R＋ 符号“∈”“∉”一般只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 微提醒 整数集 实数集 N (1)[多选题]下列关系中正确的是 A． ∈Q B． ∈R C．0∉N D．π∈Z 例2 √ √ 因为Q表示有理数集，R表示实数集，N表示自然数集，Z表示整数集，故A、B正确．故选AB． (2)已知不等式x－a>0的解集为集合A，若1∈A，则实数a的取值范围是________． 由1∈A，得1－a>0，解得a<1，故答案为a<1. a<1 [变式探究] 1．(变条件)将本例(2)中的条件1∈A变为1∉A，其余条件不变，则实数a的取值范围是________． a≥1 由1∉A，得1－a≤0，解得a≥1. 2．(变条件，变结论)已知集合A中的元素为2，4，6，当a∈A时，6－a∈A，则a为________． 2或4 集合A中含有3个元素2，4，6，且当a∈A时，6－a∈A，当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，则a＝2；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，则a＝4；当a＝6∈A时，6－a＝0∉A；综上所述，a＝2，或4. 规律方法 1．判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于给出具有公共特征元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 2．已知元素与集合的关系求参数的思路 (1)当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反． (2)利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．　　 对点练2．已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数A． 解：由－3∈A，可得－3＝a－2，或－3＝2a2＋5a， 所以a＝－1，或a＝－ . 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去； 当a＝－ 时，a－2＝－ ，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，所以a＝－ . 返回 知识点三　集合的表示 返回 问题3.(1)用A表示“大于－2且小于2的整数”构成的集合，这是利用哪种方法表示集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 提示：这是用自然语言法表示集合；我们可以一一写出其元素为－1，0，1. (2)“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？ 提示：不能，集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举． 问题导思 1．列举法 把集合中的元素__________出来写在________________内表示集合的方法叫作列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}． 2．描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为________________________，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的__________． 新知构建 一一列举 花括号“{ }” {x及x的范围|x满足的条件} 共同特征 3．有限集、无限集、空集 含有________元素的集合叫作有限集； 含有________元素的集合叫作无限集； 不含任何元素的集合叫作______，记作____． 有限个 无限个 空集 ∅ (1)列举法元素间用“，”隔开，把元素一一列举出来并用“{ }”括起来即可．对于无限集，有时也可用列举法，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}．(2)描述法应写清该集合中元素的代表符号，代表元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写． 微提醒 例3 (1)(链教材P3例1)用列举法表示下列集合： ①由大于1且小于6的整数组成的集合A； 解：因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}． ②方程x2－16＝0的实数根组成的集合B； 解：方程x2－16＝0的实数根为－4，4， 所以B＝{－4，4}． ③一次函数y＝x＋2的图象与坐标轴的所有交点组成的集合C． 解：由y＝x＋2，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2；所以一次函数y＝x＋2与坐标轴的所有交点为(0，2)，(－2，0)，所以C＝ (2)(链教材P3例2)用描述法表示下列集合： ①小于6的所有的整数组成的集合A； 解：设x∈A，则x∈Z，且使x<6成立，因此用描述法可以表示为A＝ . ②被3除余2的正整数组成的集合B； 解：设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数组成的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}． ③平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C． 解：平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即x<0，y>0，故第二象限内的点组成的集合为C＝{(x，y)|x<0，y>0}． 规律方法 1．用列举法表示集合的三个步骤 第一步：求出集合的元素； 第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 第三步：用花括号括起来． 注意 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合． 规律方法 2．用描述法表示集合的三个步骤 第一步，写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示； 第二步，明确元素特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围； 第三步，用花括号括起来：在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．　 对点练3.选择适当的方法表示下列集合： (1)方程 ＝0的所有实数根组成的集合； 解：方程 ＝0的实数根为2，故其实数根组成的集合为{2}． (2)不大于15的质数集； 解：不大于15的质数有2，3，5，7，11，13，故不大于15的质数集为{2，3，5，7，11，13}． (3)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合． 解：因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x，y)|xy≤0， x∈R，y∈R}． 返回 知识点四　区间及其表示 返回 问题4.你能用列举法表示集合{x|x－5<2}吗？你还有其它的方法表示{x|x－5<2}吗？ 提示：集合{x|x－5<2}可化简为{x|x<7}，因为满足x<7的实数有无数多个，所以无法用列举法表示；还可以用区间表示． 问题导思 1．区间的概念及记法 设a，b是两个实数，且a<b，我们规定： 新知构建 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．无穷大 实数集R可以用区间表示为______________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3．特殊区间的表示 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) (－∞，＋∞) (1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 微思考 (1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是 A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] 例4 不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．故选B． √ 规律方法 区间表示的关注点 1．(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． 2．区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．　　 对点练4.(1)区间(－3，2]用集合可表示为 A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} √ 由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3<x≤2}．故选C． (2)用区间表示下列集合： ①{x|x>－1}＝___________； ②{x|2<x≤5}＝___________； ③{x|x≤－3}＝___________； ④{x|2≤x≤4}＝______． (－1，＋∞) (2，5] (－∞，－3] [2，4] ①集合{x|x>－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；②集合{x|2<x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；③集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；④集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[24]. 返回 综合应用 返回 利用集合中元素的性质求参数 已知集合A＝{a2＋4a＋1，a＋1}，B＝{x|x2＋px＋q＝0}，1∈A． (1)求实数a的值； 解：因为1∈A，所以a2＋4a＋1＝1，或a＋1＝1，得a＝－4，或a＝0. 当a＝0时，a2＋4a＋1＝a＋1＝1，不符合元素的互异性，故a＝0舍去； 当a＝－4时，a2＋4a＋1＝1，a＋1＝－3，符合题意．所以a＝－4. (2)如果集合A是集合B的列举表示法，求实数p，q的值． 解：由(1)得A＝{1，－3}，故集合B中，方程x2＋px＋q＝0的两根为1，－3. 由一元二次方程根与系数的关系，得p＝－[1＋(－3)]＝2，q＝1×(－3)＝－3. 例5 (变条件)若将本例中“1∈A”换成“2a∈A”，求实数a的值． 解：因为2a∈A，所以a2＋4a＋1＝2a，或a＋1＝2a，解得a＝－1，或a＝1. 当a＝－1时，此时集合A中有两个元素－2，0，符合题意； 当a＝1时，此时集合A中有两个元素6，2，符合题意． 故所求a的值为－1或1. 变式探究　 规律方法 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 　　 注意　在求参数的值或范围时，一定注意集合中元素的互异性、无序性，用描述法表示集合时要注意分析清楚元素表示的含义． 对点练5.(开放题)有限数集S中至少含有1个元素且满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S.则满足条件且含有两个元素的数集S＝__________________(写出一个即可)． 返回 课堂小结 知识 1．元素与集合的概念、元素与集合的关系.2．常用数集的表示.3．集合中元素的特性及应用.4．集合的表示方法：列举法、描述法、区间 方法 1．判断元素与集合的关系：直接法、推理法.2．利用集合中元素的性质求参数：分类讨论思想、等价转化思想 易错误区 1．集合中忽略互异性的判断.2．自然数集中容易遗忘0这个元素 随堂演练 返回 1．[多选题]下列各组对象能构成集合的有 A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．(2 024，1)与(1，2 024) D．未来世界的高科技产品 对于A，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；对于B，小于0是一个明确的标准，能构成集合；对于C，(2 024，1)与(1，2 024)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；对于D，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．故选BC． √ √ 2．下列关系中，正确的是 A．1∉N B． ∈Z C． ∉Q D．0∈∅ √ 3．若实数x满足 ，则用区间表示为 A．(3，7) B．(3，7] C． D．[ 3，7) 由3≤x<7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半开半闭区间，D选项符合．故选D． √ 返回 因为a∈{1，a2－2a＋2}，则a＝1，或a＝a2－2a＋2，当a＝1时，a2－2a＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时，a＝a2－2a＋2，解得a＝1(舍去)或a＝2. 4．若a∈{1，a2－2a＋2}，则实数a的值为___． 2 课时测评 返回 1．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等．故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由x<5，且x∈N＋，得x＝1，2，3，4，故集合可表示为 . 故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．[多选题]下列说法中，正确的是 A． 的近似值的全体构成一个集合 B．自然数集N中最小的元素是0 C．在整数集Z中，若a∈Z，则－a∈Z D． 集合是有限集 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1∈P，且1∉Q，则1∈M；2∈P，且2∈Q，则2∉M，所以M＝ .故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．[多选题]若集合A＝ 中含有3个元素，则实数a的取值可以是 A．－1 B．－2 C．6 D．2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．设a，b是非零实数，那么 可能取的所有值组成的集合是____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．(开放题)已知a≥1，集合A＝ 中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是_____________． 2(答案不唯一) 由题设4>a－(2－a)≥2且a≥1，可得2≤a<3，所以符合条件的一个a值为2(答案不唯一)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，则第三边AC的长的取值范围用区间表示为________． 因为△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，所以BC－AB<AC<AB＋BC，即1<AC<5.用区间表示为(1，5)． (1，5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知含有两个元素的集合A＝{m，m2－3m}，其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数？(4分) 解：根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4， 因此，实数m不能取0和4. (2)若4∈A，求实数m的值．(6分) 解：由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)， 因此，实数m的值是－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．若集合M＝ ，则 A．(1，3)∈M B．(－1，3)∈M C．(－1，2)∈M D．(1，2)∈M √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．[多选题]已知集合A＝{2，a2＋1，a2－4a}，B＝{0，a2－a－2}，5∈A，则a为 A．2 B．－2 C．5 D．－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依题意5∈A，当a2＋1＝5时，a＝2，或a＝－2，若a＝－2，则A＝ ，B＝ ，符合题意；若a＝2，则a2－a－2＝0，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以a＝2不符合题意．当a2－4a＝5时，a＝－1，或a＝5，若a＝－1，则a2＋1＝2，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以a＝－1不符合题意．若a＝5，则A＝ ，B＝ ，符合题意．综上所述，a的值为－2，或5.故选BC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．已知集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，M＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，且a∈P，b∈Q，则 A．a＋b∈P B．a＋b∈Q C．a＋b∈M D．以上都不对 √ 由题知，因为a∈P，b∈Q，所以a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2－1，k2∈Z，所以a＋b＝2(k1＋k2)－1＝2k－1∈Q，k∈Z.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}． (1)若1∈A，求实数a的值；(4分) 解：由1∈A，得a×12－3×1＋1＝0，解得a＝2，所以实数a的值为2. (2)若a＝－10，用列举法表示集合A；(4分) 解：当a＝－10时，A＝{x∈R|－10x2－3x＋1＝0}＝ . (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值．(7分) 解：当a＝0时，方程－3x＋1＝0的根为x＝ ，符合题意，因此a＝0； 当a≠0时，集合A中仅有一个元素，则Δ＝9－4a＝0，解得a＝ ， 所以实数a的值为0或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)(新定义)若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时， ∈A． (1)分别判断集合B＝ ，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；(5分) 解：集合B不是“好集”，理由是－1∈B，1∈B，而－1－1＝－2∉B，所以B不是“好集”； 有理数集Q是“好集”，理由是0∈Q，1∈Q； 对任意x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时， ∈Q，所以有理数集Q是“好集”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设集合A是“好集”，求证：若x，y∈A，则x＋y∈A．(10分) 解：证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A， 若x，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A， 所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 预 备 知 识 返回 . a> (或) ＋ {2，0，－2} $$