1.4.2 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

4．2　一元二次不等式及其解法 知识 目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 素养 目标 通过一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养；借助一元二次不等式解集的求解，培养数学运算素养. 知识点一　一元二次不等式的概念 问题1.甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞．交警在现场测得甲车的刹车距离超过12 m，但不足15 m，乙车的刹车距离超过11 m，但不足12 m，已知两辆汽车的刹车距离函数分别如下：s甲＝0.01x2＋0.1x，s乙＝0.005x2＋0.05x，车速超过40 km/h属违法．试问哪一辆车违法超速行驶？ 提示：由题意，只需分别解出不等式12<0.01x2＋0.1x<15和11<0.005x2＋0.05x<12成立的实数x的取值范围，即可确认两车的实际速度是否违法．解12<0.01x2＋0.1x<15，得30<x<34.05，解11<0.005x2＋0.05x<12，得42.17<x<44.24.故乙车违法超速行驶． 1．定义：一般地，形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． 2．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． [微思考]　(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式． (2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了． 下列不等式(a，b，c∈R)： ①2x＋3y>0；②x(x＋2)>x(3－x)＋1；③x3－3x＋4≤0；④3x2－4y≥0；⑤ax2＋bx＋c<0； ⑥(a2＋1)x2－1>0；⑦－x2＋2x＋3<0，其中是一元二次不等式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：B 解析：①不是，是二元一次不等式；②是，③不是，未知数的最高次数是3；④不是，是二元二次不等式；⑤不一定是；⑥是，因为a2＋1>0；⑦是，因为符合一元二次不等式的定义．故选B． 　 一元二次不等式的判断步骤 第一步：根据一元二次不等式的定义进行判断； 第二步：当二次项系数为参数时，应首先判断系数是否为0.　 对点练1.[多选题]下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是(　　) A．x2＋<－1 B．x2＋mx－1>0 C．x2＋＋1<0 D．x2<0 答案：BD 解析：由于x2＋<－1和x2＋＋1<0不满足一元二次不等式的定义，故AC错误；不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故BD正确．故选BD． 知识点二　一元二次不等式的求解方法 问题2.下图是一元二次函数y＝x2－x－6的图象及部分对应值表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 根据图表，你能说出方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出不等式x2－x－6＞0的解集吗？x2－x－6＜0呢？ 提示：x＝－2，或x＝3；{x|x＜－2，或x＞3}；{x|－2＜x＜3}． 学生用书↓第40页 一元二次不等式的求解方法 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0的解集之间的关系： y＝ax2＋bx＋c(a>0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，x2＝(x1<x2) x1＝x2＝－ 无实数根 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|x<x1，或x>x2} R 不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [微提醒]　(1)在解一元二次不等式时，应首先将二次项系数a转化为大于0的情况，然后借助图象解决．(2)若一元二次不等式对应的一元二次方程能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集．(3)若不等式无解，则应说解集为空集．(4)三个二次间的关系：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标；ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应的x的取值集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应的x的取值集合． (链教材P37例2、例3)求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. 解：(1)因为Δ＝49>0，所以方程2x2＋5x－3＝0有两个不相等的实数根，解得x1＝－3，x2＝. 画出一元二次函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示， 观察图象可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0， 得x1＝，x2＝. 画出一元二次函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示， 观察图象可得原不等式的解集为. (3)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－. 画出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示， 观察图象可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为Δ＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根， 所以原不等式的解集为∅. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 第一步：化标准．通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正； 第二步：判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式； 第三步：求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根； 第四步：画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的草图； 第五步：写解集．根据图象写出不等式的解集．　　 对点练2.(1)不等式4x2－4x＋1≤0的解集为(　　) A．R B． C．∅ D． (2)[多选题]与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　) A．－x2＋x－2<0 B．2x2－3x＋2>0 C．x2－x＋3≥0 D．x2＋x－2>0 答案：(1)D　(2)ABC 解析：(1)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，故解集为.故选D． (2)因为Δ＝(－1)2－4×2＝－7<0，二次函数的图象开口向上，所以不等式x2－x＋2>0的解集为R，对于A，Δ＝1－4×(－1)×(－2)＝－7<0，二次函数的图象开口向下，所以－x2＋x－2<0的解集为R；对于B，Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7<0，二次函数的图象开口向上，所以不等式2x2－3x＋2>0的解集为R；对于C，Δ＝(－1)2－4×1×3＝－11<0，二次函数的图象开口向上，所以不等式x2－x＋3≥0的解集为R；对于D，x2＋x－2>0，所以(x＋2)(x－1)>0，所以x>1，或x<－2，与已知不符．故选ABC． 学生用书↓第41页 含参数的一元二次不等式的解法 (链教材P38例4)求关于x的不等式－x2＋(2－m)x＋2m≥0的解集，其中m是常数． 解：原不等式可化为x2＋(m－2)x－2m≤0， 即(x＋m)(x－2)≤0， 令(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2. 当－m>2，即m<－2时，不等式的解集为[2，－m]； 当－m＝2，即m＝－2时，不等式的解集为{2}； 当－m<2，即m>－2时，不等式的解集为[－m，2]． 综上所述，当m<－2时，原不等式的解集为[2，－m]； 当m＝－2时，原不等式的解集为{2}； 当m>－2时，原不等式的解集为[－m，2]． 解含参数的一元二次不等式的步骤 　　 对点练3.求关于x的不等式bx2－(3ab－b)x＋2a2b－ab<0的解集，其中a，b是常数． (1)当b＝1，a>1时，求原不等式的解集； (2)当b＝a(a≤1)时，求原不等式的解集． 解：(1)当b＝1时，原不等式即x2－(3a－1)x＋2a2－a<0，即(x－a)(x－2a＋1)<0， 因为a>1，所以a<2a－1，所以原不等式的解集为. (2)当b＝a(a≤1)时，原不等式可化为a(x－a)(x－2a＋1)<0(a≤1)． 当a＝1时，原不等式化为(x－1)2<0，此时，原不等式的解集为∅； 当0<a<1时，a>2a－1，原不等式的解集为{x|2a－1<x<a}； 当a＝0时，原不等式即0<0，此时，原不等式的解集为∅； 当a<0时，原不等式可化为(x－a)(x－2a＋1)>0， 此时，a>2a－1，原不等式的解集为{x|x<2a－1，或x>a}． 综上所述，当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|2a－1<x<a}； 当a<0时，原不等式的解集为{x|x<2a－1，或x>a}． 知识 1.一元二次不等式及其解法.2.三个“二次”之间的关系 方法 分类讨论与数形结合的思想方法 易错误区 解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准 1．不等式x2－3x＋2<0的解集为(　　) A． B． C． D．{x|x<1，或x>2} 答案：C 解析：因为x2－3x＋2<0，即(x－2)(x－1)<0，解得1<x<2，所以x2－3x＋2<0的解集为.故选C． 2．下列不等式的解集是空集的是(　　) A．x2－x＋1>0 B．－2x2＋x＋1>0 C．2x－x2>5 D．x2>2 答案：C 解析：对于A，Δ<0，所以不等式的解集是R，故A错误；对于B，由－2x2＋x＋1>0，可得不等式的解集为，故B错误；对于C，不等式变形为x2－2x＋5<0，开口向上，Δ<0，所以解集是空集，故C正确；对于D，由x2>2，可得不等式的解集为{x|x<－，或x>}，故D错误．故选C． 3．不等式－x2＋6x－8>0的解集为____________． 答案：{x|2<x<4} 解析：原不等式等价于x2－6x＋8<0，即(x－2)·(x－4)<0，解得2<x<4.则原不等式的解集为{x|2<x<4}． 4．若0<a<1，则不等式(x－a)(x－a2)>0的解集为____________． 答案：(－∞，a2)∪(a，＋∞) 解析：因为0<a<1，所以a>a2，所以(x－a)(x－a2)>0的解为x<a2，或x>a，则原不等式(x－a)(x－a2)>0的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)． 课时测评13　一元二次不等式及其解法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．不等式x(x＋2)<3的解集是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B．{x|x<－2，或x>0} C．{x|x<－1，或x>3} D． 答案：D 解析：不等式x(x＋2)<3即x2＋2x－3<0，解得－3<x<1，故不等式x(x＋2)<3的解集为.故选D． 2．已知关于x的不等式x2＋x＋a<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：欲使不等式x2＋x＋a<0的解集为空集，则方程x2＋x＋a＝0中，Δ＝1－4a≤0，所以a≥.故选A． 3．(2024·广东茂名高一期末监测)“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R”的(　　) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 答案：B 解析：充分性：若a<0，Δ＝b2－4ac<0，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅，即充分性不成立； 必要性：若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，则即必要性成立． 因此，“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R”的必要非充分条件．故选B． 4．若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为0<m<1，所以>1>m，故原不等式的解集为.故选D． 5．[多选题]下列给定的不等式，其中解集不为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1 答案：ABD 解析：A可化为x2－x－1≤0，Δ＝(－1)2＋4>0，解集不为R；B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；C中Δ＝62－4×10<0，解集为R；D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然解集不为R.故选ABD． 6．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是　. 答案：{m|m<0} 解析：由题意知m<0，因为不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，所以方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，所以实数m的取值范围是{m|m<0}． 7．若a<b，d<c，并且(c－a)(c－b)<0，(d－a)(d－b)>0，则a，b，c，d由小到大的顺序排列是____________． 答案：d<a<c<b 解析：由a<b且(c－a)(c－b)<0，则a<c<b，由a<b且(d－a)(d－b)>0，则d>b或d<a，结合d<c，可知d<a，故d<a<c<B． 8．设a>1，则关于x的不等式(1－a)(x－a)(x－)<0的解集是________________． 答案： 解析：a>1时，1－a<0，且a>，则不等式可化为(x－a)>0，解得x<，或x>a，所以不等式的解集为. 9．(10分)设函数y＝x2＋(1－a)x－A． (1)若不等式y≥－16对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(4分) (2)求关于x的不等式y<0(a∈R)的解集．(6分) 解：(1)不等式y≥－16对一切实数x恒成立， 即x2＋(1－a)x－a＋16≥0对一切实数x恒成立， 则Δ＝(1－a)2－4(－a＋16)≤0，解得－9≤a≤7， 所以实数a的取值范围为. (2)由x2＋(1－a)x－a＝(x－a)(x＋1)<0， 则当a<－1时，不等式的解集为(a，－1)； 当a＝－1时，不等式的解集为∅； 当a>－1时，不等式的解集为(－1，a)． (10—12每小题5分，共15分) 10．已知关于x的不等式(x－a)(x＋2a)<0的解集为M，若4∉M，则实数a的取值范围为(　　) A．[－2，4] B．(－2，4) C．(－∞，－2]∪[4，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞) 答案：A 解析：由于4∉M，所以(4－a)(4＋2a)≥0，即(a－4)(2a＋4)≤0，解得－2≤a≤4，所以实数a的取值范围是.故选A． 11．[多选题]已知不等式x2－(3a＋1)x＋2a2＋2a>0，下列说法正确的是(　　) A．若a＝1，则不等式的解集为R B．若a＝0，则不等式的解集为{x|x>1，或x<0} C．若a>1，则不等式的解集为{x|x<a＋1，或x>2a} D．若a<1，则不等式的解集为{x|x<2a，或x>a＋1} 答案：BCD 解析：不等式x2－(3a＋1)x＋2a2＋2a>0，整理得x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，即(x－2a)[x－(a＋1)]>0，若a＝1，则(x－2)2>0，所以不等式的解集为{x|x≠2}，故A错误；若a＝0，则x(x－1)>0，所以不等式的解集为{x|x>1，或x<0}，故B正确；若a>1，则2a>a＋1，所以不等式的解集为{x|x<a＋1，或x>2a}，故C正确；若a<1，则2a<a＋1，所以不等式的解集为{x|x<2a，或x>a＋1}，故D正确．故选BCD． 12．(开放题)已知二次函数y＝(ax－1)(x－a)．甲同学：y>0的解集为(－∞，a)∪；乙同学：y<0的解集为(－∞，a)∪；丙同学：y的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的范围为________________． 答案：(0，1) 解析：若甲正确，则a>0，且>a，即a2<1，则0<a<1；若乙正确，则a<0，且a<，即a2>1，则a<－1；若丙正确，则二次函数的对称轴方程x＝>0，可得a>0；因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故0<a<1. 13．(15分)求关于x的不等式ax2＋ax－2≤0的解集，其中a∈R. (1)若a＝1，解不等式；(5分) (2)若不等式ax2＋ax－2≤0的解集是R，求a的取值范围．(10分) 解：(1)当a＝1时，x2＋x－2≤0，即(x－1)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤1， 故原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}． (2)因为不等式ax2＋ax－2≤0的解集是R， ①a＝0时，－2≤0，满足题意； ②a≠0时，需满足a<0，且Δ＝a2＋8a＝a(a＋8)≤0，解得－8≤a<0. 综上可得－8≤a≤0， 故实数a的取值范围为{a|－8≤a≤0}． 14．(5分)(新角度)[多选题]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0，则下列说法正确的是(　　) A．不等式ax2＋bx＋c<0的解集不可能是 B．不等式ax2＋bx＋c<0的解集可以是R C．不等式ax2＋bx＋c<0的解集可以是∅ D．不等式ax2＋bx＋c<0的解集可以是 答案：BCD 解析：当a＝0，b＝1，c＝－2 024时，x－2 024<0，解得x<2 024，即不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，故A错误；当a＝b＝0，c＝－1时，－1<0，显然恒成立，即不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R，故B正确；当a＝b＝0，c＝1时，1<0，显然恒不成立，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是∅，故C正确；当a＝－1，b＝4 048，c＝－2 0242时，－x2＋4 048x－2 0242<0，解得x≠2 024，即不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，故D正确．故选BCD． 15．(15分)若f(x)＝ax2＋4(a－1)x－3，x∈，且f(x)≥f(2)恒成立，求实数a的取值范围． 解：因为f(x)≥f(2)，所以ax2＋4(a－1)x－3≥4a＋8(a－1)－3，即ax2＋4(a－1)x＋8－12a≥0在x∈恒成立， 令g(x)＝ax2＋4(a－1)x＋8－12a， a>0时，如图①所示，由，方程组无解； 　 如图②所示，由，解得0<a≤； 如图③所示，由 方程组无解； 　 a<0时，如图④所示，只须即可，解得a<0； a＝0时，g(x)＝－4x＋8，x∈时g(x)＝－4x＋8单调递减，g(2)＝－8＋8＝0，满足题意； 综上所述，a≤. 所以实数a的取值范围为. 学生用书↓第42页 学科网（北京）股份有限公司 $$