1.4.1 一元二次函数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 知识 目标 1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系． 2．能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质. 素养 目标 通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养；借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养. 知识点一　一元二次函数的图象 问题1.函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换得到． 提示：函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了一元二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了一元二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 1．抛物线 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a＋，若设h＝－，k＝，则有y＝a(x－h)2＋k，通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． 学生用书↓第36页 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． [微提醒]　在画二次函数的图象或利用图象解决问题时，应注意以下几点：(1)a决定函数图象的开口方向；(2)判别式Δ决定与x轴是否有交点；(3)过定点(0，c)；(4)对称轴的位置． (链教材P34例1)函数y＝4x2＋2x＋1的图象可以由函数y＝4x2的图象经过怎样的变换得到． 解：配方，得y＝4x2＋2x＋1＝4＋1＝4＋1＝4＋1＝42＋， 所以函数y＝4x2＋2x＋1的图象可以由函数y＝4x2的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到． 任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示： 上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”．　　 对点练1.(1)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) (2)将函数图象上的所有点向左移动一个单位，再向下移动两个单位得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝2x2＋11x＋11 B．y＝2x2＋3x＋7 C．y＝2x2＋3x＋1 D．y＝2x2＋11x＋5 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)根据一次函数y＝bx＋c与二次函数y＝ax2在同一平面直角坐标系中的图象可判断出a>0，b>0，c<0，则y＝ax2＋bx＋c图象，开口向上，对称轴为x＝－<0，与y轴的交点在x轴下方，故D正确．故选D． (2)将y＝2x2＋7x＋4函数的图象上所有点向上平移两个单位，再向右平移一个单位可得到y＝2(x－1)2＋7(x－1)＋4＋2的图象，化简可得y＝2x2＋3x＋1.故选C． 知识点二　一元二次函数的解析式 问题2.一元二次函数的解析式有几种形式？ 提示：三种不同形式．即一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 一元二次函数的解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)； (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 根据下列条件，求一元二次函数的解析式： (1)过点(1，1)，(0，2)，(3，5)； (2)图象过点(1，4)，(－1，0)和(3，0)； (3)图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且最大值为8. 解：(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题设知解得 所以函数解析式为y＝x2－2x＋2. (2)法一：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将(1，4)，(－1，0)，(3，0)分别代入上式，得解得 所以函数解析式为y＝－x2＋2x＋3. 法二：设函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)． 将(1，4)代入上式，得4＝a(1＋1)(1－3)， 所以a＝－1，所以y＝－(x＋1)(x－3)， 即函数解析式为y＝－x2＋2x＋3. (3) 法一：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意，得解得 故函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 法二：因为函数图象过点(2，－1)，(－1，－1)， 所以抛物线的对称轴为直线x＝＝， 又因为函数最大值为8，所以y＝a＋8. 将(2，－1)代入得，a＋8＝－1，解得a＝－4. 所以y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 故函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 学生用书↓第37页 利用待定系数法求一元二次函数解析式的步骤 　　 对点练2.如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B． (1)求m的值； (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式． 解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m可得m＝－3. (2)将y＝0代入y＝x－3得：x＝3，所以点B的坐标为(3，0)， 将(0，－3)，(3，0)代入y＝ax2＋b中，可得b＝－3，9a＋b＝0， 解得a＝，b＝－3， 所以二次函数的解析式为y＝x2－3. 知识点三　一元二次函数的性质 问题3.你能找出一元二次函数y＝2(x－1)2＋5的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？ 提示：能．对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5)．函数值y随x的增大而减小的区间是(－∞，1]，函数值y随x的增大而增大的区间是[1，＋∞)．当x＝1时，ymin＝5，无最大值． 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质 a>0(开口向上) a<0(开口向下) 图象 性质 对称轴 直线x＝h 顶点坐标 (h，k) x的取值 范围 (－∞，＋∞)或R y的取值 范围 [k，＋∞) (－∞，k] 函数值的变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而减小，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而增大，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而减小 最值 x＝h时，y有最小值，ymin＝k x＝h时，y有最大值，ymax＝k [微提醒]　在求一元二次函数的最值问题时常利用图象解决问题． (链教材P34例1)已知一元二次函数y＝x2－3x－. (1)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值； (2)若x∈[1，4]，求函数值的取值范围． 解：(1)配方，得y＝x2－3x－＝(x－3)2－，该函数的图象开口向上， 对称轴为直线x＝3；在区间(－∞，3]上，函数值y随x的增大而减小，在区间[3，＋∞)上，函数值y随x的增大而增大；函数在x＝3处取得最小值－，即ymin＝－，无最大值． (2)由于3∈[1，4]，所以函数值在区间[1，3]上随x的增大而减小，在区间[3，4]上随x的增大而增大， 所以当x＝3时，ymin＝－， 当x＝1时，ymax＝×4－＝－， 所以当x∈[1，4]时，函数值的取值范围为. 学生用书↓第38页 研究一元二次函数在给定区间的性质 一看开口方向，二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”．只需作出一元二次函数相关的部分简图，利用数形结合法就可以得到问题的解．　　 对点练3.[多选题]已知二次函数y＝－2x2－4x＋5，下列结论正确的是(　　) A．其图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝－1 C．当x>－1时，y随x的增大而减小 D．函数有最大值3 答案：BC 解析：二次函数y＝－2x2－4x＋5＝－2(x＋1)2＋7，对于A，开口向下，故A错误；对于B，对称轴为直线x＝－1，故B正确；对于C，当x>－1时，y随x的增大而减小，故C正确；对于D，当x＝－1时，函数有最大值7，故D错误．故选BC． 一元二次函数在闭区间上的最值问题 如果函数y＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求函数的最小值． 解：函数y＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上． 如图①所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数取得最小值ymin＝(t－1)2＋1. 如图②所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值ymin＝1. 如图③所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数取得最小值ymin＝t2＋1. 综上可知，ymin＝ 　 求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤 第一步：配方，找对称轴； 第二步：判断对称轴与区间的关系；　 第三步：求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得． 对点练4.已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上有最大值2，求a的值． 解：函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴为直线x＝A． 当a＜0，x＝0时，ymax＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1； 当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0， 所以a＝(舍去)； 当a＞1，x＝1时，ymax＝a，所以a＝2. 综上可知，a＝－1，或a＝2. 知识 1.一元二次函数解析式的三种形式.2.一元二次函数的图象及变换.3.一元二次函数的性质 方法 配方法与数形结合的思想方法 易错误区 1.易忽视一元二次函数的开口方向.2.二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论 1．一元二次函数y＝－2x2＋2x＋1的顶点坐标是(　　) A．(1，1) B．(－1，－3) C． D． 答案：C 解析：y＝－2x2＋2x＋1＝－2＋，所以顶点坐标为.故选C． 2．将y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为(　　) A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1 答案：C 解析：将y＝x2的图象向右平移2个单位长度可得到y＝(x－2)2的图象，再向下平移1个单位长度可得到y＝(x－2)2－1的图象．故选C． 3．二次函数y＝f(x)的图象如图所示，那么此函数为(　　) A．y＝x2－4 B．y＝4－x2 C．y＝(4－x2) D．y＝(2－x2) 答案：C 解析：由图象经过(2，0)，(－2，0)，可设其解析式为y＝a(x＋2)(x－2)，代入点(0，3)得3＝－4a，解得a＝－，故其解析式为y＝－(x＋2)(x－2)，可化简为y＝(4－x2)．故选C． 4．函数y＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的最小值为________． 答案：－1 解析：因为函数y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1(x∈[1，4])在[1，2]上函数值随x的增大而减小，在[2，4]上函数值随x的增大而增大，所以在x＝2时函数y＝x2－4x＋3(x∈[1，4])取得最小值为－1. 课时测评12　一元二次函数 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．如果一元二次函数y＝5x2＋mx＋4的对称轴是x＝1，则当x＝1时，y＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．10 B．－10 C．－1 D．19 答案：C 解析：对称轴为－＝1，解得m＝－10，则y＝5x2－10x＋4，所以当x＝1时，y＝5－10＋4＝－1.故选C． 2．已知一元二次函数y＝x2＋2x＋5，它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换得到(　　) A．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 答案：C 解析：y＝x2＋2x＋5＝(x＋2)2＋3.故选C． 3．若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　) A．{－3} B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞) 答案：C 解析：由在区间(－∞，7]上函数值y随自变量x的增大而减小，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.故选C． 4．若y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，则该函数的函数值在区间(－3，1)上(　　) A．随x的增大而增大 B．随x的增大而减小 C．随x的增大先增大后减小 D．随x的增大先减小后增大 答案：C 解析：y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，所以m＝0，此时y＝－x2＋3，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，函数值在区间(－3，1)上先增大后减小．故选C． 5．[多选题]如图所示的是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，则以下选项中正确的为(　　) A．a－b＋c＝0 B．b2>4ac C．a＋b＋c＝0 D．5a<b 答案：BCD 解析：结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，故A错误；因为图象与x轴交于两点，所以Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac，故B正确；因为抛物线过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则抛物线与x轴另一个交点为(1，0)，于是有a＋b＋c＝0，故C正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，所以b＝2a，根据抛物线开口向下，知a<0，则5a<2a，即5a<b，故D正确．故选BCD． 6．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________． 答案：1 解析：y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝x2＋1的图象，则m＝1. 7．一元二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为直线x＝2，最小值为－1，则它的解析式是　. 答案：y＝x2－2x＋1 解析：依题意可设y＝a(x－2)2－1(a>0)，又其图象过点(0，1)，所以4a－1＝1，所以a＝，所以y＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1. 8．若函数y＝－x2＋2ax的值在区间[0，1]上随着自变量x的增大而增大，在区间[3，4]上随着自变量x的增大而减小，则实数a的取值范围是________． 答案：[1，3] 解析：由题意得，对称轴x＝a应在x＝1的右侧，x＝3的左侧，或与x＝1，或x＝3重合．所以1≤a≤3. 9．(10分)已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋6. (1)指出它的图象可以由函数y＝－x2的图象经过怎样的变换而得到；(4分) (2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．(6分) 解：(1)配方，得y＝－(x2－8x)＋6＝－(x2－8x＋16－16)＋6＝－(x－4)2＋14. 所以函数y＝－x2＋4x＋6的图象可以由y＝－x2的图象向右平移4个单位长度，再向上平移14个单位长度而得到． (2)由(1)可知：该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝4； 在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大，在[4，＋∞)上，y随x的增大而减小； 函数在x＝4处取得最大值14，无最小值． (10—12每小题5分，共15分) 10．函数y＝－x2＋2x－3在闭区间[0，3]上的最大值、最小值分别为(　　) A．0，－2 B．－2，－6 C．－2，－3 D．－3，－6 答案：B 解析：因为y＝－(x－1)2－2，所以当x＝1时有最大值－2，当x＝3时有最小值－6.故选B． 11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图象可能是下图中的(　　) 答案：D 解析：对于A，由图象可知两个二次函数均开口向上，故a>0，b>0，则两函数的对称轴－<0，－<0，均在纵轴左侧，与选项矛盾，故A错误；对于B，同A项，有a<0，b<0，对称轴－<0，－<0，均在纵轴左侧，也与选项矛盾，故B错误；对于C、D，由图象可知ab<0，故两函数的对称轴－>0，－>0，均在纵轴右侧，显然D正确；C错误．故选D． 12．(易错题)若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________． 答案： 解析：由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤，令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，所以t＝3＋.其在上，函数值t随自变量y的增大而减小，当y＝时，t取到最小值，tmin＝3＋＝. 13．(15分)已知函数y＝－x2＋4x－2. (1)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值；(5分) (2)若x∈[0，3]，求y的最大值和最小值．(10分) 解：y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2. (1)该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝2；在区间(－∞，2]上，函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小； 函数在x＝2处取得最大值，即ymax＝2，无最小值． (2)若x∈[0，3]，画出函数图象，如图所示． 由图可知，当x＝2时，ymax＝2； 当x＝0时，ymin＝－2. 14．(5分)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(　　) A．当a＝1时，函数图象经过点(1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a<0，则函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大 答案：D 解析：对于A，当a＝1时，函数解析式为y＝x2－2x－1，过点(1，－2)，故A不正确；对于B，当a＝－2时，函数解析式为y＝－2x2＋4x－1，令y＝－2x2＋4x－1＝0，则Δ＝42－4×(－2)×(－1)＝8>0，所以当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，故B不正确；对于C，y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－1－a，所以一元二次函数图象的顶点坐标为(1，－1－a)，当a<0时，－1－a<0不恒成立，故C不正确；对于D，因为y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－1－a，所以一元二次函数图象的对称轴为直线x＝1，若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故D正确．故选D． 15．(15分)已知a>0，将函数y1＝ax2－a的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到函数y2的图象． (1)求函数y2的表达式；(5分) (2)求函数y2在上的最小值．(10分) 解：(1)因为a>0，将函数y1＝ax2－a的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到函数y2的图象， 故函数y2的表达式为y2＝a2－a－. (2)由(1)可知y2＝a2－a－，对称轴为x＝>0. ①当0<<，即a>时， 函数y2＝a2－a－在上y2随x的增大而增大， 当x＝时，(y2)min＝a－a－＝－； ②当≤≤2，即≤a≤时， 当x＝时，(y2)min＝－a－； ③当>2，即0<a<时，函数y2＝a2－a－在上y2随x的增大而减小，当x＝2时，(y2)min＝a－a－＝a－2. 综上可知，(y2)min＝ 学生用书↓第39页 学科网（北京）股份有限公司 $$