1.2.1 第2课时 充要条件-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　充要条件 知识 目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．2.会判断一些简单的充要条件问题并能对充要条件进行证明. 素养 目标 通过对充要条件的判断与应用，培养抽象概括能力和提升逻辑推理、数学运算素养. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； 学生用书↓第18页 (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集． 提示：不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题． 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． 2．条件与结论的等价性：当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 3．充分、必要、充要条件的分类与传递性 分类 ①如果p⇒q且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件； ②如果p⇒/q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件； ③如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充要条件； ④如果p⇒/q且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件 传递性 ①p⇒q，q⇒s则p⇒s，即p是s的充分条件； ②q⇒p，s⇒q则s⇒p，即p是s的必要条件； ③p⇔q，q⇔s则p⇔s，即p是s的充要条件 [微提醒]　充要条件与集合的关系：A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A＝B p是q的充要条件 AB p是q的充分不必要条件 BA p是q的必要不充分条件 角度1　充要条件的判断 (链教材P17例3)在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； (2)p：△ABC中，AB>AC，q：△ABC中，∠C>∠B； (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B； (4)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等． 解：(1)因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件． (2)由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件． (3)若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件． (4)若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两个三角形全等，故p是q的充分不必要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法与步骤 方法 定义法 直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假 集合法 即利用集合之间的包含关系判断 等价法 利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法 传递法 充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 步骤 第一步，认清p，q：分清哪个是条件，哪个是结论； 第二步，找推式：判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假； 第三步，下结论：根据推式及定义下结论 对点练1.(1)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：x≤1，q：x<1 B．p：x>－1，q：x2>1 C．p：x>0，q: ＝x D．p：x≤0，q：|x|＝－x (2)[多选题]给出的下列选项，其中错误的是(　　) A．圆O内两条弦相等是圆O内两条弦所对的圆周角相等的充要条件 B．四边形为正方形是四边形的对角线互相垂直且平分的充要条件 C．x，y为无理数是xy为无理数的充分条件 D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 答案：(1)D　(2)ABC 解析：(1)对于A，因为x≤1不能推出x<1，例如x＝1，即充分性不成立，故A错误；对于B，因为x>－1不能推出x2>1，例如x＝0，即充分性不成立，故B错误；对于C，因为＝x不能推出x>0，例如x＝0，即必要性不成立，故C错误；对于D，因为|x|＝－x等价于x≤0，所以p是q的充要条件，故D正确．故选D． (2)对于A，同弦所对圆周角互补或相等，所以圆O内两条弦相等他们所对的圆周角相等或互补，故A错误；对于B，若四边形的对角线互相垂直且平分，则四边形是菱形，不一定是正方形，故B错误；对于C，若x＝，y＝，则xy＝2是有理数，故C错误；对于D，若x＝2，y＝，则xy＝2是无理数；若xy＝2为有理数，则当x＝，y＝时为无理数，所以x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件，故D正确．故选ABC． 学生用书↓第19页 角度2　充要条件的证明 设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0. 证明：充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b， 代入方程ax2＋bx＋c＝0得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1； 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0. 　 1．充要条件的证明思路 一般地，证明“p成立的充要条件为q”： (1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p； (2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q. 2．充要条件的证明方法 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q证明充分性，推证q⇒p证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．　 对点练2.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，所以ac<0. 充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根． 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 充分、必要条件的应用 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 设A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m>0)， 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，所以BA， 故有或解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． [变式探究] (变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 设A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m>0)， 因为p是q的充分不必要条件，所以AB． 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 第一步：根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系； 第二步：根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．　　 对点练3.(1)关于x的方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有实数根的充要条件是(　　) A．a>1 B．a>－2 C．a≥－ D．a≥－4 (2)设m∈N＋，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________． 答案：(1)C　(2)3或4 解析：(1)由方程有实根，则Δ＝(2a＋1)2－4a2＝4a＋1≥0，可得a≥－.所以a≥－是题设方程有实数根的充要条件．故选C． (2)x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N＋，取m＝1，2，3，4.验证可得m＝3，4符合题意，所以m＝3，4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根． 知识 1.充要条件概念的理解.2.充要条件的证明与应用 方法 定义法、集合法、等价法、传递法及分类讨论、转化的思想 易错误区 1.条件和结论辨别不清.2.充分、必要条件问题转化为集合之间的关系易颠倒 学生用书↓第20页 1．“x＝4”是“x2－x－12＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x2－x－12＝0得x＝4或x＝－3，所以由“x＝4”可推出“x2－x－12＝0”，但由“x2－x－12＝0”不能推出“x＝4”，所以“x＝4”是“x2－x－12＝0”的充分不必要条件．故选A． 2．“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是(　　) A．m≥1 B．m≤1 C．m≥2 D．m≥0 答案：A 解析：若x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝4－4m>0⇒m<1，故方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解时，m≥1，故“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是m≥1.故选A． 3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件． 答案：充要 解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件． 4．若“x2＋ax＋b＝0”是“x＝1”的充要条件，则a＋b的值为________． 答案：－1 解析：由题意可知，解得所以a＋b＝－1. 课时测评6　充要条件 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形；当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，所以三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件．故选C． 2．“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实根”的充要条件是(　　) A．a≤－2 B．a<－2 C．a>2 D．a<－2或a>2 答案：B 解析：因为一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实根，设两根分别为x1，x2，故解得a<－2，故“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实根”的充要条件是a<－2.故选B． 3．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：B 解析：法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2⇒/a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 法二：因为“a2＝b2”⇔“|a|＝|b|”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，又“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 4．已知集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为(　　) A．{－1，0，1} B．{－1，1} C．{1} D．{－1} 答案：A 解析：由题意知，A＝{－2，2}，BA，当B＝∅时，有a＝0，符合题意；当B≠∅时，有a≠0，此时B＝，所以＝2，或＝－2，所以a＝±1.综上，实数a的所有可能取值组成的集合为{－1，0，1}．故选A． 5．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．“<1”是“a>1”的充分不必要条件 B．已知a，b∈R，则|a＋b|＝|a|＋|b|的充要条件是ab>0 C．“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件 D．a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c 答案：CD 解析：对于A，由－1＝<0，解得a>1，或a<0，故“<1”是“a>1”的必要不充分条件，故A错误；对于B，当a>0，b>0时，|a＋b|＝a＋b，|a|＋|b|＝a＋b，故|a＋b|＝|a|＋|b|成立，当a<0，b<0时，|a＋b|＝－(a＋b)，|a|＋|b|＝－(a＋b)，故|a＋b|＝|a|＋|b|成立，当ab＝0时，|a＋b|＝|a|＋|b|也成立，所以|a＋b|＝|a|＋|b|的充分不必要条件是ab>0，故B错误；对于C，当x>0时，x＋|x|＝x＋x>0，当 x<0时，x＋|x|＝x－x＝0，故不充分，若x＋|x|>0，则 x>0即可得x≠0，故必要，故C正确；对于D, a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca等价于2(a2＋b2＋c2)＝2ab＋2bc＋2ca等价于(a－b)2＋(c－a)2＋(b－c)2＝0，等价于a＝b＝c，故a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c，故D正确．故选CD． 6．(开放题)写出x∈[0，)的一个必要不充分条件为x∈__________．(用区间表示) 答案：[0，3)(答案不唯一，所求区间只需真包含[0，)即可) 解析：因为[0，)[0，3)，所以x∈[0，)的一个必要不充分条件可以为x∈[0，3)．(答案不唯一，所求区间只需真包含[0，)即可)． 7．(新情境)王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的______________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空)． 答案：必要不充分 解析：据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件． 8．若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是________． 答案：m＝±2 解析：因为A∩B＝{4}，所以4∈A，又－2≠4，故m2＝4，解得m＝±2.即A∩B＝{4}⇒m＝±2.当m＝±2时，m2＝4，所以A＝{－2，4}，B＝{2，4}，则A∩B＝{4}，即m＝±2⇒A∩B＝{4}．综上所述，“A∩B＝{4}”的充要条件是m＝±2. 9．(15分)已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}． (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(4分) (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；(4分) (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．(7分) 解：(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤5}． (2)显然，满足－3≤a≤5的数中任取一个a的值都是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件，则取a＝5.(答案不唯一) (3)由(1)知M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}，要求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件，即求一个集合，满足{a|－3≤a≤5}是该集合的真子集，那么{a|a≤5}是所求的一个必要不充分条件．(答案不唯一) (10—13每小题5分，共20分) 10．已知p：0<x<2，那么p的一个充分不必要条件是(　　) A．0<x<1 B．－1<x<1 C．0<x≤2 D．0<x<3 答案：A 解析：对于A，因为0<x<1⇒0<x<2，0<x<2⇒/0<x<1，所以0<x<1是p的一个充分不必要条件，故A正确；对于B，因为－1<x<1⇒/0<x<2，0<x<2⇒/－1<x<1，所以－1<x<1是p的一个既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，因为0<x≤2⇒/0<x<2，0<x<2⇒0<x≤2，所以0<x≤2是p的一个必要不充分条件，故C错误；对于D，因为0<x<3⇒/0<x<2，0<x<2⇒0<x<3，所以0<x<3是p的一个必要不充分条件，故D错误．故选A． 11．设集合M＝{x|x≥3}，P＝{x|x>2}，那么“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为M＝{x|x≥3}，P＝{x|x>2}，所以M∪P＝{x|x>2}，M∩P＝{x|x≥3}，因为{x|x≥3}{x|x>2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选C． 12.(新情境)黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中(例如图中所示的建筑)．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°，底角为72°的等腰三角形，另一种是顶角为108°，底角为36°的等腰三角形，则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若△ABC中有一个角是36°，则其他两个角不确定，故不能推出△ABC为黄金三角形，若△ABC为黄金三角形，由题意知△ABC中至少有一个角是36°，故“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件．故选C． 13．[多选题]下列各项中给出的两个语句p和q，哪些p是q的充要条件(　　) A．p：四边形是菱形，q：四边形的对角线互相垂直且平分 B．p：＝a，q：a>0 C．p：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，q：m＝－2 D．p：关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|x1≤x≤x2}(x1<x2)，q：a<0且b2>4ac 答案：ACD 解析：对于A，由四边形是菱形，则四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立；反之，由四边形的对角线互相垂直且平分，则四边形是菱形，即必要性成立，所以p是q的充要条件，故A正确；对于B，由＝a，则a≥0，即充分性不成立；反之，由a>0，则＝a，即必要性成立，所以p是q的必要不充分条件，故B错误；对于C，若函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，解得m＝－2，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2，故C正确；对于D，在不等式ax2＋bx＋c≥0中，由不等式的解集是{x|x1≤x≤x2}(x1<x2)，则a<0，且Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac，即充分性成立；反之，由a<0且b2>4ac，即Δ>0，则存在x1<x2，使得不等式的解集是{x|x1≤x≤x2}，即必要性成立，所以p是q的充要条件，故D正确．故选ACD． 14．(5分)(新角度)甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：A＝{x|0<Δx<2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件．则“Δ”中的数字可以是(　　) A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 答案：C 解析：因为此数为小于5的正整数，故A＝＝，因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子集，故>且≤5，解得Δ∈，故“Δ”中的数字可以是1或2.故选C． 15．(20分)设x，y∈R. (1)求证：|x＋2y|＝|x|＋2|y|成立的充要条件是xy≥0.(8分) (2)直接写出|x＋2y|＝|x－2y|成立的充要条件(不要求证明)．(12分) 解：(1)证明：先证充分性：因为xy≥0，讨论： ⅰ.当xy＝0，继续讨论： ①x＝0，y≠0时，|x＋2y|＝2|y|，|x|＋2|y|＝2|y|，所以|x＋2y|＝|x|＋2|y|； ②y＝0，x≠0时，|x＋2y|＝|x|，|x|＋2|y|＝|x|，所以|x＋2y|＝|x|＋2|y|； ③y＝0，x＝0时，所以|x＋2y|＝|x|＋2|y|＝0； 所以当xy＝0时，有|x＋2y|＝|x|＋2|y|成立． ⅱ.当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0， ①当x>0，y>0时，|x＋2y|＝x＋2y＝|x|＋2|y|； ②当x<0，y<0时，|x＋2y|＝－x－2y，|x|＋2|y|＝－x－2y，所以|x＋2y|＝|x|＋2|y|. 再证必要性：因为|x＋2y|＝|x|＋2|y|，两边平方有： x2＋4y2＋4xy＝x2＋4y2＋4|x||y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0. 综上：|x＋2y|＝|x|＋2|y|成立的充要条件是xy≥0. (2)因为|x＋2y|＝|x－2y|⇔(x＋2y)2＝(x－2y)2⇔8xy＝0⇔xy＝0， 所以|x＋2y|＝|x－2y|成立的充要条件是xy＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$